Esquema (matemáticas)

Generalización de variedad algebraica.

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , un esquema es una estructura que amplía la noción de variedad algebraica de varias maneras, como tener en cuenta las multiplicidades (las ecuaciones x = 0 y x ² = 0 definen la misma variedad algebraica pero diferentes esquemas) y permitiendo "variedades" definidas sobre cualquier anillo conmutativo (por ejemplo, las curvas de Fermat se definen sobre los números enteros ).

La teoría de esquemas fue introducida por Alexander Grothendieck en 1960 en su tratado Éléments de géométrie algébrique (EGA); uno de sus objetivos era desarrollar el formalismo necesario para resolver problemas profundos de geometría algebraica , como las conjeturas de Weil (la última de las cuales fue demostrada por Pierre Deligne ). ^[1] Fuertemente basada en el álgebra conmutativa , la teoría de esquemas permite un uso sistemático de métodos de topología y álgebra homológica . La teoría de esquemas también unifica la geometría algebraica con gran parte de la teoría de números , lo que finalmente condujo a la demostración por parte de Wiles del último teorema de Fermat .

Los esquemas elaboran la idea fundamental de que una variedad algebraica se analiza mejor a través del anillo de coordenadas de funciones algebraicas regulares definidas en ella (o en sus subconjuntos), y cada subvariedad corresponde al ideal de funciones que desaparecen en la subvariedad. Intuitivamente, un esquema es un espacio topológico que consta de puntos cerrados que corresponden a puntos geométricos, junto con puntos no cerrados que son puntos genéricos de subvariedades irreducibles. El espacio está cubierto por un atlas de conjuntos abiertos, cada uno dotado de un anillo de coordenadas de funciones regulares, con cambios de coordenadas específicos entre las funciones sobre conjuntos abiertos que se cruzan. Esta estructura se denomina espacio anillado o haz de anillos.

Formalmente, un esquema es un espacio anillado cubierto por esquemas afines. Un esquema afín es el espectro de un anillo conmutativo; sus puntos son los ideales primos del anillo y sus puntos cerrados son los ideales máximos . El anillo de coordenadas de un esquema afín es el anillo mismo, y los anillos de coordenadas de subconjuntos abiertos son anillos de fracciones .

El punto de vista relativo es que gran parte de la geometría algebraica debería desarrollarse para un morfismo X → Y de esquemas (llamado esquema X sobre la base Y ), en lugar de para un esquema individual. Por ejemplo, al estudiar superficies algebraicas , puede resultar útil considerar familias de superficies algebraicas sobre cualquier esquema Y. En muchos casos, la familia de todas las variedades de un tipo determinado puede verse en sí misma como una variedad o esquema, conocido como espacio de módulos .

Para conocer algunas de las definiciones detalladas de la teoría de esquemas, consulte el glosario de teoría de esquemas .

Desarrollo

Los orígenes de la geometría algebraica se encuentran principalmente en el estudio de ecuaciones polinómicas sobre números reales . En el siglo XIX, quedó claro (notablemente en el trabajo de Jean-Victor Poncelet y Bernhard Riemann ) que la geometría algebraica sobre los números reales se simplifica trabajando sobre el campo de los números complejos , que tiene la ventaja de ser algebraicamente cerrado . ^[2] A principios del siglo XX se observaron analogías entre la geometría algebraica y la teoría de números, lo que sugirió la pregunta: ¿se puede desarrollar la geometría algebraica en otros campos, como aquellos con características positivas y, más generalmente, en anillos numéricos como los números enteros, donde las herramientas de La topología y el análisis complejo utilizados para estudiar variedades complejas no parecen aplicarse.

Nullstellensatz de Hilbert sugiere una aproximación a la geometría algebraica sobre cualquier campo algebraicamente cerrado k : los ideales máximos en el anillo polinomial k [ x ₁ ,..., x _n ] están en correspondencia uno a uno con el conjunto k ⁿ de n - tuplas de elementos de k , y los ideales primos corresponden a los conjuntos algebraicos irreducibles en k ⁿ , conocidos como variedades afines. Motivados por estas ideas, Emmy Noether y Wolfgang Krull desarrollaron el álgebra conmutativa en las décadas de 1920 y 1930. ^[3] Su trabajo generaliza la geometría algebraica en una dirección puramente algebraica, generalizando el estudio de puntos (ideales máximos en un anillo polinómico) al estudio de ideales primos en cualquier anillo conmutativo. Por ejemplo, Krull definió la dimensión de un anillo conmutativo en términos de ideales primos y, al menos cuando el anillo es noetheriano , demostró que esta definición satisface muchas de las propiedades intuitivas de la dimensión geométrica.

