Onda de Stokes

Onda superficial periódica y no lineal en una capa de fluido no viscoso de profundidad media constante

Elevación superficial de una ola de aguas profundas según la teoría de tercer orden de Stokes . La pendiente de la ola es: ka  = 0,3, donde k es el número de onda y a la amplitud de la onda. Las crestas agudas y los valles planos son típicos de estas ondas de gravedad superficiales .

Prueba de modelos con olas periódicas en el tanque de remolque de olas del Laboratorio de Ingeniería Oceánica Jere A. Chase, Universidad de New Hampshire .

Ondulación y protuberancias cerca de la desembocadura del río Araguari , en el noreste de Brasil. Vista oblicua hacia la desembocadura desde un avión a aproximadamente 30 m (100 pies) de altitud. ^[1] Las ondulaciones que siguen al frente de la perforación aparecen como ondas de Stokes moduladas lentamente .

En dinámica de fluidos , una onda de Stokes es una onda superficial periódica y no lineal sobre una capa de fluido no viscoso de profundidad media constante. Este tipo de modelado tiene su origen a mediados del siglo XIX, cuando Sir George Stokes , utilizando un enfoque de series de perturbaciones , ahora conocido como expansión de Stokes , obtuvo soluciones aproximadas para el movimiento ondulatorio no lineal.

La teoría de las olas de Stokes es de uso práctico directo para las olas en aguas intermedias y profundas. Se utiliza en el diseño de estructuras costeras y marinas , con el fin de determinar la cinemática de las olas ( elevación de la superficie libre y velocidades de flujo ). La cinemática de las olas se necesita posteriormente en el proceso de diseño para determinar las cargas de las olas en una estructura. ^[2] Para olas largas (en comparación con la profundidad) - y utilizando solo unos pocos términos en la expansión de Stokes - su aplicabilidad está limitada a olas de pequeña amplitud . En aguas tan poco profundas, una teoría de olas cnoidales a menudo proporciona mejores aproximaciones de ondas periódicas.

Si bien, en sentido estricto, la onda de Stokes se refiere a una onda periódica progresiva de forma permanente, el término también se utiliza en relación con ondas estacionarias ^[3] e incluso ondas aleatorias. ^{[4] [5]}

Ejemplos

Los ejemplos siguientes describen ondas de Stokes bajo la acción de la gravedad (sin efectos de tensión superficial ) en caso de movimiento ondulatorio puro, es decir, sin corriente media ambiental.

Onda de Stokes de tercer orden en aguas profundas

Onda de Stokes de tercer orden en aguas profundas bajo la acción de la gravedad. La pendiente de la onda es: ka  = 0,3.

Los tres armónicos que contribuyen a la elevación de la superficie de una ola de aguas profundas, según la teoría de tercer orden de Stokes. La pendiente de la ola es: ka  = 0,3. Para la visibilidad, la escala vertical está distorsionada por un factor de cuatro, en comparación con la escala horizontal.
Descripción: * la línea azul oscuro es la elevación de la superficie de la onda de Stokes de tercer orden, * la línea negra es el componente fundamental de la onda, con número de onda k ( longitud de onda λ, k = 2 π / λ ), * la línea azul claro es el armónico en 2  k (longitud de onda 1 ⁄ 2  λ), y * la línea roja es el armónico en 3  k (longitud de onda 1 ⁄ 3  λ).

Según la teoría de tercer orden de Stokes, la elevación de la superficie libre η , el potencial de velocidad Φ, la velocidad de fase (o celeridad) c y la fase de onda θ son, para una onda de gravedad superficial progresiva en aguas profundas, es decir, la capa de fluido tiene profundidad infinita: ^[6] donde $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1-{\tfrac {1}{16}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ and}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$$

• x es la coordenada horizontal;
• z es la coordenada vertical, con la dirección z positiva hacia arriba (opuesta a la dirección de la gravedad de la Tierra ) y z  = 0 correspondiente a la elevación media de la superficie;
• es tiempo;
• a es la amplitud de onda de primer orden ;
• k es el número de onda angular , k = 2 π / λ donde λ es la longitud de onda ;
• ω es la frecuencia angular , ω = 2 π / τ donde τ es el período , y
• g es la fuerza de la gravedad de la Tierra, una constante en esta aproximación.

El parámetro de expansión ka se conoce como la pendiente de la ola. La velocidad de fase aumenta con el aumento de la no linealidad ka de las olas. La altura de ola H , que es la diferencia entre la elevación de la superficie η en una cresta y un valle , es: ^[7] $${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,k^{2}a^{2}\right).}$$

Obsérvese que los términos de segundo y tercer orden en el potencial de velocidad Φ son cero. Solo en el cuarto orden aparecen contribuciones que se desvían de la teoría de primer orden, es decir, la teoría de ondas de Airy . ^[6] Hasta el tercer orden, el campo de velocidad orbital u  =  ∇ Φ consiste en un movimiento circular del vector de velocidad en cada posición ( x , z ). Como resultado, la elevación de la superficie de las ondas en aguas profundas es, en una buena aproximación, trocoidal , como ya señaló Stokes (1847). ^[8]

Stokes observó además que, aunque (en esta descripción euleriana ) el campo de velocidad orbital de tercer orden consiste en un movimiento circular en cada punto, las trayectorias lagrangianas de las parcelas de fluido no son círculos cerrados. Esto se debe a la reducción de la amplitud de la velocidad a medida que aumenta la profundidad debajo de la superficie. Esta deriva lagrangiana de las parcelas de fluido se conoce como deriva de Stokes . ^[8]

Onda de Stokes de segundo orden en profundidad arbitraria

La relación S = a ₂ / a de la amplitud a ₂ del armónico con el doble del número de onda (2  k ), a la amplitud a de la fundamental , según la teoría de segundo orden de Stokes para ondas de gravedad superficiales. En el eje horizontal está la profundidad relativa del agua h  / λ, con h la profundidad media y λ la longitud de onda , mientras que el eje vertical es el parámetro de Stokes S dividido por la inclinación de la ola ka (con k = 2 π / λ ).
Descripción: * la línea azul es válida para una profundidad de agua arbitraria, mientras que * la línea roja discontinua es el límite de aguas poco profundas (profundidad del agua pequeña en comparación con la longitud de onda), y * la línea verde de puntos y rayas es el límite asintótico para ondas en aguas profundas.

La elevación de la superficie η y el potencial de velocidad Φ son, según la teoría de segundo orden de Stokes de las ondas de gravedad superficial en una capa de fluido de profundidad media h : ^{[6] [9]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$$

Obsérvese que, para una profundidad finita, el potencial de velocidad Φ contiene una deriva lineal en el tiempo, independiente de la posición ( x y z ). Tanto esta deriva temporal como el término de doble frecuencia (que contiene sen 2θ) en Φ desaparecen para las olas en aguas profundas.

