Número primo supersingular (teoría de números algebraicos)

Número primo con cierta relación con una curva elíptica

En la teoría de números algebraicos , un primo supersingular para una curva elíptica dada es un número primo con una cierta relación con esa curva. Si la curva E está definida sobre los números racionales , entonces un primo p es supersingular para E si la reducción de E módulo  p es una curva elíptica supersingular sobre el cuerpo de residuos  F _p .

Noam Elkies demostró que cada curva elíptica sobre los números racionales tiene infinitos primos supersingulares. Sin embargo, el conjunto de primos supersingulares tiene densidad asintótica cero (si E no tiene multiplicación compleja). Lang y Trotter (1976) conjeturaron que el número de primos supersingulares menores que una cota X está dentro de un múltiplo constante de , utilizando heurísticas que involucran la distribución de valores propios del endomorfismo de Frobenius. A partir de 2019, esta conjetura está abierta. ${\displaystyle {\frac {\sqrt {X}}{\ln X}}}$

De manera más general, si K es cualquier cuerpo global —es decir, una extensión finita de Q o de F _p ( t )— y A es una variedad abeliana definida sobre K , entonces un primo supersingular para A ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ es un lugar finito de K tal que la reducción de A módulo es una variedad abeliana supersingular . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Véase también

• Primo supersingular (teoría de la luz de la luna)

Referencias

• Elkies, Noam D. (1987). "La existencia de infinitos primos supersingulares para cada curva elíptica sobre Q ". Invent. Math. 89 (3): 561–567. Bibcode :1987InMat..89..561E. doi :10.1007/BF01388985. MR  0903384. S2CID  123646933.
• Lang, Serge ; Trotter, Hale F. (1976). Distribuciones de Frobenius en extensiones GL ₂ . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 504. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-07550-X.Zbl 0329.12015  .
• Ogg, AP (1980). "Funciones modulares". En Cooperstein, Bruce; Mason, Geoffrey (eds.). Conferencia de Santa Cruz sobre grupos finitos. Celebrada en la Universidad de California, Santa Cruz, California, del 25 de junio al 20 de julio de 1979. Proc. Symp. Pure Math. Vol. 37. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 521–532. ISBN 0-8218-1440-0.Zbl 0448.10021  .
• Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 106. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-96203-4.Zbl 0585.14026  .