El álgebra conmutativa de Noether y Krull puede verse como un enfoque algebraico para variedades algebraicas afines . Sin embargo, muchos argumentos en geometría algebraica funcionan mejor para variedades proyectivas , esencialmente porque son compactas . Desde la década de 1920 hasta la de 1940, BL van der Waerden , André Weil y Oscar Zariski aplicaron el álgebra conmutativa como una nueva base para la geometría algebraica en el entorno más rico de las variedades proyectivas (o cuasiproyectivas ). ^[4] En particular, la topología de Zariski es una topología útil en una variedad sobre cualquier campo algebraicamente cerrado, reemplazando hasta cierto punto la topología clásica en una variedad compleja (basada en la topología métrica de los números complejos).

Para aplicaciones a la teoría de números, van der Waerden y Weil formularon geometría algebraica sobre cualquier campo, no necesariamente algebraicamente cerrado. Weil fue el primero en definir una variedad abstracta (no incrustada en el espacio proyectivo ), pegando variedades afines a lo largo de subconjuntos abiertos, en el modelo de variedades abstractas en topología. Necesitaba esta generalidad para construir la variedad jacobiana de una curva sobre cualquier campo. (Más tarde, Weil, Chow y Matsusaka demostraron que los jacobianos eran variedades proyectivas ).

Los geómetras algebraicos de la escuela italiana habían utilizado a menudo el concepto algo confuso del punto genérico de una variedad algebraica. Lo que es cierto para el punto genérico lo es para "la mayoría" de los puntos de la variedad. En Foundations of Algebraic Geometry (1946) de Weil , los puntos genéricos se construyen tomando puntos en un campo algebraicamente cerrado muy grande, llamado dominio universal . ^[4] Esto funcionó de manera incómoda: había muchos puntos genéricos diferentes para la misma variedad. (En la última teoría de esquemas, cada variedad algebraica tiene un único punto genérico).

En los años 1950, Claude Chevalley , Masayoshi Nagata y Jean-Pierre Serre , motivados en parte por las conjeturas de Weil que relacionan la teoría de números y la geometría algebraica, ampliaron aún más los objetos de la geometría algebraica, por ejemplo generalizando los anillos de base permitidos. La palabra esquema se utilizó por primera vez en el Seminario Chevalley de 1956, en el que Chevalley persiguió las ideas de Zariski. ^[5] Según Pierre Cartier , fue André Martineau quien sugirió a Serre la posibilidad de utilizar el espectro de un anillo conmutativo arbitrario como base de la geometría algebraica. ^[6]

Origen de los esquemas

La teoría tomó su forma definitiva en Éléments de géométrie algébrique (EGA) de Grothendieck y en el posterior Séminaire de géométrie algébrique (SGA), poniendo fin a una generación de sugerencias experimentales y desarrollos parciales. ^[7] Grothendieck definió el espectro X de un anillo conmutativo R como el espacio de ideales primos de R con una topología natural (conocida como topología de Zariski), pero lo aumentó con un haz de anillos: a cada subconjunto abierto U le asignó un anillo conmutativo O _X ( U ), que puede considerarse como el anillo de coordenadas de funciones regulares en U . Estos objetos Spec( R ) son los esquemas afines; Luego se obtiene un esquema general "pegando" esquemas afines.

Gran parte de la geometría algebraica se centra en variedades proyectivas o cuasiproyectivas sobre un campo k, con mayor frecuencia sobre números complejos. Grothendieck desarrolló un gran cuerpo de teoría para esquemas arbitrarios ampliando gran parte de la intuición geométrica para las variedades. Por ejemplo, es común construir primero un espacio de módulos como un esquema y sólo después estudiar si se trata de un objeto más concreto, como una variedad proyectiva. La aplicación de la teoría de Grothendieck a esquemas sobre números enteros y otros campos numéricos condujo a nuevas y poderosas perspectivas en la teoría de números.

Definición

Un esquema afín es un espacio localmente anillado isomorfo al espectro Spec( R ) de un anillo conmutativo R . Un esquema es un espacio localmente anillado X que admite una cobertura por conjuntos abiertos _Ui , de manera que cada Ui ₍ como un espacio localmente anillado) es un esquema afín. ^[8] En particular, X viene con una gavilla O _X , que asigna a cada subconjunto abierto U un anillo conmutativo O _X ( U ) llamado anillo de funciones regulares en U . Se puede pensar que un esquema está cubierto por "gráficos de coordenadas" que son esquemas afines. La definición significa exactamente que los esquemas se obtienen pegando esquemas afines utilizando la topología de Zariski.