Parámetros de Stokes y Ursell

La relación S de las amplitudes de superficie libre de segundo orden y primer orden, según la teoría de segundo orden de Stokes, es: ^[6] $${\displaystyle {\mathcal {S}}=ka\,{\frac {3-\tanh ^{2}\,kh}{4\,\tanh ^{3}\,kh}}.}$$

En aguas profundas, para kh grande, la relación S tiene la asíntota $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\,ka.}$$

Para ondas largas, es decir, pequeñas kh , la relación S se comporta como o, en términos de la altura de la ola H = 2 a y la longitud de onda λ = 2 π / k : con $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {ka}{(kh)^{3}}},}$$ $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}\equiv {\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}.}$$

Aquí U es el parámetro de Ursell (o parámetro de Stokes). Para ondas largas ( λ ≫ h ) de pequeña altura H , es decir U ≪ 32π ² /3 ≈ 100 , es aplicable la teoría de Stokes de segundo orden. De lo contrario, para ondas bastante largas ( λ > 7 h ) de altura apreciable H es más apropiada una descripción de onda cnoidal . ^[6] Según Hedges, la teoría de Stokes de quinto orden es aplicable para U < 40 , y de lo contrario es preferible la teoría de onda cnoidal de quinto orden . ^{[10] [11]}

Relación de dispersión de tercer orden

Mejora no lineal de la velocidad de fase c = ω / k – según la teoría de tercer orden de Stokes para ondas de gravedad superficiales , y usando la primera definición de celeridad de Stokes – en comparación con la velocidad de fase de la teoría lineal c ₀ . En el eje horizontal está la profundidad relativa del agua h  / λ, con h la profundidad media y λ la longitud de onda , mientras que el eje vertical es la mejora no lineal de la velocidad de fase ( c − c ₀ ) / c ₀ dividida por la inclinación de la ola ka al cuadrado.
Descripción: * la línea azul sólida es válida para una profundidad de agua arbitraria, * la línea roja discontinua es el límite de aguas poco profundas (profundidad del agua pequeña en comparación con la longitud de onda), y * la línea verde de puntos y rayas es el límite asintótico para olas en aguas profundas.

Para las ondas de Stokes bajo la acción de la gravedad, la relación de dispersión de tercer orden es –según la primera definición de celeridad de Stokes: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\&\qquad {\text{with}}\\\sigma &=\tanh \,kh.\end{aligned}}}$$

Esta relación de dispersión de tercer orden es una consecuencia directa de evitar los términos seculares al insertar la solución de Stokes de segundo orden en las ecuaciones de tercer orden (de la serie de perturbaciones para el problema de ondas periódicas).

En aguas profundas (longitud de onda corta en comparación con la profundidad): y en aguas poco profundas (longitudes de onda largas en comparación con la profundidad): $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$$ $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$$

Como se muestra arriba, la expansión de Stokes de onda larga para la relación de dispersión solo será válida para valores suficientemente pequeños del parámetro de Ursell: U ≪ 100 .

Descripción general

Enfoque de Stokes al problema de las ondas no lineales

Ondas en el patrón de estela Kelvin generadas por un barco en el canal Maas-Waalkanaal en los Países Bajos. Las ondas transversales en este patrón de estela Kelvin son casi ondas planas de Stokes.

El barco Delaware II de la NOAA en condiciones meteorológicas adversas en el banco Georges . Si bien estas olas oceánicas son aleatorias y no ondas de Stokes (en sentido estricto), indican las crestas pronunciadas y los valles planos típicos que se encuentran en las ondas de gravedad superficial no lineales.

Un problema fundamental en la búsqueda de soluciones para las ondas de gravedad superficial es que las condiciones de contorno deben aplicarse en la posición de la superficie libre , que no se conoce de antemano y, por lo tanto, es parte de la solución a encontrar. Sir George Stokes resolvió este problema de onda no lineal en 1847 expandiendo las cantidades de flujo potencial relevantes en una serie de Taylor alrededor de la elevación media (o fija) de la superficie. ^[12] Como resultado, las condiciones de contorno se pueden expresar en términos de cantidades en la elevación media (o fija) de la superficie (que es fija y conocida).

A continuación, se busca una solución para el problema de las olas no lineales (incluida la expansión de la serie de Taylor alrededor de la elevación media o de la superficie fija) por medio de una serie de perturbaciones, conocida como expansión de Stokes , en términos de un pequeño parámetro, con mayor frecuencia la inclinación de la ola. Los términos desconocidos en la expansión se pueden resolver secuencialmente. ^{[6] [8]} A menudo, solo se necesita una pequeña cantidad de términos para proporcionar una solución con suficiente precisión para fines de ingeniería. ^[11] Las aplicaciones típicas son el diseño de estructuras costeras y marinas , y de barcos .

Otra propiedad de las ondas no lineales es que la velocidad de fase de las ondas no lineales depende de la altura de la ola . En un enfoque de series de perturbaciones, esto fácilmente da lugar a una variación secular espuria de la solución, en contradicción con el comportamiento periódico de las ondas. Stokes resolvió este problema expandiendo también la relación de dispersión en una serie de perturbaciones, mediante un método ahora conocido como el método de Lindstedt-Poincaré . ^[6]

Aplicabilidad

Validez de varias teorías para ondas periódicas en el agua, según Le Méhauté (1976). ^[13] El área azul claro indica el rango de validez de la teoría de ondas cnoidales ; el amarillo claro, para la teoría de ondas de Airy ; y las líneas discontinuas azules demarcan entre el orden requerido en la teoría de ondas de Stokes. El sombreado gris claro indica la extensión del rango mediante aproximaciones numéricas utilizando la teoría de funciones de corriente de quinto orden , para olas altas ( H  >  1 ⁄ 4  H _rompiendo ).

La teoría de ondas de Stokes , cuando se utiliza un orden bajo de la expansión de perturbación (por ejemplo, hasta segundo, tercer o quinto orden), es válida para ondas no lineales en aguas intermedias y profundas, es decir, para longitudes de onda ( λ ) no grandes en comparación con la profundidad media ( h ). En aguas poco profundas , la expansión de Stokes de orden bajo se rompe (da resultados poco realistas) para amplitudes de onda apreciables (en comparación con la profundidad). Entonces, las aproximaciones de Boussinesq son más apropiadas. Otras aproximaciones sobre ecuaciones de onda de tipo Boussinesq (multidireccionales) conducen, para la propagación de ondas unidireccionales, a la ecuación de Korteweg-de Vries o la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony . Al igual que las soluciones de ondas de Stokes (casi) exactas, ^[14] estas dos ecuaciones tienen soluciones de ondas solitarias ( solitón ), además de soluciones de ondas periódicas conocidas como ondas cnoidales . ^[11]

Extensiones modernas

Ya en 1914, Wilton extendió la expansión de Stokes para ondas gravitacionales superficiales de aguas profundas hasta el décimo orden, aunque introduciendo errores en el octavo orden. ^[15] De derivó una teoría de quinto orden para profundidad finita en 1955. ^[16] Para uso en ingeniería, las formulaciones de quinto orden de Fenton son convenientes, aplicables tanto a la primera como a la segunda definición de Stokes de velocidad de fase (celeridad). ^{[17] La ​​demarcación entre cuándo es preferible la teoría de Stokes de quinto orden sobre la teoría} de ondas cnoidales de quinto orden es para parámetros de Ursell por debajo de aproximadamente 40. ^{[10] [11]}

