Hipótesis del continuo

Proposición en lógica matemática

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos , la hipótesis del continuo (abreviada CH ) es una hipótesis sobre los posibles tamaños de los conjuntos infinitos . Establece:

"No existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y la de los números reales ."

O equivalentemente:

"Cualquier subconjunto de los números reales es finito, o infinito contable, o tiene la cardinalidad de los números reales".

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), esto es equivalente a la siguiente ecuación en números aleph : , o incluso más corta con números beth : . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$

La hipótesis del continuo fue propuesta por Georg Cantor en 1878, ^[1] y establecer su verdad o falsedad es el primero de los 23 problemas que Hilbert presentó en 1900. La respuesta a este problema es independiente de ZFC, de modo que tanto la hipótesis del continuo como su negación pueden añadirse como axioma a la teoría de conjuntos de ZFC, siendo la teoría resultante consistente si y solo si ZFC es consistente. Esta independencia fue demostrada en 1963 por Paul Cohen , complementando el trabajo anterior de Kurt Gödel en 1940. ^[2]

El nombre de la hipótesis proviene del término continuo de los números reales.

Historia

Cantor creía que la hipótesis del continuo era cierta y durante muchos años intentó en vano demostrarla. ^[3] Se convirtió en la primera de la lista de importantes cuestiones abiertas de David Hilbert que se presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos en el año 1900 en París. La teoría axiomática de conjuntos en ese momento aún no estaba formulada. Kurt Gödel demostró en 1940 que la negación de la hipótesis del continuo, es decir, la existencia de un conjunto con cardinalidad intermedia, no podía demostrarse en la teoría de conjuntos estándar. ^[2] La segunda mitad de la independencia de la hipótesis del continuo, es decir, la imposibilidad de demostrar la inexistencia de un conjunto de tamaño intermedio, fue demostrada en 1963 por Paul Cohen . ^[4]

Cardinalidad de conjuntos infinitos

Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o número cardinal si existe una biyección (una correspondencia biunívoca) entre ellos. Intuitivamente, que dos conjuntos S y T tengan la misma cardinalidad significa que es posible "emparejar" elementos de S con elementos de T de tal manera que cada elemento de S se empareje con exactamente un elemento de T y viceversa. Por lo tanto, el conjunto {banana, apple, pear} tiene la misma cardinalidad que {yellow, red, green}.

Con conjuntos infinitos como el conjunto de los números enteros o racionales , la existencia de una biyección entre dos conjuntos se vuelve más difícil de demostrar. Los números racionales aparentemente forman un contraejemplo a la hipótesis del continuo: los enteros forman un subconjunto propio de los racionales, que a su vez forman un subconjunto propio de los reales, por lo que intuitivamente, hay más números racionales que enteros y más números reales que números racionales. Sin embargo, este análisis intuitivo es defectuoso; no tiene en cuenta adecuadamente el hecho de que los tres conjuntos son infinitos . Resulta que los números racionales pueden realmente colocarse en correspondencia uno a uno con los enteros y, por lo tanto, el conjunto de números racionales tiene el mismo tamaño ( cardinalidad ) que el conjunto de enteros: ambos son conjuntos contables .

Cantor dio dos pruebas de que la cardinalidad del conjunto de los números enteros es estrictamente menor que la del conjunto de los números reales (véase la primera prueba de incontabilidad de Cantor y el argumento diagonal de Cantor ). Sin embargo, sus pruebas no dan ninguna indicación de hasta qué punto la cardinalidad de los números enteros es menor que la de los números reales. Cantor propuso la hipótesis del continuo como una posible solución a esta cuestión.

La hipótesis del continuo establece que el conjunto de números reales tiene una cardinalidad mínima posible que es mayor que la cardinalidad del conjunto de números enteros. Es decir, cada conjunto, S , de números reales puede ser mapeado uno a uno en los números enteros o los números reales pueden ser mapeados uno a uno en S . Como los números reales son equinumerosos con el conjunto potencia de los números enteros, es decir , la hipótesis del continuo puede reformularse de la siguiente manera: ${\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}$

Hipótesis del continuo  —  . ${\displaystyle \nexists S\colon \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}}$

Suponiendo el axioma de elección , existe un único número cardinal más pequeño mayor que , y la hipótesis del continuo es a su vez equivalente a la igualdad . ^[5] ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

Independencia de ZFC

La independencia de la hipótesis del continuo (CH) de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) se desprende del trabajo combinado de Kurt Gödel y Paul Cohen .