En los primeros días, esto se llamaba preesquema y un esquema se definía como un preesquema separado . El término prescheme ha caído en desuso, pero todavía se puede encontrar en libros más antiguos, como "Éléments de géométrie algébrique" de Grothendieck y el "Libro Rojo" de Mumford . ^[9] Las propiedades de la gavilla de O _X ( U ) significan que sus elementos , que no son necesariamente funciones, pueden sin embargo ser unidos a partir de sus restricciones de la misma manera que las funciones.

Un ejemplo básico de un esquema afín es el espacio n afín sobre un campo k , para un número natural n . Por definición, A^nk
_​es el espectro del anillo polinómico k [ x ₁ ,..., x _n ]. En el espíritu de la teoría de esquemas, el espacio n afín puede de hecho definirse sobre cualquier anillo conmutativo R , es decir Spec( R [ x ₁ ,..., x _n ]).

La categoría de esquemas.

Los esquemas forman una categoría , con morfismos definidos como morfismos de espacios localmente anillados. (Ver también: morfismo de esquemas .) Para un esquema Y , un esquema X sobre Y (o un esquema Y ) significa un morfismo X → Y de esquemas. Un esquema X sobre un anillo conmutativo R significa un morfismo X → Spec( R ).

Una variedad algebraica sobre un campo k se puede definir como un esquema sobre k con ciertas propiedades. Existen diferentes convenciones sobre exactamente qué esquemas deben denominarse variedades. Una opción estándar es que una variedad sobre k significa un esquema integral separado de tipo finito sobre k . ^[10]

Un morfismo f : X → Y de esquemas determina un homomorfismo de retroceso en los anillos de funciones regulares, f *: O ( Y ) → O ( X ). En el caso de esquemas afines, esta construcción proporciona una correspondencia uno a uno entre los morfismos Spec( A ) → Spec( B ) de esquemas y homomorfismos de anillo B → A. ^[11] En este sentido, la teoría de esquemas subsume completamente la teoría de anillos conmutativos.

Dado que Z es un objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos , la categoría de esquemas tiene Spec( Z ) como objeto terminal .

Para un esquema X sobre un anillo conmutativo R , un punto R de X significa una sección del morfismo X → Spec ( R ). Se escribe X ( R ) para el conjunto de R -puntos de X . En ejemplos , esta definición reconstruye la antigua noción del conjunto de soluciones de las ecuaciones definitorias de X con valores en R. Cuando R es un campo k , X ( k ) también se llama conjunto de k - puntos racionales de X.

De manera más general , para un esquema X sobre un anillo conmutativo R y cualquier R - álgebra S conmutativa , un punto S de X significa un morfismo Spec( S ) → X sobre R . Se escribe X ( S ) para el conjunto de S -puntos de X . (Esto generaliza la antigua observación de que dadas algunas ecuaciones sobre un campo k , se puede considerar el conjunto de soluciones de las ecuaciones en cualquier extensión de campo E de k ). Para un esquema X sobre R , la asignación S ↦ X ( S ) es un funtor de R -álgebras conmutativas a conjuntos. Es una observación importante que un esquema X sobre R está determinado por este funtor de puntos . ^[12]

La fibra producto de los esquemas siempre existe. Es decir, para cualquier esquema X y Z con morfismos en un esquema Y , el producto de fibra X × _Y Z (en el sentido de teoría de categorías ) existe en la categoría de esquemas. Si X y Z son esquemas sobre un campo k , su producto de fibra sobre Spec( k ) puede denominarse producto X × Z en la categoría de k -esquemas. Por ejemplo, el producto de espacios afines Am ^y An ^sobre k es un espacio afín ^{Am + n} sobre k .

Dado que la categoría de esquemas tiene productos de fibra y también un objeto terminal Spec( Z ), tiene todos los límites finitos .

Ejemplos

Aquí y abajo, todos los anillos considerados son conmutativos.

Espacio afín

Sea un campo algebraicamente cerrado. El espacio afín es la variedad algebraica de todos los puntos con coordenadas en ; su anillo de coordenadas es el anillo polinómico . El esquema correspondiente es un espacio topológico con la topología de Zariski, cuyos puntos cerrados son los ideales máximos , el conjunto de polinomios desaparece en . El esquema también contiene un punto no cerrado para cada ideal primo no máximo , cuya desaparición define una subvariedad irreductible ; el cierre topológico del punto del esquema es el subesquema , que incluye todos los puntos cerrados de la subvariedad, es decir , con o de manera equivalente . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\bar {X}}=\mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ ${\displaystyle {\bar {V}}={\bar {V}}({\mathfrak {p}})\subset {\bar {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle V({\mathfrak {p}})=\{{\mathfrak {q}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$ ${\displaystyle a\in {\bar {V}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}_{a}}$

El esquema tiene una base de subconjuntos abiertos dados por los complementos de hipersuperficies, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{f}=X\smallsetminus V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ f\notin {\mathfrak {p}}\}}$

para polinomios irreducibles . Este conjunto está dotado de su anillo de coordenadas de funciones regulares. ${\displaystyle f\in R}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{f})=R[f^{-1}]=\{{\tfrac {r}{f^{m}}}\ \ {\text{for}}\ \ r\in R,\ m\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}}$.

