Estrés por radiación

Término en oceanografía física

Las olas que rompen en las playas inducen variaciones en la tensión de radiación, lo que impulsa las corrientes litorales. El transporte de sedimentos litorales resultante da forma a las playas y puede provocar erosión o acreción de las mismas.

En dinámica de fluidos , la tensión de radiación es el exceso de flujo de momento integrado en profundidad (y luego promediado en fase ) causado por la presencia de ondas de gravedad superficiales , que se ejerce sobre el flujo medio . Las tensiones de radiación se comportan como un tensor de segundo orden .

El tensor de tensión de radiación describe la fuerza adicional debida a la presencia de las olas, que cambia el momento horizontal medio integrado en profundidad en la capa de fluido. Como resultado, la variación de las tensiones de radiación induce cambios en la elevación media de la superficie ( configuración de las olas ) y el flujo medio (corrientes inducidas por las olas).

Para la densidad de energía media en la parte oscilatoria del movimiento del fluido, el tensor de tensión de radiación es importante para su dinámica , en el caso de un campo de flujo medio no homogéneo .

El tensor de tensión de radiación, así como varias de sus implicaciones en la física de las ondas de gravedad superficial y los flujos medios, fueron formulados en una serie de artículos de Longuet-Higgins y Stewart en 1960-1964.

El estrés por radiación deriva su nombre del efecto análogo de la presión de radiación sobre la radiación electromagnética .

Importancia física

El estrés de radiación – exceso medio de flujo de momento debido a la presencia de olas – juega un papel importante en la explicación y modelado de varios procesos costeros: ^{[1] [2] [3]}

• Formación y descenso de las olas : el esfuerzo de radiación consiste en parte en una presión de radiación ejercida en la elevación de la superficie libre del flujo medio. Si el esfuerzo de radiación varía espacialmente, como ocurre en la zona de rompientes donde la altura de las olas se reduce al romperse , esto da como resultado cambios en la elevación media de la superficie, denominados formación de olas (en caso de un aumento del nivel) y descenso (para un nivel de agua reducido);
• Corriente impulsada por las olas , especialmente una corriente longitudinal en la zona de rompientes: en caso de incidencia oblicua de olas en una playa, la reducción de la altura de las olas dentro de la zona de rompientes (al romper) introduce una variación del componente de esfuerzo cortante S _xy del esfuerzo de radiación sobre el ancho de la zona de rompientes. Esto genera la fuerza de una corriente longitudinal impulsada por las olas, que es importante para el transporte de sedimentos ( deriva longitudinal ) y la morfología costera resultante ;
• Ondas largas ligadas u ondas largas forzadas , parte de las ondas de infragravedad : para los grupos de ondas, la tensión de radiación varía a lo largo del grupo. Como resultado, una onda larga no lineal se propaga junto con el grupo, a la velocidad de grupo de las ondas cortas moduladas dentro del grupo. Mientras que, según la relación de dispersión , una onda larga de esta longitud debería propagarse a su propia velocidad de fase (más alta) . La amplitud de esta onda larga ligada varía con el cuadrado de la altura de la ola y solo es significativa en aguas poco profundas;
• Interacción ola-corriente : en campos de flujo medio variables, los intercambios de energía entre las olas y el flujo medio, así como el forzamiento del flujo medio, se pueden modelar por medio del estrés de radiación.

Definiciones y valores derivados de la teoría de ondas lineales

Propagación de ondas unidimensionales

Para la propagación de ondas unidireccionales (por ejemplo, en la dirección de la coordenada x ), el componente del tensor de tensión de radiación de importancia dinámica es S _xx . Se define como: ^[4]

${\displaystyle S_{xx}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},}$

donde p ( x , z , t ) es la presión del fluido , es el componente x horizontal de la parte oscilatoria del vector de velocidad del flujo , z es la coordenada vertical, t es el tiempo, z  = − h ( x ) es la elevación del lecho de la capa de fluido, y z  =  η ( x , t ) es la elevación de la superficie. Además, ρ es la densidad del fluido y g es la aceleración por gravedad , mientras que una barra superior denota el promedio de fase . El último término en el lado derecho, ⁠ ${\displaystyle {\tilde {u}}(x,z,t)}$ 1/2⁠ ρg ( h + η ) ² , es la integral de la presión hidrostática sobre la profundidad del agua quieta.