Gödel ^{[6] [2]} demostró que CH no puede ser refutado a partir de ZF, incluso si se adopta el axioma de elección (AC) (haciendo ZFC). La prueba de Gödel muestra que CH y AC se cumplen en el universo construible L, un modelo interno de la teoría de conjuntos de ZF, asumiendo solo los axiomas de ZF. La existencia de un modelo interno de ZF en el que se cumplen axiomas adicionales muestra que los axiomas adicionales son consistentes con ZF, siempre que ZF en sí sea consistente. La última condición no se puede probar en ZF en sí, debido a los teoremas de incompletitud de Gödel , pero se cree ampliamente que es verdadera y se puede probar en teorías de conjuntos más fuertes.

Cohen ^{[4] [7]} demostró que CH no puede probarse a partir de los axiomas de ZFC, completando así la prueba de independencia general. Para probar su resultado, Cohen desarrolló el método de forzar , que se ha convertido en una herramienta estándar en la teoría de conjuntos. Esencialmente, este método comienza con un modelo de ZF en el que CH se cumple, y construye otro modelo que contiene más conjuntos que el original, de una manera que CH no se cumple en el nuevo modelo. Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 por su prueba.

La prueba de independencia que se acaba de describir muestra que CH es independiente de ZFC. Investigaciones posteriores han demostrado que CH es independiente de todos los axiomas cardinales grandes conocidos en el contexto de ZFC. ^[8] Además, se ha demostrado que la cardinalidad del continuo puede ser cualquier cardinal consistente con el teorema de König . Un resultado de Solovay, demostrado poco después del resultado de Cohen sobre la hipótesis de independencia del continuo, muestra que en cualquier modelo de ZFC, si es un cardinal de cofinalidad incontable , entonces hay una extensión forzada en la que . Sin embargo, según el teorema de König, no es consistente suponer que es o o cualquier cardinal con cofinalidad . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\kappa }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}+\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$

La hipótesis del continuo está estrechamente relacionada con muchas afirmaciones en el campo del análisis , la topología de conjuntos puntuales y la teoría de la medida . Como resultado de su independencia, muchas conjeturas importantes en esos campos han demostrado posteriormente que también son independientes.

La independencia de ZFC significa que probar o refutar la CH dentro de ZFC es imposible. Sin embargo, los resultados negativos de Gödel y Cohen no son aceptados universalmente como eliminadores de todo interés en la hipótesis del continuo. La hipótesis del continuo sigue siendo un tema activo de investigación; véase Woodin ^{[9] [10]} y Peter Koellner ^[11] para una descripción general del estado actual de la investigación.

La hipótesis del continuo y el axioma de elección se encuentran entre los primeros enunciados genuinamente matemáticos que demostraron ser independientes de la teoría de conjuntos ZF. Aunque la existencia de algunos enunciados independientes de ZFC ya se conocía más de dos décadas antes: por ejemplo, suponiendo buenas propiedades de solidez y la consistencia ZFC, los teoremas de incompletitud de Gödel , que se publicaron en 1931, establecen que existe un enunciado formal (uno para cada esquema de numeración de Gödel apropiado ) que expresa la consistencia de ZFC, que también es independiente de ella. El último resultado de independencia de hecho es válido para muchas teorías.

Argumentos a favor y en contra de la hipótesis del continuo

Gödel creía que CH es falso, y que su prueba de que CH es consistente con ZFC solo muestra que los axiomas de Zermelo-Fraenkel no caracterizan adecuadamente el universo de conjuntos. Gödel era platónico y, por lo tanto, no tenía problemas para afirmar la verdad y falsedad de los enunciados independientemente de su demostrabilidad. Cohen, aunque era formalista , ^[12] también tendía a rechazar CH.

Históricamente, los matemáticos que favorecían un universo de conjuntos "rico" y "grande" estaban en contra de CH, mientras que aquellos que favorecían un universo "ordenado" y "controlable" favorecían CH. Se hicieron argumentos paralelos a favor y en contra del axioma de constructibilidad , que implica CH. Más recientemente, Matthew Foreman ha señalado que el maximalismo ontológico puede en realidad usarse para argumentar a favor de CH, porque entre los modelos que tienen los mismos números reales, los modelos con "más" conjuntos de números reales tienen una mejor probabilidad de satisfacer CH. ^[13]