Esto induce una gavilla única que da el anillo habitual de funciones racionales regulares en un conjunto abierto dado . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U}$

Cada elemento del anillo , una función polinómica en , también define una función en los puntos del esquema cuyo valor en se encuentra en el anillo del cociente , el anillo del residuo . La definimos como la imagen de debajo del mapa natural . Un ideal máximo da el campo residuo , con el isomorfismo natural , de modo que corresponde al valor original . ${\displaystyle r=r(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R\to R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{a})=R/{\mathfrak {m}}_{a}\cong k}$ ${\displaystyle x_{i}\mapsto a_{i}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}}_{a})}$ ${\displaystyle r(a)}$

El lugar geométrico de fuga de un polinomio es una subvariedad de hipersuperficie , correspondiente al ideal principal . El esquema correspondiente es , un subesquema cerrado de espacio afín. Por ejemplo, tomando como números complejos o reales, la ecuación define una curva cúbica nodal en el plano afín , correspondiente al esquema . ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\bar {V}}(f)\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle (f)\subset R}$ ${\textstyle V(f)=\operatorname {Spec} (R/(f))}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x^{2}=y^{2}(y+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle V=\operatorname {Spec} k[x,y]/(x^{2}-y^{2}(y+1))}$

Especificación de los números enteros

El anillo de números enteros puede considerarse como el anillo de coordenadas del esquema . La topología de Zariski tiene puntos cerrados , los ideales principales de los números primos ; así como el punto genérico , el ideal cero, cuyo cierre es todo el esquema . Los conjuntos cerrados son conjuntos finitos y los conjuntos abiertos son sus complementos, los conjuntos cofinitos; cualquier conjunto infinito de puntos es denso. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle Z=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}=(p)}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}=(0)}$

El conjunto abierto de base correspondiente al elemento irreducible es , con anillo de coordenadas . Para el conjunto abierto , esto induce . ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle U_{p}=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U_{p})=\mathbb {Z} [p^{-1}]=\{{\tfrac {n}{p^{m}}}\ {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z} ,\ m\geq 0\}}$ ${\displaystyle U=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p_{1}},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{p_{\ell }}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U)=\mathbb {Z} [p_{1}^{-1},\ldots ,p_{\ell }^{-1}]}$

Un número corresponde a una función en el esquema , una función cuyo valor en se encuentra en el campo residuo , el campo finito de los números enteros módulo : la función está definida por , y también en el anillo residuo genérico . La función está determinada únicamente por sus valores en los puntos , por lo que podemos considerarla como una especie de "función regular" en los puntos cerrados, un tipo muy especial entre las funciones arbitrarias con . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{p})=\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n({\mathfrak {m}}_{p})=n\ {\text{mod}}\ p}$ ${\displaystyle n({\mathfrak {p}}_{0})=n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(0)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {m}}_{p})\in \mathbb {F} _{p}}$

Tenga en cuenta que el punto es el lugar de fuga de la función , el punto donde el valor de es igual a cero en el campo residuo. El campo de "funciones racionales" es el campo de fracción del anillo de residuo genérico . Una fracción tiene "polos" en los puntos correspondientes a los divisores primos del denominador. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle n=p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}}_{0})=\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$

Línea afín sobre los números enteros

El espacio afín es una variedad con anillo de coordenadas , los polinomios con coeficientes enteros. El esquema correspondiente es , cuyos puntos son todos los ideales primos . Los puntos cerrados son ideales máximos de la forma , donde es un número primo, y es un polinomio no constante sin factor entero y que es módulo irreducible . Así, podemos imaginarlo como bidimensional, con una "dirección característica" medida por la coordenada , y una "dirección espacial" con la coordenada . ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{1}=\{a\ {\text{for}}\ a\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

Un número primo dado define una "línea vertical", el subesquema del ideal primo : ésta contiene , para todos , los "puntos característicos " del esquema. Fijando la coordenada, tenemos la "línea horizontal" , el subesquema del ideal primo . También tenemos la recta correspondiente a la coordenada racional , que no corta para las que dividen . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle V(x-a)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x-a)}$ ${\displaystyle V(bx-a)}$ ${\displaystyle x=a/b}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$