En los enfoques similares a Stokes para el problema de las ondas no lineales, son posibles diferentes opciones para el marco de referencia y los parámetros de expansión. En 1880, el propio Stokes invirtió las variables dependientes e independientes, tomando el potencial de velocidad y la función de corriente como variables independientes, y las coordenadas ( x , z ) como variables dependientes, siendo x y z las coordenadas horizontales y verticales respectivamente. ^[18] Esto tiene la ventaja de que la superficie libre, en un marco de referencia en el que la onda es constante (es decir, se mueve con la velocidad de fase), se corresponde con una línea en la que la función de corriente es constante. Entonces, la ubicación de la superficie libre se conoce de antemano y no es una parte desconocida de la solución. La desventaja es que el radio de convergencia de la expansión de la serie reformulada se reduce. ^[19]

Otro enfoque es el uso del marco de referencia lagrangiano , siguiendo las parcelas de fluido . Las formulaciones lagrangianas muestran una convergencia mejorada, en comparación con las formulaciones tanto en el marco euleriano como en el marco con el potencial y la función de corriente como variables independientes. ^{[20] [21]}

Crapper obtuvo en 1957 una solución exacta para ondas capilares puras no lineales de forma permanente y para una profundidad de fluido infinita. Obsérvese que estas ondas capilares (que son ondas cortas forzadas por la tensión superficial , si los efectos de la gravedad son despreciables) tienen valles agudos y crestas planas. Esto contrasta con las ondas de gravedad superficiales no lineales, que tienen crestas agudas y valles planos. ^[22]

Varias propiedades integrales de las ondas de Stokes en aguas profundas en función de la inclinación de las olas. ^[23] La inclinación de las olas se define como la relación entre la altura de la ola H y la longitud de onda λ. Las propiedades de las olas se hacen adimensionales utilizando el número de onda k = 2π / λ , la aceleración gravitacional g y la densidad del fluido ρ .
Se muestran la densidad de energía cinética T , la densidad de energía potencial V , la densidad de energía total E = T + V , la densidad de momento de la onda horizontal I y la mejora relativa de la velocidad de fase c . Las densidades de energía de las olas T , V y E se integran sobre la profundidad y se promedian sobre una longitud de onda, por lo que son energías por unidad de área horizontal; la densidad de momento de la ola I es similar. Las líneas negras discontinuas muestran 1/16 ( kH ) ² y 1/8 ( kH ) ^{2 , que son los valores de las propiedades integrales derivadas de} la teoría de ondas de Airy (lineal) . La altura máxima de ola se produce para una pendiente de ola H / λ ≈ 0,1412 , por encima de la cual no existen ondas de gravedad superficiales periódicas. ^[24]
Nótese que las propiedades de ola mostradas tienen un máximo para una altura de ola menor que la altura máxima de ola (ver, por ejemplo, Longuet-Higgins 1975; Cokelet 1977).

Mediante el uso de modelos informáticos, Schwartz (1974) ha continuado la expansión de Stokes para las ondas gravitacionales superficiales hasta el orden alto (117º). Schwartz ha descubierto que la amplitud a (o a _{1 ) de la} fundamental de primer orden alcanza un máximo antes de que se alcance la altura máxima de ola H. En consecuencia, la inclinación de la ola ka en términos de amplitud de la ola no es una función monótona hasta la ola más alta, y Schwartz utiliza en cambio kH como parámetro de expansión. Para estimar la ola más alta en aguas profundas, Schwartz ha utilizado aproximaciones de Padé y diagramas de Domb-Sykes para mejorar la convergencia de la expansión de Stokes. Williams (1981, 1985) proporciona tablas ampliadas de ondas de Stokes a varias profundidades, calculadas mediante un método diferente (pero de acuerdo con los resultados de otros).

Existen varias relaciones exactas entre propiedades integrales –como la energía cinética y potencial , el momento de la ola horizontal y la tensión de radiación– , como las halló Longuet-Higgins (1975). Demuestra, para las olas en aguas profundas, que muchas de estas propiedades integrales tienen un máximo antes de que se alcance la altura máxima de la ola (en apoyo de los hallazgos de Schwartz). Cokelet (1978) , utilizando un método similar al de Schwartz, calculó y tabuló propiedades integrales para una amplia gama de profundidades de agua finitas (todas alcanzando máximos por debajo de la altura de ola más alta). Además, estas propiedades integrales juegan un papel importante en las leyes de conservación de las olas de agua, a través del teorema de Noether . ^[25] harvtxt error: no target: CITEREFCokelet1978 (help)

En 2005, Hammack, Henderson y Segur aportaron la primera evidencia experimental de la existencia de ondas progresivas tridimensionales de forma permanente en aguas profundas, es decir, patrones de ondas progresivas biperiódicos y bidimensionales de forma permanente. ^[26] La existencia de estas ondas tridimensionales constantes en aguas profundas se reveló en 2002, a partir de un estudio de bifurcación de ondas de Stokes bidimensionales realizado por Craig y Nicholls, utilizando métodos numéricos. ^[27]

Convergencia e inestabilidad

Convergencia

La convergencia de la expansión de Stokes fue demostrada por primera vez por Levi-Civita (1925) para el caso de ondas de pequeña amplitud, en la superficie libre de un fluido de profundidad infinita. Esto fue ampliado poco después por Struik (1926) para el caso de profundidad finita y ondas de pequeña amplitud. ^[28]

A finales del siglo XX se demostró que, en el caso de ondas de amplitud finita, la convergencia de la expansión de Stokes depende en gran medida de la formulación del problema de las ondas periódicas. Por ejemplo, una formulación inversa del problema de las ondas periódicas, como la utilizada por Stokes (con las coordenadas espaciales como función del potencial de velocidad y la función de corriente ), no converge para ondas de gran amplitud, mientras que otras formulaciones convergen mucho más rápidamente, por ejemplo, en el marco de referencia euleriano (con el potencial de velocidad o la función de corriente como función de las coordenadas espaciales). ^[19]

Ola más alta

Olas de Stokes de máxima altura de ola en aguas profundas, bajo la acción de la gravedad.