Otro punto de vista es que la concepción de conjunto no es lo suficientemente específica como para determinar si CH es verdadero o falso. Este punto de vista fue propuesto ya en 1923 por Skolem , incluso antes del primer teorema de incompletitud de Gödel. Skolem argumentó sobre la base de lo que ahora se conoce como la paradoja de Skolem , y más tarde fue apoyado por la independencia de CH de los axiomas de ZFC ya que estos axiomas son suficientes para establecer las propiedades elementales de los conjuntos y cardinalidades. Para argumentar en contra de este punto de vista, sería suficiente demostrar nuevos axiomas que estén respaldados por la intuición y resuelvan CH en una dirección u otra. Aunque el axioma de constructibilidad resuelve CH, generalmente no se considera que sea intuitivamente verdadero más de lo que generalmente se considera que CH es falso. ^[14]

Se han propuesto al menos otros dos axiomas que tienen implicaciones para la hipótesis del continuo, aunque estos axiomas no han encontrado actualmente una amplia aceptación en la comunidad matemática. En 1986, Chris Freiling ^[15] presentó un argumento contra CH al demostrar que la negación de CH es equivalente al axioma de simetría de Freiling , una afirmación derivada de argumentar a partir de intuiciones particulares sobre probabilidades . Freiling cree que este axioma es "intuitivamente claro" ^[15] pero otros no están de acuerdo. ^{[16] [17]}

Un argumento difícil contra CH desarrollado por W. Hugh Woodin ha atraído considerable atención desde el año 2000. ^{[9] [10]} Foreman no rechaza el argumento de Woodin de plano, pero insta a la cautela. ^[18] Woodin propuso una nueva hipótesis que denominó "axioma (*)" o "axioma de la estrella". El axioma de la estrella implicaría que es , por lo que se refutaba a CH. El axioma de la estrella se vio reforzado por una prueba independiente de mayo de 2021 que mostraba que el axioma de la estrella se puede derivar de una variación del máximo de Martin . Sin embargo, Woodin declaró en la década de 2010 que ahora cree que CH es cierto, basándose en su creencia en su nueva conjetura de la "L última". ^{[19] [20]} ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$

Solomon Feferman argumentó que CH no es un problema matemático definido. ^[21] Propuso una teoría de la "definición" utilizando un subsistema semiintuicionista de ZF que acepta la lógica clásica para cuantificadores acotados pero utiliza la lógica intuicionista para los ilimitados, y sugirió que una proposición es matemáticamente "definida" si la teoría semiintuicionista puede demostrar . Conjeturó que CH no es definido de acuerdo con esta noción, y propuso que, por lo tanto, se debería considerar que CH no tiene un valor de verdad. Peter Koellner escribió un comentario crítico sobre el artículo de Feferman. ^[22] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (\phi \lor \neg \phi )}$

Joel David Hamkins propone un enfoque multiverso para la teoría de conjuntos y sostiene que "la hipótesis del continuo se establece en la perspectiva multiverso por nuestro amplio conocimiento sobre cómo se comporta en el multiverso y, como resultado, ya no puede establecerse de la manera en que se esperaba anteriormente". ^[23] En una línea relacionada, Saharon Shelah escribió que "no está de acuerdo con la visión platónica pura de que los problemas interesantes en la teoría de conjuntos pueden resolverse, que solo tenemos que descubrir el axioma adicional. Mi imagen mental es que tenemos muchas teorías de conjuntos posibles, todas conformes a ZFC". ^[24]

Hipótesis del continuo generalizado

La hipótesis generalizada del continuo (GCH) establece que si la cardinalidad de un conjunto infinito se encuentra entre la de un conjunto infinito S y la del conjunto potencia de S , entonces tiene la misma cardinalidad que S o . Es decir, para cualquier cardinal infinito no existe ningún cardinal tal que . GCH es equivalente a: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$para cada ordinal ^[5] (a veces llamado hipótesis aleph de Cantor ). ${\displaystyle \alpha }$

Los números de Beth proporcionan una notación alternativa para esta condición: para cada ordinal . La hipótesis del continuo es el caso especial para el ordinal . La hipótesis del continuo fue sugerida por primera vez por Philip Jourdain . ^[25] Para la historia temprana de la hipótesis del continuo, véase Moore. ^[26] ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Al igual que CH, GCH también es independiente de ZFC, pero Sierpiński demostró que ZF + GCH implica el axioma de elección (AC) (y por lo tanto la negación del axioma de determinación , AD), por lo que la elección y GCH no son independientes en ZF; no hay modelos de ZF en los que GCH se cumpla y AC falle. Para demostrar esto, Sierpiński demostró que GCH implica que cada cardinalidad n es menor que algún número aleph , y por lo tanto puede ordenarse. Esto se hace mostrando que n es menor que , que es menor que su propio número de Hartogs —esto utiliza la igualdad ; para la prueba completa, véase Gillman. ^[27] ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}}$