Un subesquema "horizontal" de grado superior corresponde a valores - que son raíces de , es decir . Esto se comporta de manera diferente bajo diferentes coordenadas. En , obtenemos dos puntos , ya que . En , obtenemos un punto doble ramificado , ya que . Y en , obtenemos que es un ideal primo correspondiente a en un campo de extensión de ; Dado que no podemos distinguir entre estos valores (son simétricos bajo el grupo de Galois ), debemos representarlos como dos puntos fusionados. En general, es una especie de fusión de dos líneas horizontales simétricas de Galois, una curva de grado 2. ${\displaystyle V(x^{2}+1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle x=\pm 2\ {\text{mod}}\ 5}$ ${\displaystyle (5,x^{2}+1)=(5,x-2)\cap (5,x+2)}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x=1\ {\text{mod}}\ 2}$ ${\displaystyle (2,x^{2}+1)=(2,(x-1)^{2})}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(3,x^{2}+1)}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle V(3,x^{2}+1)}$ ${\displaystyle V(x^{2}+1)}$

El campo residual en es una extensión de campo de contiguo a una raíz de ; este es un campo finito con elementos, . Un polinomio corresponde a una función del esquema con valores , es decir . Nuevamente cada uno está determinado por sus valores en puntos cerrados; es el lugar geométrico de fuga del polinomio constante ; y contiene los puntos en cada característica correspondientes a las órbitas de Galois de las raíces de en el cierre algebraico . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}})=\mathbb {Z} [x]/{\mathfrak {m}}=\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))\cong \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle x=\alpha }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p^{d}}$ ${\displaystyle d=\operatorname {deg} (f)}$ ${\displaystyle r(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})=r\ \mathrm {mod} \ {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})=r(\alpha )\in \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$ ${\displaystyle r(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle r(x)=p}$ ${\displaystyle V(f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$

El esquema no es adecuado , por lo que es posible que los pares de curvas no se crucen con la multiplicidad esperada . Este es un obstáculo importante para analizar ecuaciones diofánticas con herramientas geométricas . La teoría de Arakelov supera este obstáculo compactando esquemas aritméticos afines, agregando puntos en el infinito correspondientes a valoraciones . ${\displaystyle Y}$

Superficies aritméticas

Si consideramos un polinomio entonces el esquema afín tiene un morfismo canónico y se llama superficie aritmética . Las fibras son entonces curvas algebraicas sobre campos finitos . Si es una curva elíptica , entonces las fibras sobre su lugar discriminante, donde están todos los esquemas singulares. ^[13] Por ejemplo, si es un número primo y entonces su discriminante es . Esta curva es singular sobre los números primos . ${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x,y]}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle \Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}=0\ {\text{mod}}\ p,}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}}$$ ${\displaystyle -27p^{2}}$ ${\displaystyle 3,p}$

Esquemas no afines

• Para cualquier anillo conmutativo R y número natural n , espacio proyectivo P^norte
  _rse puede construir como un esquema pegando n + 1 copias del espacio n afín sobre R a lo largo de subconjuntos abiertos. Este es el ejemplo fundamental que motiva a ir más allá de los esquemas afines. La ventaja clave del espacio proyectivo sobre el espacio afín es que P^norte
  _res propio sobre R ; esta es una versión álgebro-geométrica de compacidad. Una observación relacionada es que el espacio proyectivo complejo CP ⁿ es un espacio compacto en la topología clásica (basado en la topología de C ), mientras que C ⁿ no lo es (para n > 0).
• Un polinomio homogéneo f de grado positivo en el anillo polinómico R [ x ₀ , ..., x _n ] determina un subesquema cerrado f = 0 en el espacio proyectivo P ⁿ sobre R , llamado hipersuperficie proyectiva . En términos de la construcción Proj , este subesquema se puede escribir como Por ejemplo, el subesquema cerrado x ³ + y ³ = z ³ de P $${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).}$$²
  _Qes una curva elíptica sobre los números racionales .
• La línea con dos orígenes (sobre un campo k ) es el esquema definido comenzando con dos copias de la línea afín sobre k y pegando los dos subconjuntos abiertos A ¹ − 0 mediante el mapa de identidad. Este es un ejemplo sencillo de un esquema no separado. En particular, no es afín. ^[14]
• Una razón sencilla para ir más allá de los esquemas afines es que un subconjunto abierto de un esquema afín no tiene por qué ser afín. Por ejemplo, sea X = An ⁻ 0 , digamos sobre los números complejos C ; entonces X no es afín para n ≥ 2. (La restricción sobre n es necesaria: la línea afín menos el origen es isomorfa al esquema afín Spec( C [ x , x ⁻¹ ]) . Para demostrar que X no es afín, se calcula que toda función regular en X se extiende a una función regular en An ^, cuando n ≥ 2. (Esto es análogo al lema de Hartogs en análisis complejo, aunque más fácil de probar). Es decir, la inclusión f : X → ^An induce un isomorfismo de O (A ⁿ ) = C [ x ₁ , ...., x _n ] a O ( X ) . Si X fuera afín, se deduciría que f era un isomorfismo pero f no es sobreyectivo y por lo tanto . no es un isomorfismo Por lo tanto, el esquema X no es afín ^{[15] .}
• Sea k un campo. Entonces el esquema es un esquema afín cuyo espacio topológico subyacente es la compactación de Stone-Čech de los números enteros positivos (con la topología discreta). De hecho, los ideales primos de este anillo están en correspondencia uno a uno con los ultrafiltros de los números enteros positivos, correspondiendo el ideal al ultrafiltro principal asociado al entero positivo n . ^[16] Este espacio topológico es de dimensión cero y, en particular, cada punto es un componente irreductible . Dado que los esquemas afines son cuasicompactos , este es un ejemplo de un esquema cuasicompacto con infinitos componentes irreducibles. (Por el contrario, un esquema noetheriano tiene sólo un número finito de componentes irreducibles). ${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ ${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$