La pendiente máxima de las olas, para olas periódicas y que se propagan en aguas profundas, es H / λ = 0,1410633 ± 4 · 10 ⁻⁷ , ^[29] por lo que la altura de las olas es aproximadamente un séptimo ( ⁠1/7) de la longitud de onda λ. ^[24] Y las ondas de gravedad superficial de esta altura máxima tienen una cresta de onda aguda – con un ángulo de 120° (en el dominio del fluido) – también para una profundidad finita, como lo demostró Stokes en 1880. ^[18]

Una estimación precisa de la mayor pendiente de ola en aguas profundas ( H / λ ≈ 0,142 ) fue realizada ya en 1893, por John Henry Michell , utilizando un método numérico. ^[30] Un estudio más detallado del comportamiento de la ola más alta cerca de la cresta de esquinas agudas fue publicado por Malcolm A. Grant, en 1973. ^[31] La existencia de la ola más alta en aguas profundas con una cresta de ángulo agudo de 120° fue probada por John Toland en 1978. ^[32] La convexidad de η(x) entre los máximos sucesivos con una cresta de ángulo agudo de 120° fue probada independientemente por CJ Amick et al. y Pavel I. Plotnikov en 1982. ^{[33] [34]}

La onda de Stokes más alta, bajo la acción de la gravedad, se puede aproximar con la siguiente representación simple y precisa de la elevación de la superficie libre η ( x , t ): ^[35] con para $${\displaystyle {\frac {\eta }{\lambda }}=A\,\left[\cosh \,\left({\frac {x-ct}{\lambda }}\right)-1\right],}$$ $${\displaystyle A={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,\sinh \left({\frac {1}{2}}\right)}}\approx 1.108,}$$ $${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\,\lambda \leq (x-ct)\leq {\tfrac {1}{2}}\,\lambda ,}$$

y se desplaza horizontalmente sobre un número entero de longitudes de onda para representar las demás ondas del tren de ondas regular. Esta aproximación tiene una precisión de 0,7 % en todas partes, en comparación con la solución "exacta" para la onda más alta. ^[35]

Otra aproximación precisa –aunque menos precisa que la anterior– del movimiento del fluido en la superficie de la ola más pronunciada es por analogía con la oscilación del péndulo de un reloj de pie . ^[36]

En StokesWave.org se puede encontrar una gran biblioteca de ondas de Stokes calculadas con alta precisión para el caso de profundidad infinita, representadas con alta exactitud (al menos 27 dígitos después del punto decimal) como una aproximación de Padé ^[37].

Inestabilidad

En aguas más profundas, las ondas de Stokes son inestables. ^[38] Esto fue demostrado por T. Brooke Benjamin y Jim E. Feir en 1967. ^{[39] [40]} La inestabilidad de Benjamin-Feir es una inestabilidad de banda lateral o modulación, con las modulaciones de banda lateral propagándose en la misma dirección que la onda portadora ; las ondas se vuelven inestables en aguas más profundas para una profundidad relativa kh > 1.363 (con k el número de onda y h la profundidad media del agua). ^[41] La inestabilidad de Benjamin-Feir se puede describir con la ecuación no lineal de Schrödinger , insertando una onda de Stokes con bandas laterales. ^[38] Posteriormente, con un análisis más refinado, se ha demostrado -teórica y experimentalmente- que la onda de Stokes y sus bandas laterales exhiben recurrencia de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou : una alternancia cíclica entre modulación y demodulación. ^[42]

En 1978 Longuet-Higgins , mediante el modelado numérico de ondas completamente no lineales y modulaciones (propagadas en la dirección de la onda portadora), presentó un análisis detallado de la región de inestabilidad en aguas profundas: tanto para superarmónicos (para perturbaciones en las escalas espaciales menores que la longitud de onda ) ^[43] como para subarmónicos (para perturbaciones en las escalas espaciales mayores que ). ^[44] Con el aumento de la amplitud de la onda de Stokes, aparecen nuevos modos de inestabilidad superarmónica. La aparición de una nueva rama de inestabilidad ocurre cuando la energía de la onda pasa el extremo. El análisis detallado del mecanismo de aparición de las nuevas ramas de inestabilidad ha demostrado que su comportamiento sigue de cerca una ley simple, que permite encontrar con buena precisión las tasas de crecimiento de la inestabilidad para todas las ramas conocidas y predichas. ^[45] En los estudios de Longuet-Higgins sobre el movimiento de ondas bidimensionales, así como en los estudios posteriores de modulaciones tridimensionales de McLean et al., se encontraron nuevos tipos de inestabilidades, asociadas con interacciones de ondas resonantes entre cinco (o más) componentes de onda. ^{[46] [47] [48]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Expansión de Stokes

Ecuaciones que rigen un flujo potencial

En muchos casos, el flujo oscilatorio en el interior del fluido de las ondas superficiales se puede describir con precisión utilizando la teoría del flujo potencial , aparte de las capas límite cerca de la superficie libre y el fondo (donde la vorticidad es importante, debido a los efectos viscosos , consulte la capa límite de Stokes ). ^[49] Entonces, la velocidad de flujo u se puede describir como el gradiente de un potencial de velocidad : ${\displaystyle \Phi }$

En consecuencia, suponiendo un flujo incompresible , el campo de velocidad u no tiene divergencia y el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace ^[49]. ${\displaystyle \Phi }$

en el interior del fluido.

La región del fluido se describe utilizando coordenadas cartesianas tridimensionales ( x , y , z ), con x e y las coordenadas horizontales, y z la coordenada vertical, con la dirección z positiva opuesta a la dirección de la aceleración gravitacional . El tiempo se denota con t . La superficie libre está ubicada en z = η ( x , y , t ) , y el fondo de la región del fluido está en z = − h ( x , y ) .

Las condiciones de contorno de superficie libre para las ondas de gravedad superficial –utilizando una descripción de flujo potencial– consisten en una condición de contorno cinemática y una condición de contorno dinámica . ^[50] La condición de contorno cinemática asegura que el componente normal de la velocidad de flujo del fluido , en notación matricial, en la superficie libre sea igual al componente de velocidad normal del movimiento de superficie libre z = η ( x , y , t ) : ${\displaystyle \mathbf {u} =[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$

La condición de contorno dinámico establece que, sin efectos de tensión superficial , la presión atmosférica justo por encima de la superficie libre es igual a la presión del fluido justo debajo de la superficie. Para un flujo potencial inestable, esto significa que se debe aplicar la ecuación de Bernoulli en la superficie libre. En caso de una presión atmosférica constante, la condición de contorno dinámico se convierte en:

donde la presión atmosférica constante se ha tomado igual a cero, sin pérdida de generalidad .

Ambas condiciones de contorno contienen el potencial así como la elevación de la superficie η . Se puede construir una condición de contorno (dinámica) en términos únicamente del potencial tomando la derivada material de la condición de contorno dinámica y utilizando la condición de contorno cinemática: ^{[49] [50] [51]} ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$$ $${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$$

En la parte inferior de la capa de fluido, la impermeabilidad requiere que el componente normal de la velocidad del flujo desaparezca: ^[49]

donde h ( x , y ) es la profundidad de la capa debajo del dato z = 0 y n es el componente de coordenadas en la dirección normal a la capa .

Para las ondas permanentes sobre un lecho horizontal, la profundidad media h es una constante y la condición límite en el lecho se convierte en: $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$$

Serie de Taylor en condiciones de contorno de superficie libre

Las condiciones de contorno de superficie libre (D) y (E) se aplican a la elevación de superficie libre aún desconocida z = η ( x , y , t ) . Se pueden transformar en condiciones de contorno a una elevación fija z = constante mediante el uso de expansiones de la serie de Taylor del campo de flujo alrededor de esa elevación. ^[49] Sin pérdida de generalidad, la elevación media de la superficie, alrededor de la cual se desarrollan las series de Taylor, se puede tomar en z = 0 . Esto asegura que la expansión esté alrededor de una elevación en la proximidad de la elevación real de la superficie libre. La convergencia de la serie de Taylor para el movimiento de onda estacionaria de pequeña amplitud fue probada por Levi-Civita (1925).