En el orden más bajo (segundo), la tensión de radiación S _xx para ondas periódicas que viajan se puede determinar a partir de las propiedades de las ondas de gravedad superficiales según la teoría de ondas de Airy : ^{[5] [6]}

${\displaystyle S_{xx}=\left(2{\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E,}$

donde c _p es la velocidad de fase y c _g es la velocidad de grupo de las olas. Además, E es la densidad de energía de las olas media integrada en profundidad (la suma de la energía cinética y potencial ) por unidad de área horizontal. A partir de los resultados de la teoría de las olas de Airy, hasta el segundo orden, la densidad de energía media E es igual a: ^[7]

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\rho ga^{2}={\frac {1}{8}}\rho gH^{2},}$

con a la amplitud de la onda y H  = 2 a la altura de la onda . Nótese que esta ecuación es para ondas periódicas: en ondas aleatorias, se debe utilizar la altura de onda cuadrática media H _{rms con} H _rms  =  H _m0  /  √ 2 , donde H _m0 es la altura de onda significativa . Entonces E  =  1 ⁄ 16 ρgH _m0 ² .

Propagación de ondas bidimensionales

Para la propagación de ondas en dos dimensiones horizontales, la tensión de radiación es un tensor de segundo orden ^{[8] [9]} con componentes: ${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}.}$

Con, en un sistema de coordenadas cartesianas ( x , y , z ): ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xx}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},\\S_{xy}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(\rho {\tilde {u}}{\tilde {v}}\right)\;{\text{d}}z}}=S_{yx},\\S_{yy}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {v}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},\end{aligned}}}$

donde y son los componentes horizontales x e y de la parte oscilatoria del vector de velocidad de flujo. ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}(x,y,z,t)}$

En segundo orden, en amplitud de onda a , los componentes del tensor de tensión de radiación para ondas periódicas progresivas son: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xx}&=\left[{\frac {k_{x}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\\S_{xy}&=\left({\frac {k_{x}k_{y}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}\right)E=S_{yx},\quad {\text{and}}\\S_{yy}&=\left[{\frac {k_{y}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\end{aligned}}}$

donde k _x y k _y son los componentes x e y del vector de número de onda k , con longitud k  = | k | =  √ k _x ² + k _y ² y el vector k perpendicular a las crestas de onda . Las velocidades de fase y grupo, c _p y c _g respectivamente, son las longitudes de los vectores de velocidad de fase y grupo: c _p  = | c _p | y c _g  = | c _g |.

Importancia dinámica

El tensor de tensión de radiación es una cantidad importante en la descripción de la interacción dinámica promediada por fase entre las olas y los flujos medios. Aquí se dan las ecuaciones de conservación dinámicas integradas en profundidad, pero, para modelar flujos medios tridimensionales forzados por o en interacción con las olas superficiales, se necesita una descripción tridimensional de la tensión de radiación sobre la capa de fluido. ^[10]

Velocidad de transporte de masa

Las ondas que se propagan inducen un transporte de masa media relativamente pequeño en la dirección de propagación de la onda, también llamado momento (pseudo) de la onda . ^[11] En orden más bajo, el momento de la onda M _w es, por unidad de área horizontal: ^[12]

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{w}={\frac {\boldsymbol {k}}{k}}{\frac {E}{c_{p}}},}$

lo cual es exacto para ondas progresivas de forma permanente en flujo irrotacional . Arriba, c _p es la velocidad de fase relativa al flujo medio:

${\displaystyle c_{p}={\frac {\sigma }{k}}\qquad {\text{with}}\qquad \sigma =\omega -{\boldsymbol {k}}\cdot {\overline {\boldsymbol {v}}},}$

donde σ es la frecuencia angular intrínseca , tal como la ve un observador que se mueve con la velocidad media del flujo horizontal v mientras que ω es la frecuencia angular aparente de un observador en reposo (con respecto a la 'Tierra'). La diferencia k ⋅ v es el desplazamiento Doppler . ^[13]

El momento horizontal medio M , también por unidad de área horizontal, es el valor medio de la integral del momento sobre la profundidad:

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \,{\boldsymbol {v}}\;{\text{d}}z}}=\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {v}}}+{\boldsymbol {M}}_{w},}$

con v ( x , y , z , t ) la velocidad total del flujo en cualquier punto por debajo de la superficie libre z  =  η ( x , y , t ). El momento horizontal medio M es también la media del flujo de masa horizontal integrado en profundidad, y consta de dos contribuciones: una por la corriente media y la otra ( M _w ) se debe a las olas.