Kurt Gödel demostró que GCH es una consecuencia de ZF + V=L (el axioma de que todo conjunto es construible en relación con los ordinales), y por lo tanto es consistente con ZFC. Como GCH implica CH, el modelo de Cohen en el que CH falla es un modelo en el que GCH falla, y por lo tanto GCH no es demostrable a partir de ZFC. W. B. Easton utilizó el método de forzamiento desarrollado por Cohen para demostrar el teorema de Easton , que muestra que es consistente con ZFC que cardinales arbitrariamente grandes no satisfagan . Mucho después, Foreman y Woodin demostraron que (asumiendo la consistencia de cardinales muy grandes) es consistente que se cumple para cada cardinal infinito . Más tarde, Woodin extendió esto al mostrar la consistencia de para cada . Carmi Merimovich ^[28] demostró que, para cada n  ≥ 1, es consistente con ZFC que para cada κ, 2 ^κ es el n º sucesor de κ. Por otra parte, László Patai ^[29] demostró que si γ es un ordinal y para cada cardinal infinito κ, 2 ^κ es el γ-ésimo sucesor de κ, entonces γ es finito. ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{++}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Para cualquier conjunto infinito A y B, si hay una inyección de A a B, entonces hay una inyección de subconjuntos de A a subconjuntos de B. Por lo tanto, para cualquier cardinal infinito A y B, . Si A y B son finitos, se cumple la desigualdad más fuerte . GCH implica que esta desigualdad estricta y más fuerte se cumple tanto para cardinales infinitos como para cardinales finitos. ${\displaystyle A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}}$ ${\displaystyle A<B\to 2^{A}<2^{B}}$

Implicaciones de GCH para la exponenciación cardinal

Aunque la hipótesis generalizada del continuo se refiere directamente sólo a la exponenciación cardinal con 2 como base, se pueden deducir de ella los valores de la exponenciación cardinal en todos los casos. La GCH implica que para los ordinales α y β : ^[30] ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$cuando α ≤ β +1;

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }}$cuando β +1 < α y , donde cf es la operación de cofinalidad ; y ${\displaystyle \aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}}$cuando β +1 < α y . ${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

La primera igualdad (cuando α ≤ β +1) se deduce de:

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\beta +1}^{\aleph _{\beta }}=(2^{\aleph _{\beta }})^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }\cdot \aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$, mientras:

${\displaystyle \aleph _{\beta +1}=2^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$ ;

La tercera igualdad (cuando β +1 < α y ) se deduce de: ${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\geq \aleph _{\alpha }^{\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}>\aleph _{\alpha }}$, por el teorema de König , mientras que:

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\alpha }}\leq (2^{\aleph _{\alpha }})^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$

Véase también

• Infinito absoluto
• Número de Beth
• Cardinalidad
• Ω-lógica
• Segunda hipótesis del continuo
• El problema de Wetzel

Referencias

1. Cantor, Georg (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1878 (84): 242–258. doi :10.1515/crll.1878.84.242 (inactivo 2024-09-11).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
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Fuentes

• Este artículo incorpora material de Hipótesis generalizada del continuo en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License . Archivado el 8 de febrero de 2017 en Wayback Machine.

Lectura adicional

• Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. Teoría de conjuntos e hipótesis del continuo . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Dales, HG; Woodin, WH (1987). Introducción a la independencia para analistas . Cambridge.
• Enderton, Herbert (1977). Elementos de la teoría de conjuntos . Academic Press.
• Gödel, K.: ¿Qué es el problema del continuo de Cantor?, reimpreso en la colección de Benacerraf y Putnam Philosophy of Mathematics , 2.ª ed., Cambridge University Press, 1983. Un resumen de los argumentos de Gödel contra CH.
• Martin, D. (1976). "El primer problema de Hilbert: la hipótesis del continuo", en Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert, Actas de los simposios sobre matemáticas puras XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, págs. 81-92. ISBN 0-8218-1428-1 
• McGough, Nancy. "La hipótesis del continuo".
• Wolchover, Natalie (15 de julio de 2021). "¿Cuántos números existen? La prueba del infinito acerca las matemáticas a una respuesta".

Enlaces externos

Citas relacionadas con Hipótesis del continuo en Wikiquote

• Szudzik, Matthew y Weisstein, Eric W. "Hipótesis del continuo". MundoMatemático .