Se utiliza la siguiente notación: la serie de Taylor de algún campo f ( x , y , z , t ) alrededor de z = 0 – y evaluado en z = η ( x , y , t ) – es: ^[52] con subíndice cero que significa evaluación en z = 0 , por ejemplo: [ f ] ₀ = f ( x , y ,0, t ) . $${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$$

Aplicando la expansión de Taylor a la condición de contorno de superficie libre Eq. (E) en términos del potencial Φ se obtiene: ^{[49] [52]}

mostrando términos hasta productos triples de η , Φ y u , como se requiere para la construcción de la expansión de Stokes hasta tercer orden O (( ka ) ³ ). Aquí, ka es la pendiente de la onda, con k un número de onda característico y a una amplitud de onda característica para el problema en estudio. Se supone que los campos η , Φ y u son O ( ka ).

La condición de contorno de superficie libre dinámica Eq. (D) se puede evaluar en términos de cantidades en z = 0 como: ^{[49] [52]}

Las ventajas de estas expansiones de series de Taylor emergen plenamente en combinación con un enfoque de series de perturbaciones, para ondas débilmente no lineales ( ka ≪ 1) .

Enfoque de series de perturbaciones

Las series de perturbaciones se expresan en términos de un pequeño parámetro de ordenamiento ε ≪ 1 , que posteriormente resulta ser proporcional a (y del orden de) la pendiente de onda ka , véase la solución de la serie en esta sección. ^[53] Por lo tanto, tomemos ε = ka : $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Cuando se aplican en las ecuaciones de flujo, deben ser válidas independientemente del valor particular de ε . Al igualar en potencias de ε , cada término proporcional a ε elevado a una determinada potencia debe ser igual a cero. Como ejemplo de cómo funciona el enfoque de series de perturbaciones, considere la condición de contorno no lineal (G) ; se convierte en: ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$$

Las condiciones de contorno resultantes en z = 0 para los tres primeros órdenes son:

Primer orden:

Segundo orden:

Tercer orden:

De manera similar, a partir de la condición de contorno dinámica (H) , las condiciones en z = 0 en los órdenes 1, 2 y 3 se convierten en:

Primer orden:

Segundo orden:

Tercer orden:

Para las ecuaciones lineales (A) , (B) y (F) la técnica de perturbación da como resultado una serie de ecuaciones independientes de las soluciones de perturbación en otros órdenes:

Las ecuaciones de perturbación anteriores se pueden resolver secuencialmente, es decir, comenzando con el primer orden, luego continuando con el segundo orden, el tercer orden, etc.

Aplicación a ondas periódicas progresivas de forma permanente

Animación de ondas de Stokes pronunciadas en aguas profundas, con una longitud de onda de aproximadamente el doble de la profundidad del agua, durante tres períodos de onda sucesivos . La altura de la ola es de aproximadamente el 9,2 % de la longitud de onda .
Descripción de la animación : Los puntos blancos son partículas de fluido, seguidas en el tiempo. En el caso que se muestra aquí, la velocidad horizontal euleriana media por debajo del valle de la ola es cero. ^[54]

Las ondas de forma permanente se propagan con una velocidad de fase constante (o celeridad), denotada como c . Si el movimiento de onda constante es en la dirección x horizontal , las cantidades de flujo η y u no dependen por separado de x y del tiempo t , sino que son funciones de x − ct : ^[55] $${\displaystyle \eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).}$$

Además, las ondas son periódicas (y también tienen forma permanente) tanto en el espacio horizontal x como en el tiempo t , con longitud de onda λ y período τ respectivamente. Nótese que Φ ( x , z , t ) en sí no es necesariamente periódica debido a la posibilidad de una deriva constante (lineal) en x y/o t : ^[56] con φ ( x , z , t ) – así como las derivadas ∂ Φ /∂ t y ∂ Φ /∂ x – siendo periódicas. Aquí β es la velocidad media del flujo por debajo del nivel del valle , y γ está relacionada con la carga hidráulica como se observa en un marco de referencia que se mueve con la velocidad de fase de la onda c (por lo que el flujo se vuelve estable en este marco de referencia). $${\displaystyle \Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),}$$

Para aplicar la expansión de Stokes a ondas periódicas progresivas, es ventajoso describirlas a través de series de Fourier en función de la fase de onda θ ( x , t ): ^{[48] [56]} $${\displaystyle \theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),}$$

Suponiendo que las ondas se propagan en la dirección x , donde k = 2 π / λ es el número de onda , ω = 2 π / τ es la frecuencia angular y c = ω / k (= λ / τ ) es la velocidad de fase .

Ahora, la elevación de la superficie libre η ( x , t ) de una onda periódica se puede describir como la serie de Fourier : ^{[11] [56]} $${\displaystyle \eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).}$$

De manera similar, la expresión correspondiente para el potencial de velocidad Φ ( x , z , t ) es: ^[56] $${\displaystyle \Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),}$$

satisfaciendo tanto la ecuación de Laplace ∇ ² Φ = 0 en el interior del fluido, como la condición de contorno ∂ Φ /∂ z = 0 en el lecho z = − h .

Para un valor dado del número de onda k , los parámetros: A _n , B _n (con n = 1, 2, 3, ... ), c ​​, β y γ aún están por determinar. Todos ellos pueden expandirse como series de perturbaciones en ε . Fenton (1990) proporciona estos valores para la teoría de ondas de Stokes de quinto orden.

Para ondas periódicas progresivas, las derivadas con respecto a x y t de las funciones f ( θ , z ) de θ ( x , t ) se pueden expresar como derivadas con respecto a θ : $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$$

El punto importante para las ondas no lineales –en contraste con la teoría de ondas lineales de Airy– es que la velocidad de fase c también depende de la amplitud de onda a , además de su dependencia de la longitud de onda λ = 2π / k y la profundidad media h . La negligencia de la dependencia de c de la amplitud de onda da como resultado la aparición de términos seculares , en las contribuciones de orden superior a la solución de la serie de perturbaciones. Stokes (1847) ya aplicó la corrección no lineal requerida a la velocidad de fase c para evitar el comportamiento secular. Un enfoque general para hacerlo se conoce ahora como el método de Lindstedt-Poincaré . Dado que el número de onda k está dado y, por lo tanto, fijo, el comportamiento no lineal de la velocidad de fase c = ω / k se tiene en cuenta al expandir también la frecuencia angular ω en una serie de perturbaciones: ^[9] $${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .}$$

Aquí ω ₀ resultará estar relacionado con el número de onda k a través de la relación de dispersión lineal . Sin embargo, las derivadas temporales, a través de ∂ f /∂ t = − ω ∂ f /∂ θ , ahora también dan contribuciones – que contienen ω ₁ , ω ₂ , etc. – a las ecuaciones gobernantes en órdenes superiores en la serie de perturbaciones. Al ajustar ω ₁ , ω ₂ , etc., se puede prevenir el comportamiento secular. Para las ondas de gravedad superficial, se encuentra que ω ₁ = 0 y la primera contribución no nula a la relación de dispersión proviene de ω ₂ (ver, por ejemplo, la subsección "Relación de dispersión de tercer orden" anterior). ^[9]