Ahora la velocidad de transporte de masa u se define como: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {u}}}={\frac {\boldsymbol {M}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right)}}={\overline {\boldsymbol {v}}}+{\frac {{\boldsymbol {M}}_{w}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right)}}.}$

Obsérvese que primero se promedia el momento horizontal integrado en la profundidad, antes de realizar la división por la profundidad media del agua ( h + η ).

Conservación de masa y momento

Notación vectorial

La ecuación de conservación de la masa media es, en notación vectorial : ^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]=0,}$

con u incluyendo la contribución del momento de onda M _w .

La ecuación para la conservación del momento medio horizontal es: ^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)\nabla h+{\boldsymbol {\tau }}_{w}-{\boldsymbol {\tau }}_{b},}$

donde u  ⊗  u denota el producto tensorial de u consigo mismo, y τ _w es la tensión cortante media del viento en la superficie libre, mientras que τ _b es la tensión cortante del lecho. Además, I es el tensor identidad, con componentes dados por el delta de Kronecker δ _ij . Nótese que el lado derecho de la ecuación del momento proporciona las contribuciones no conservativas de la pendiente del lecho ∇ h , ^[16] así como la fuerza ejercida por el viento y la fricción del lecho.

En términos del momento horizontal M las ecuaciones anteriores se convierten en: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+\nabla \cdot {\boldsymbol {M}}=0,\\&{\frac {\partial {\boldsymbol {M}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[{\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\boldsymbol {M}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)\nabla h+{\boldsymbol {\tau }}_{w}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}.\end{aligned}}}$

Forma de componente en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas , la ecuación de conservación de masa se convierte en:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]=0,}$

siendo u _x y u _y respectivamente los componentes x e y de la velocidad de transporte de masa u .

Las ecuaciones del momento horizontal son:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}{\overline {u}}_{x}+S_{xx}+{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}{\overline {u}}_{y}+S_{xy}\right]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial x}}h+\tau _{w,x}-\tau _{b,x},\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{x}+S_{yx}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{y}+S_{yy}+{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\right]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial y}}h+\tau _{w,y}-\tau _{b,y}.\end{aligned}}}$

Conservación de energía

En el caso de un flujo no viscoso, la energía mecánica media del flujo total (es decir, la suma de la energía del flujo medio y del movimiento fluctuante) se conserva. ^[17] Sin embargo, la energía media del movimiento fluctuante en sí no se conserva, ni tampoco la energía del flujo medio. La energía media E del movimiento fluctuante (la suma de las energías cinética y potencial) satisface: ^[18]

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left({\overline {\boldsymbol {u}}}+{\boldsymbol {c}}_{g}\right)E\right]+\mathbf {S} :\left(\nabla \otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}\right)={\boldsymbol {\tau }}_{w}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-\varepsilon ,}$

donde : representa el producto escalar doble y ε representa la disipación de la energía mecánica media (por ejemplo, por la rotura de una ola ). El término es el intercambio de energía con el movimiento medio, debido a la interacción ola-corriente . El transporte medio de energía de las olas en sentido horizontal ( u  +  c _g )  E consta de dos contribuciones: ${\displaystyle \mathbf {S} :\left(\nabla \otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}\right)}$

• u  E : el transporte de energía de las olas por el flujo medio, y
• c _g  E  : el transporte medio de energía por las propias ondas, siendo la velocidad de grupo c _g la velocidad de transporte de energía de las ondas.