Ejemplos de morfismos

También es fructífero considerar ejemplos de morfismos como ejemplos de esquemas, ya que demuestran su eficacia técnica para encapsular muchos objetos de estudio en geometría algebraica y aritmética.

Motivación para esquemas.

A continuación se muestran algunas de las formas en que los esquemas van más allá de las nociones más antiguas de variedades algebraicas y su significado.

• Extensiones de campo. Dadas algunas ecuaciones polinomiales en n variables sobre un campo k , se puede estudiar el conjunto X ( k ) de soluciones de las ecuaciones en el conjunto de productos k ⁿ . Si el campo k es algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos), entonces se puede basar la geometría algebraica en conjuntos como X ( k ): definir la topología de Zariski en X ( k ), considerar mapeos polinomiales entre diferentes conjuntos de este tipo, etcétera. Pero si k no es algebraicamente cerrado, entonces el conjunto X ( k ) no es lo suficientemente rico. De hecho, se pueden estudiar las soluciones X ( E ) de las ecuaciones dadas en cualquier extensión de campo E de k , pero estos conjuntos no están determinados por X ( k ) en ningún sentido razonable. Por ejemplo, la curva plana X sobre los números reales definidos por x ² + y ² = −1 tiene X ( R ) vacío, pero X ( C ) no está vacío. (De hecho, X ( C ) puede identificarse con C − 0.) Por el contrario, un esquema X sobre un campo k tiene suficiente información para determinar el conjunto X ( E ) de E -puntos racionales para cada campo de extensión E de k . (En particular, el subesquema cerrado de A^2R
  _​definido por x ² + y ² = −1 es un espacio topológico no vacío).
• Punto genérico. Los puntos de la recta afín A.¹
  _taza, como esquema, son sus puntos complejos (uno por cada número complejo) junto con un punto genérico (cuyo cierre es el esquema completo). El punto genérico es la imagen de un morfismo natural Spec( C ( x )) → A¹
  _taza, donde C ( x ) es el campo de funciones racionales en una variable. Para ver por qué es útil tener un "punto genérico" real en el esquema, considere el siguiente ejemplo.
• Sea X la curva plana y ² = x ( x −1)( x −5) sobre los números complejos. Este es un subesquema cerrado de A.²
  _tazas. Puede verse como una doble cubierta ramificada de la línea afín A.¹
  _tazaproyectando a la coordenada x . La fibra del morfismo X → A ¹ sobre el punto genérico de A ¹ es exactamente el punto genérico de X , produciendo el morfismo. Esto a su vez es equivalente a la extensión de campos de grado -2. Por lo tanto, tener un punto genérico real de una variedad produce una relación geométrica entre un morfismo de grado 2 de variedades algebraicas y la extensión correspondiente de grado 2 de campos funcionales . Esto se generaliza a una relación entre el grupo fundamental (que clasifica los espacios de cobertura en topología) y el grupo de Galois (que clasifica ciertas extensiones de campo ). De hecho, la teoría de Grothendieck del grupo fundamental étale trata al grupo fundamental y al grupo de Galois en pie de igualdad. $${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x).}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).}$$