Las dos definiciones de Stokes sobre la celeridad de las ondas

En el caso de las ondas superficiales no lineales, en general existe una ambigüedad a la hora de dividir el movimiento total en una parte de onda y una parte media . En consecuencia, existe cierta libertad a la hora de elegir la velocidad de fase (celeridad) de la onda. Stokes (1847) identificó dos definiciones lógicas de velocidad de fase, conocidas como la primera y la segunda definición de Stokes de celeridad de onda: ^{[6] [11] [57]}

1. La primera definición de Stokes de la celeridad de las olas tiene, para un movimiento de olas puro, el valor medio de la velocidad de flujo euleriano horizontal Ū _E en cualquier ubicación por debajo del nivel del valle igual a cero. Debido a la irrotacionalidad del flujo potencial, junto con el lecho marino horizontal y la periodicidad de la velocidad horizontal media, la velocidad horizontal media es una constante entre el lecho y el nivel del valle. Por lo tanto, en la primera definición de Stokes, la ola se considera desde un marco de referencia que se mueve con la velocidad horizontal media Ū _E . Este es un enfoque ventajoso cuando se conoce la velocidad de flujo euleriano media Ū _E , por ejemplo, a partir de mediciones.
2. La segunda definición de Stokes de la celeridad de las olas es para un marco de referencia donde el transporte de masa horizontal medio del movimiento de las olas es igual a cero. Esto es diferente de la primera definición debido al transporte de masa en la zona de salpicadura , es decir, entre el nivel del valle y la cresta, en la dirección de propagación de las olas. Este transporte de masa inducido por las olas es causado por la correlación positiva entre la elevación de la superficie y la velocidad horizontal. En el marco de referencia para la segunda definición de Stokes, el transporte de masa inducido por las olas es compensado por una resaca opuesta (por lo que Ū _{E < 0 para las olas que se propagan en la dirección} x  positiva ). Esta es la definición lógica para las olas generadas en un canal de olas en el laboratorio, o las olas que se mueven perpendicularmente hacia una playa.

Como señaló Michael E. McIntyre , el transporte de masa horizontal medio será (casi) cero para un grupo de olas que se aproxima a aguas tranquilas, y también en aguas profundas el transporte de masa causado por las olas se equilibra con un transporte de masa opuesto en un flujo de retorno (resaca). ^[58] Esto se debe al hecho de que, de lo contrario, se necesitará una gran fuerza media para acelerar el cuerpo de agua en el que se propaga el grupo de olas.

Notas

1. Figura 5 en: Susan Bartsch-Winkler; David K. Lynch (1988), Catálogo de ocurrencias y características de mareas en todo el mundo (Circular 1022), Servicio Geológico de Estados Unidos
2. Chakrabarti, SK (2005), Manual de ingeniería offshore , Elsevier, pág. 235, ISBN 9780080445687
3. Grant, MA (1973), "Ondas de Stokes estacionarias de altura máxima", Journal of Fluid Mechanics , 60 (3): 593–604, Bibcode :1973JFM....60..593G, doi :10.1017/S0022112073000364, S2CID  123179735
4. Ochi, Michel K. (2003), Mares generados por huracanes , Elsevier, pág. 119, ISBN 9780080443126
5. Tayfun, MA (1980), "Ondas marinas no lineales de banda estrecha", Journal of Geophysical Research , 85 (C3): 1548–1552, Bibcode :1980JGR....85.1548T, doi :10.1029/JC085iC03p01548
6. Dingemans, MW (1997), "Propagación de ondas de agua sobre fondos irregulares", NASA Sti/Recon Technical Report N , Advanced Series on Ocean Engineering, 13 : 171–184, §2.8, Bibcode :1985STIN...8525769K, ISBN 978-981-02-0427-3, OCLC  36126836
7. Svendsen, IA (2006), Introducción a la hidrodinámica costera , World Scientific, pág. 370, ISBN 9789812561428
8. Toba, Yoshiaki (2003), Interacciones océano-atmósfera , Springer, págs. 27-31, ISBN 9781402011719
9. Whitham (1974, págs. 471–476, §13.13)
10. Hedges, TS (1995), "Regiones de validez de las teorías analíticas de ondas", Actas de la Institución de Ingenieros Civiles - Agua, Marítimo y Energía , 112 (2): 111–114, doi :10.1680/iwtme.1995.27656
11. Fenton (1990)
12. Stokes (1847)
13. Le Méhauté, B. (1976), Introducción a la hidrodinámica y las ondas de agua , Springer, ISBN 978-0387072326
14. Longuet-Higgins, MS ; Fenton, JD (1974), "Sobre la masa, el momento, la energía y la circulación de una onda solitaria. II", Actas de la Royal Society A , 340 (1623): 471–493, Bibcode :1974RSPSA.340..471L, doi :10.1098/rspa.1974.0166, S2CID  124253945
15. Wilton (1914)
16. De (1955)
17. Fenton (1985), también (incluidas las correcciones) en Fenton (1990)
18. Stokes (1880b)
19. Drennan, WM; Hui, WH; Tenti, G. (1992), "Cálculos precisos de las ondas de agua de Stokes de gran amplitud", Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik , 43 (2): 367–384, Bibcode :1992ZaMP...43..367D, doi :10.1007 /BF00946637, S2CID  121134205
20. Buldakov, EV; Taylor, PH; Eatock Taylor, R. (2006), "Nueva descripción asintótica de ondas de agua no lineales en coordenadas lagrangianas", Journal of Fluid Mechanics , 562 : 431–444, Bibcode :2006JFM...562..431B, CiteSeerX 10.1.1.492.5377 , doi :10.1017/S0022112006001443, S2CID  29506471 
21. Clamond, D. (2007), "Sobre la descripción lagrangiana de las ondas gravitacionales superficiales estables", Journal of Fluid Mechanics , 589 : 433–454, Bibcode :2007JFM...589..433C, CiteSeerX 10.1.1.526.5643 , doi :10.1017/S0022112007007811, S2CID  123255841 
22. El idiota (1957)
23. Esta figura es una nueva versión y adaptación de la Figura 1 en Schwartz & Fenton (1982)
24. Schwartz y Fenton (1982)
25. Benjamin, TB ; Olver, PJ (1982), "Estructura hamiltoniana, simetrías y leyes de conservación para ondas de agua", Journal of Fluid Mechanics , 125 : 137–185, Bibcode :1982JFM...125..137B, doi :10.1017/S0022112082003292, S2CID  11744174
26. Hammack, JL; Henderson, DM ; Segur, H. (2005), "Ondas progresivas con patrones superficiales bidimensionales persistentes en aguas profundas", Journal of Fluid Mechanics , 532 : 1–52, Bibcode :2005JFM...532....1H, doi :10.1017/S0022112005003733, S2CID  53416586
27. Craig, W.; Nicholls, DP (2002), "Ondas gravitacionales que viajan en el agua en dos y tres dimensiones", European Journal of Mechanics B , 21 (6): 615–641, Bibcode :2002EJMF...21..615C, doi :10.1016/S0997-7546(02)01207-4
28. Debnath, L. (2005), Ecuaciones diferenciales parciales no lineales para científicos e ingenieros , Birkhäuser, págs. 181 y 418–419, ISBN 9780817643232
29. Dyachenko, SA; Lushnikov, PM; Korotkevich, AO (2016), "Cortes de rama de la onda de Stokes en aguas profundas. Parte I: Solución numérica y aproximación de Padé", Estudios en Matemáticas Aplicadas , 137 (4): 419–472, arXiv : 1507.02784 , doi :10.1111/sapm.12128, S2CID  52104285
30. Michell, JH (1893), "Las olas más altas en el agua", Philosophical Magazine , Serie 5, 36 (222): 430–437, doi :10.1080/14786449308620499
31. Grant, Malcolm A. (1973), "La singularidad en la cresta de una onda de Stokes progresiva de amplitud finita", Journal of Fluid Mechanics , 59 (2): 257–262, Bibcode :1973JFM....59..257G, doi :10.1017/S0022112073001552, S2CID  119356016
32. Toland, JF (1978), "Sobre la existencia de una ola de máxima altura y la conjetura de Stokes", Actas de la Royal Society A , 363 (1715): 469–485, Bibcode :1978RSPSA.363..469T, doi :10.1098/rspa.1978.0178, S2CID  120444295
33. Plotnikov, PI (1982), "Una prueba de la conjetura de Stokes en la teoría de ondas superficiales", Dinamika Splosh. Sredy [en ruso] , 57 : 41–76