En un sistema de coordenadas cartesianas, la ecuación anterior para la energía media E de las fluctuaciones del flujo se convierte en:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial E}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\left({\overline {u}}_{x}+c_{g,x}\right)E\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\left({\overline {u}}_{y}+c_{g,y}\right)E\right]\\&+S_{xx}{\frac {\partial {\overline {u}}_{x}}{\partial x}}+S_{xy}\left({\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\overline {u}}_{x}}{\partial y}}\right)+S_{yy}{\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial y}}\\&=\left(\tau _{w,x}-\tau _{b,x}\right){\overline {u}}_{x}+\left(\tau _{w,y}-\tau _{b,y}\right){\overline {u}}_{y}-\varepsilon .\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la tensión de radiación cambia la energía de la onda E solo en el caso de un campo de corriente espacialmente no homogéneo ( u _x , u _y ).

Notas

1. Longuet-Higgins y Stewart (1964,1962).
2. Phillips (1977), págs. 70–81.
3. Battjes, JA (1974). Cálculo de corrientes de formación, corrientes litorales, remonte y rebase debido a olas generadas por el viento (Tesis). Universidad Tecnológica de Delft . Consultado el 25 de noviembre de 2010 .
4. Mei (2003), pág. 457.
5. Mei (2003), pág. 97.
6. Phillips (1977), pág. 68.
7. Phillips (1977), pág. 39.
8. Longuet-Higgins y Stewart (1961).
9. Dean, RG; Walton, TL (2009), "Configuración de las olas", en Young C. Kim (ed.), Handbook of Coastal and Ocean Engineering , World Scientific, págs. 1–23, ISBN 978-981-281-929-1.
10. Walstra, DJR; Roelvink, JA; Groeneweg, J. (2000), "Cálculo de corrientes impulsadas por olas en un modelo de flujo medio 3D", Actas de la 27.ª Conferencia Internacional sobre Ingeniería Costera , Sídney: ASCE , págs. 1050–1063, doi :10.1061/40549(276)81
11. Mcintyre, ME (1981), "Sobre el mito del 'momento ondulatorio'", Journal of Fluid Mechanics , 106 : 331–347, Bibcode :1981JFM...106..331M, doi :10.1017/S0022112081001626, S2CID  18232994
12. Phillips (1977), pág. 40.
13. Phillips (1977), págs. 23-24.
14. Phillips (1977), págs. 61–63.
15. Mei (2003), pág. 453.
16. Según el teorema de Noether , un medio no homogéneo (en este caso, un lecho no horizontal, donde h ( x , y ) no es una constante) da como resultado la no conservación del momento horizontal integrado en profundidad.
17. Phillips (1977), págs. 63–65.
18. Phillips (1977), págs. 65-66.

Referencias

Fuentes primarias

• Longuet-Higgins, MS; Stewart, RW (1960), "Cambios en la forma de ondas de gravedad cortas en ondas largas y corrientes de marea", Journal of Fluid Mechanics , 8 (4): 565–583, Bibcode :1960JFM.....8..565L, doi :10.1017/S0022112060000803, S2CID  124628167
• Longuet-Higgins, MS; Stewart, RW (1961), "Los cambios en la amplitud de las ondas de gravedad cortas en corrientes constantes no uniformes", Journal of Fluid Mechanics , 10 (4): 529–549, Bibcode :1961JFM....10..529L, doi :10.1017/S0022112061000342, S2CID  120585538
• Longuet-Higgins, MS; Stewart, RW (1962), "Estrés por radiación y transporte de masa en ondas de gravedad, con aplicación a 'surf beats'"", Revista de mecánica de fluidos , 13 (4): 481–504, Bibcode :1962JFM....13..481L, doi :10.1017/S0022112062000877, S2CID  117932573
• Longuet-Higgins, MS; Stewart, RW (1964), "Tensiones de radiación en las ondas de agua; una discusión física, con aplicaciones", Deep-Sea Research , 11 (4): 529–562, Bibcode :1964DSRA...11..529L, doi :10.1016/0011-7471(64)90001-4

Lectura adicional

• Mei, Chiang C. (2003), La dinámica aplicada de las olas de la superficie del océano , Serie avanzada sobre ingeniería oceánica, vol. 1, World Scientific, ISBN 9971-5-0789-7
• Phillips, OM (1977), La dinámica de la capa superior del océano (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-29801-6