• Elementos nilpotentes . Sea X el subesquema cerrado de la recta afín A¹
  _tazadefinido por x ² = 0, a veces llamado punto gordo . El anillo de funciones regulares en X es C [ x ]/( x ² ); en particular, la función regular x sobre X es nilpotente pero no cero. Para indicar el significado de este esquema: dos funciones regulares sobre la recta afín tienen la misma restricción a X si y sólo si tienen el mismo valor y primera derivada en el origen. Permitir tales esquemas no reducidos lleva las ideas del cálculo y de los infinitesimales a la geometría algebraica.
• Los elementos nilpotentes surgen naturalmente en la teoría de la intersección . Por ejemplo, en el plano sobre un campo , con anillo de coordenadas , considere el eje x , que es la variedad , y la parábola , que es . Su intersección teórica de esquemas está definida por el ideal . Dado que la intersección no es transversal , este no es simplemente el punto definido por el ideal , sino más bien un punto grueso que contiene la dirección tangente del eje x (la tangente común de las dos curvas) y tiene un anillo de coordenadas: La multiplicidad de intersección de 2 es definido como la longitud de este módulo, es decir, su dimensión como espacio vectorial. ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle V(y)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle V(x^{2}-y)}$ ${\displaystyle (y)+(x^{2}-y)=(x^{2},\,y)}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)\subset k[x,y]}$ $${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(x^{2},\,y)}}\cong {\frac {k[x]}{(x^{2})}}.}$$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle k}$
• Para un ejemplo más elaborado, se pueden describir todos los subesquemas cerrados de dimensión cero de grado 2 en una variedad compleja suave Y. Tal subesquema consta de dos puntos complejos distintos de Y , o bien un subesquema isomorfo a X = Spec C [ x ]/( x ² ) como en el párrafo anterior. Los subesquemas de este último tipo están determinados por un punto complejo y de Y junto con una recta en el espacio tangente T _y Y. ^[17] Esto nuevamente indica que los subesquemas no reducidos tienen significado geométrico, relacionado con derivadas y vectores tangentes.

Gavillas coherentes

Una parte central de la teoría de esquemas es la noción de haces coherentes , generalizando la noción de haces de vectores (algebraicos) . Para un esquema X , se comienza considerando la categoría abeliana de módulos O X , que son haces de grupos abelianos en X que forman un módulo sobre el haz de funciones regulares O _X. En particular, un módulo M sobre un anillo conmutativo R determina un módulo O _X asociado ~METROen X = Especificación ( R ). Una gavilla cuasi coherente en un esquema X significa un módulo O _X que es la gavilla asociada a un módulo en cada subconjunto abierto afín de X. Finalmente, una gavilla coherente ( en un esquema noetheriano X , digamos) es un módulo O _X que es la gavilla asociada a un módulo finitamente generado en cada subconjunto abierto afín de X.

Las gavillas coherentes incluyen la importante clase de haces de vectores , que son las gavillas que provienen localmente de módulos libres generados de forma finita . Un ejemplo es el paquete tangente de una variedad suave sobre un campo. Sin embargo, las gavillas coherentes son más ricas; por ejemplo, un paquete de vectores en un subesquema cerrado Y de X puede verse como un haz coherente en X que es cero fuera de Y (mediante la construcción directa de la imagen ). De esta manera, los haces coherentes en un esquema X incluyen información sobre todos los subesquemas cerrados de X. Además, la cohomología de las gavillas tiene buenas propiedades para las gavillas coherentes (y cuasi coherentes). La teoría resultante de la cohomología de haces coherentes es quizás la principal herramienta técnica en geometría algebraica. ^{[18] [19]}

Generalizaciones

Considerado como su functor de puntos, un esquema es un funtor que es un haz de conjuntos para la topología de Zariski en la categoría de anillos conmutativos, y que, localmente en la topología de Zariski, es un esquema afín. Esto se puede generalizar de varias maneras. Una es utilizar la topología étale . Michael Artin definió un espacio algebraico como un functor que es un haz en la topología étale y que, localmente en la topología étale, es un esquema afín. De manera equivalente, un espacio algebraico es el cociente de un esquema por una relación de equivalencia étale. Un resultado poderoso, el teorema de representabilidad de Artin, proporciona condiciones simples para que un funtor sea representado por un espacio algebraico. ^[20]

Una generalización adicional es la idea de pila . En términos generales, las pilas algebraicas generalizan los espacios algebraicos al tener un grupo algebraico adjunto a cada punto, que se considera el grupo de automorfismo de ese punto. Por ejemplo, cualquier acción de un grupo algebraico G sobre una variedad algebraica X determina una pila de cocientes [ X / G ], que recuerda los subgrupos estabilizadores para la acción de G. De manera más general, los espacios de módulos en geometría algebraica suelen verse mejor como pilas, lo que permite realizar un seguimiento de los grupos de automorfismos de los objetos que se clasifican.