    Reimpreso en: Plotnikov, PI (2002), "Una prueba de la conjetura de Stokes en la teoría de ondas superficiales". Estudios en Matemáticas Aplicadas , 3 (2): 217–244, doi :10.1111/1467-9590.01408

34. Amick, CJ; Fraenkel, LE; Toland, JF (1982), "Sobre la conjetura de Stokes para la onda de forma extrema", Acta Mathematica , 148 : 193–214, doi : 10.1007/BF02392728
35. Rainey, RCT; Longuet-Higgins, MS (2006), "Una aproximación cercana de un término a la onda de Stokes más alta en aguas profundas", Ocean Engineering , 33 (14–15): 2012–2024, doi :10.1016/j.oceaneng.2005.09.014
36. Longuet‐Higgins, MS (1979), "¿Por qué una ola de agua es como un reloj de pie?", Física de fluidos , 22 (9): 1828–1829, Bibcode :1979PhFl...22.1828L, doi : 10.1063/1.862789
37. Dyachenko, SA; Korotkevich, AO; Lushnikov, PM; Semenova, AA; Silantyev, DA (2013-2022), StokesWave.org
38. Para una revisión de la inestabilidad de las ondas de Stokes, consulte, por ejemplo: Craik, ADD (1988), Wave interactions and fluid flow , Cambridge University Press, págs. 199-219, ISBN
     978-0-521-36829-2
39. Benjamin, T. Brooke ; Feir, JE (1967), "La desintegración de trenes de olas en aguas profundas. Parte 1. Teoría", Journal of Fluid Mechanics , 27 (3): 417–430, Bibcode :1967JFM....27..417B, doi :10.1017/S002211206700045X, S2CID  121996479
40. Zakharov, VE ; Ostrovsky, LA (2009). "Inestabilidad de modulación: el comienzo" (PDF) . Physica D . 238 (5): 540–548. Bibcode :2009PhyD..238..540Z. doi :10.1016/j.physd.2008.12.002.
41. Benjamin, TB (1967), "Inestabilidad de trenes de ondas periódicas en sistemas dispersivos no lineales", Actas de la Royal Society A , 299 (1456): 59–76, Bibcode :1967RSPSA.299...59B, doi :10.1098/rspa.1967.0123, S2CID  121661209Concluyó con un debate a cargo de Klaus Hasselmann .
42. Lake, BM; Yuen, HC; Rungaldier, H.; Ferguson, WE (1977), "Ondas no lineales en aguas profundas: teoría y experimento. Parte 2. Evolución de un tren de ondas continuas", Journal of Fluid Mechanics , 83 (1): 49–74, Bibcode :1977JFM....83...49L, doi :10.1017/S0022112077001037, S2CID  123014293
43. Longuet-Higgins, MS (1978), "Las inestabilidades de las ondas de gravedad de amplitud finita en aguas profundas. I. Superarmónicos", Actas de la Royal Society A , 360 (1703): 471–488, Bibcode :1978RSPSA.360..471L, doi :10.1098/rspa.1978.0080, S2CID  202575377
44. Longuet-Higgins, MS (1978), "Las inestabilidades de las ondas de gravedad de amplitud finita en aguas profundas. II. Subarmónicos", Actas de la Royal Society A , 360 (1703): 489–505, Bibcode :1978RSPSA.360..471L, doi :10.1098/rspa.1978.0080, S2CID  202575377
45. Korotkevich, AO; Lushnikov, PM; Semenova, A.; Dyachenko, SA (2022), "Inestabilidad superarmónica de las ondas de Stokes", Estudios en Matemáticas Aplicadas , 150 : 119–134, arXiv : 2206.00725 , doi : 10.1111/sapm.12535, S2CID  249282423
46. McLean, JW; Ma, YC; Martin, DU; Saffman, PG ; Yuen, HC (1981), "Inestabilidad tridimensional de ondas de agua de amplitud finita" (PDF) , Physical Review Letters , 46 (13): 817–820, Bibcode :1981PhRvL..46..817M, doi :10.1103/PhysRevLett.46.817
47. McLean, JW (1982), "Inestabilidades de las ondas de agua de amplitud finita", Journal of Fluid Mechanics , 114 : 315–330, Bibcode :1982JFM...114..315M, doi :10.1017/S0022112082000172, S2CID  122511104
48. Dias y Kharif (1999)
49. Phillips, OM (1980), Dinámica de la capa superior del océano (2.ª ed.), Cambridge University Press, págs. 33-37, ISBN 978-0-521-29801-8
50. Mei (1989, págs. 4-6)
51. Longuet-Higgins, MS (1962), "Interacciones resonantes entre dos trenes de ondas de gravedad", Journal of Fluid Mechanics , 12 (3): 321–332, Bibcode :1962JFM....12..321L, doi :10.1017/S0022112062000233, S2CID  122810532
52. Mei (1989, págs. 607-608)
53. Mediante la no dimensionalización de las ecuaciones de flujo y las condiciones de contorno, se pueden identificar diferentes regímenes, dependiendo de la escala de las coordenadas y las cantidades de flujo. En aguas profundas, la longitud de onda característica es la única escala de longitud disponible. Por lo tanto, las coordenadas horizontales y verticales son todas no dimensionalizadas con la longitud de onda. Esto conduce a la teoría de ondas de Stokes. Sin embargo, en aguas poco profundas, la profundidad del agua es la escala característica apropiada para hacer que la coordenada vertical sea adimensional, mientras que las coordenadas horizontales se escalan con la longitud de onda, lo que da como resultado la aproximación de Boussinesq . Para una discusión, consulte:
    • Beji, S. (1995), "Nota sobre un parámetro de no linealidad de las ondas superficiales", Coastal Engineering , 25 (1–2): 81–85, doi :10.1016/0378-3839(94)00031-R;
    • Kirby, JT (1998), "Discusión de 'Nota sobre un parámetro de no linealidad de ondas superficiales' por S. Beji", Coastal Engineering , 34 (1–2): 163–168, doi :10.1016/S0378-3839(98)00024-6y
    • Beji, S. (1998), "Cierre del autor a la discusión de JT Kirby 'Nota sobre un parámetro de no linealidad de ondas superficiales'", Ingeniería Costera , 34 (1–2): 169–171, doi :10.1016/S0378-3839(98)00018-0
54. La física de las olas se calcula con la teoría de funciones de corriente de Rienecker y Fenton (R&F) . Para obtener un código informático para calcularlas, consulte: Fenton, JD (1988), "The numerical solution of steady water wave problems", Computers & Geosciences , 14 (3): 357–368, Bibcode :1988CG.....14..357F, doi :10.1016/0098-3004(88)90066-0.Las animaciones se realizan a partir de los resultados de R&F con una serie de scripts de Matlab y scripts de shell .
55. Wehausen y Laitone (1960, págs. 653–667, §27)
56. Whitham (1974, págs. 553–556, §16.6)
57. Sarpkaya, Turgut; Isaacson, Michael (1981), Mecánica de las fuerzas de las olas en las estructuras marinas , Van Nostrand Reinhold, pág. 183, ISBN 9780442254025
58. McIntyre, ME (1981), "Sobre el mito del 'momento ondulatorio'", Journal of Fluid Mechanics , 106 : 331–347, Bibcode :1981JFM...106..331M, doi :10.1017/S0022112081001626, S2CID  18232994