Grothendieck introdujo originalmente las pilas como una herramienta para la teoría de la descendencia . En esa formulación, las pilas son (informalmente hablando) haces de categorías. ^[21] A partir de esta noción general, Artin definió la clase más estrecha de pilas algebraicas (o "pilas de Artin"), que pueden considerarse objetos geométricos. Estos incluyen pilas de Deligne-Mumford (similares a orbifolds en topología), para las cuales los grupos estabilizadores son finitos, y espacios algebraicos, para los cuales los grupos estabilizadores son triviales. El teorema de Keel-Mori dice que una pila algebraica con grupos estabilizadores finitos tiene un espacio de módulos grueso que es un espacio algebraico.

Otro tipo de generalización consiste en enriquecer la estructura del haz, acercando la geometría algebraica a la teoría de la homotopía . En este entorno, conocido como geometría algebraica derivada o "geometría algebraica espectral", el haz de estructura se reemplaza por un análogo homotópico de un haz de anillos conmutativos (por ejemplo, un haz de espectros de anillos E-infinito ). Estos haces admiten operaciones algebraicas asociativas y conmutativas sólo hasta una relación de equivalencia. Tomando el cociente por esta relación de equivalencia se obtiene la estructura del haz de un esquema ordinario. Sin embargo, no tomar el cociente conduce a una teoría que puede recordar información más alta, de la misma manera que los functores derivados en álgebra homológica producen información más alta sobre operaciones como el producto tensorial y el funtor Hom en módulos.

Ver también

• Morfismo plano , Morfismo suave , Morfismo propio , Morfismo finito , Morfismo Étale
• Curva estable
• Geometría biracional
• Cohomología Étale , grupo Chow , teoría de Hodge
• Esquema de grupo , variedad abeliana , grupo algebraico lineal , grupo reductivo
• Módulos de curvas algebraicas.
• Esquemas de pegado

Citas

1. Introducción de la primera edición de " Éléments de géométrie algébrique ".
2. Dieudonné 1985, Capítulos IV y V.
3. Dieudonné 1985, apartados VII.2 y VII.5.
4. Dieudonné 1985, sección VII.4.
5. Chevalley, C. (1955-1956), Les schémas, Séminaire Henri Cartan, vol. 8
6. Cartier 2001, nota 29.
7. Dieudonné 1985, secciones VII.4, VIII.2, VIII.3.
8. Hartshorne 1997, sección II.2.
9. Mumford 1999, Capítulo II.
10. Proyecto Pilas, Etiqueta 020D.
11. Hartshorne 1997, Proposición II.2.3.
12. Eisenbud y Harris 1998, Proposición VI-2.
13. "Curvas elípticas" (PDF) . pag. 20.
14. Hartshorne 1997, Ejemplo II.4.0.1.
15. Hartshorne 1997, Ejercicios I.3.6 y III.4.3.
16. Arapura 2011, sección 1.
17. Eisenbud y Harris 1998, ejemplo II-10.
18. Dieudonné 1985, secciones VIII.2 y VIII.3.
19. Hartshorne 1997, Capítulo III.
20. Proyecto Stacks, etiqueta 07Y1.
21. Vistoli 2005, Definición 4.6.

Referencias

• Arapura, Donu (2011), "Amplitud de Frobenius, ultraproductos y desaparición en espacios singulares", Illinois Journal of Mathematics , 55 (4): 1367–1384, arXiv : 0806.1033 , doi : 10.1215/ijm/1373636688 , MR  3082873
• Cartier, Pierre (2001), "Un día de trabajo loco: de Grothendieck a Connes y Kontsevich. La evolución de los conceptos de espacio y simetría", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/ S0273-0979-01-00913-2 , SEÑOR  1848254
• Dieudonné, Jean (1985), Historia de la geometría algebraica , Wadsworth, ISBN 978-0-534-03723-9, señor  0780183
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998). La geometría de los esquemas. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98637-1. SEÑOR  1730819.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Hartshorne, Robin (1997) [1977]. Geometría Algebraica . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. SEÑOR  0463157.
• Igor R. Shafarevich (2013). Geometría algebraica básica 2: esquemas y variedades complejas . Springer-Verlag. ISBN 978-3642380099. SEÑOR  0456457.
• Qing Liu (2002). Geometría Algebraica y Curvas Aritméticas . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-850284-5. SEÑOR  1917232.
• Mumford, David (1999). El Libro Rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre las curvas y sus jacobianos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1358 (2ª ed.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. SEÑOR  1748380.
• Vistoli, Angelo (2005), "Topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría del descenso", Geometría algebraica fundamental , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math..... 12512V, señor  2223406

enlaces externos

• David Mumford, ¿Se pueden explicar los esquemas a los biólogos?
• Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/: la sección de comentarios contiene una discusión interesante sobre la teoría de esquemas (incluidas las publicaciones de Terence Tao ).