Referencias

Por Sir George Gabriel Stokes

• Stokes, GG (1847), "Sobre la teoría de las ondas oscilatorias", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 8 : 441–455.
  

Reimpreso en: Stokes, GG (1880a), "Sobre la teoría de las ondas oscilatorias", Mathematical and Physical Papers, Volumen I, Cambridge University Press, págs. 197–229, ISBN 9781001435534, OCLC  314316422

• Stokes, GG (1880b), "Suplemento a un artículo sobre la teoría de las ondas oscilatorias", Mathematical and Physical Papers, Volumen I, Cambridge University Press, págs. 314–326, ISBN 9781001435534, OCLC  314316422

Otras referencias históricas

• Crapper, GD (1957), "Una solución exacta para ondas capilares progresivas de amplitud arbitraria", Journal of Fluid Mechanics , 2 (6): 532–540, Bibcode :1957JFM.....2..532C, doi :10.1017/S0022112057000348, S2CID  120377950
• De, SC (1955), "Contribuciones a la teoría de las ondas de Stokes", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 51 (4): 713–736, Bibcode :1955PCPS...51..713D, doi :10.1017/S0305004100030796, S2CID  122721263
• Levi-Civita, T. (1925), "Détermination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie", Mathematische Annalen , 93 : 264–314, doi :10.1007/BF01449965, S2CID  121341503
• Struik, DJ (1926), "Détermination rigoureuse des ondes irrotationelles périodiques dans un canal à profondeur finie", Mathematische Annalen , 95 : 595–634, doi :10.1007/BF01206629, S2CID  122656179
• Lord Rayleigh (1917), "Sobre ondas irrotacionales periódicas en la superficie de aguas profundas", Philosophical Magazine , Serie 6, 33 (197): 381–389, doi :10.1080/14786440508635653.
  

Reimpreso en: Strutt, John William (Lord Rayleigh) (1920), Scientific Papers, vol. 6, Cambridge University Press, págs. 478–485, §419, OCLC  2316730

• Wilton, JR (1914), "Sobre las ondas en aguas profundas", Philosophical Magazine , Serie 6, 27 (158): 385–394, doi :10.1080/14786440208635100

Más reciente (desde 1960)

• Cokelet, ED (1977), "Ondas de gravedad pronunciadas en agua de profundidad uniforme arbitraria", Philosophical Transactions of the Royal Society , 286 (1335): 183–230, Bibcode :1977RSPTA.286..183C, doi :10.1098/rsta.1977.0113, S2CID  119957640
• Craik, ADD (2005), "George Gabriel Stokes sobre la teoría de las ondas en el agua", Annual Review of Fluid Mechanics , 37 (1): 23–42, Bibcode :2005AnRFM..37...23C, doi :10.1146/annurev.fluid.37.061903.175836
• Dias, F.; Kharif, C. (1999), "Gravedad no lineal y ondas capilares-gravitatorias", Annual Review of Fluid Mechanics , 31 : 301–346, Bibcode :1999AnRFM..31..301D, doi :10.1146/annurev.fluid.31.1.301
• Fenton, JD (1985), "Una teoría de Stokes de quinto orden para ondas constantes", Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering , 111 (2): 216–234, CiteSeerX  10.1.1.461.6157 , doi :10.1061/(ASCE)0733-950X(1985)111:2(216)
  

Y en (incluyendo correcciones):

Fenton, JD (1990), "Teorías de ondas no lineales", en LeMéhauté, B.; Hanes, DM (eds.), Ocean Engineering Science (PDF) , The Sea, vol. 9A, Wiley Interscience, págs. 3–25, ISBN 9780674017399

• Longuet-Higgins, MS (1975), "Propiedades integrales de ondas de gravedad periódicas de amplitud finita", Actas de la Royal Society A , 342 (1629): 157–174, Bibcode :1975RSPSA.342..157L, doi :10.1098/rspa.1975.0018, S2CID  123723040
• Mei, CC (1989), La dinámica aplicada de las olas superficiales del océano , World Scientific, ISBN 9789971507893
• Schwartz, LW (1974), "Extensión computacional y continuación analítica de la expansión de Stokes para ondas de gravedad", Journal of Fluid Mechanics , 62 (3): 553–578, Bibcode :1974JFM....62..553S, doi :10.1017/S0022112074000802, S2CID  120140832
• Schwartz, LW; Fenton, JD (1982), "Ondas fuertemente no lineales", Annual Review of Fluid Mechanics , 14 : 39–60, Bibcode :1982AnRFM..14...39S, doi :10.1146/annurev.fl.14.010182.000351
• Wehausen, JV y Laitone, EV (1960), Flügge, S. y Truesdell, C. (eds.), "Ondas superficiales", Enciclopedia de Física , 9 : 653–667, §27, OCLC  612422741
• Whitham, GB (1974), Ondas lineales y no lineales , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-94090-6
• Williams, JM (1981), "Limitación de las ondas de gravedad en agua de profundidad finita", Philosophical Transactions of the Royal Society , Serie A, 302 (1466): 139–188, Bibcode :1981RSPTA.302..139W, doi :10.1098/rsta.1981.0159, S2CID  122673867y
  

Williams, JM (1985), Tablas de ondas gravitacionales progresivas , Pitman, ISBN 978-0273087335

Enlaces externos

• Jun Zhang, subprograma Stokes Waves, Universidad Texas A&M , consultado el 9 de agosto de 2012