ley de planck

Densidad espectral de la luz emitida por un cuerpo negro.

La ley de Planck describe con precisión la radiación del cuerpo negro. Aquí se muestra una familia de curvas para diferentes temperaturas. La curva clásica (negra) diverge de la intensidad observada en altas frecuencias (longitudes de onda cortas). Fórmula en unidades cgs

En física , la ley de Planck (también ley de radiación de Planck ^{[1] : 1305} ) describe la densidad espectral de la radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro en equilibrio térmico a una temperatura determinada T , cuando no hay flujo neto de materia o energía entre los cuerpos. y su entorno. ^[2]

A finales del siglo XIX, los físicos no podían explicar por qué el espectro observado de la radiación del cuerpo negro , que para entonces había sido medido con precisión, divergía significativamente en frecuencias más altas de lo predicho por las teorías existentes. En 1900, el físico alemán Max Planck derivó heurísticamente una fórmula para el espectro observado suponiendo que un oscilador hipotético cargado eléctricamente en una cavidad que contenía radiación de cuerpo negro sólo podía cambiar su energía en un incremento mínimo, E , que era proporcional a la frecuencia. de su onda electromagnética asociada . Si bien Planck originalmente consideró la hipótesis de dividir la energía en incrementos como un artificio matemático, introducido simplemente para obtener la respuesta correcta, otros físicos, incluido Albert Einstein , desarrollaron su trabajo y ahora se reconoce que la idea de Planck es de importancia fundamental para la teoría cuántica .

La Ley

Todo cuerpo físico emite espontánea y continuamente radiación electromagnética y la radiación espectral de un cuerpo, B _ν , describe el poder de emisión espectral por unidad de área, por unidad de ángulo sólido y por unidad de frecuencia para frecuencias de radiación particulares. La relación dada por la ley de radiación de Planck, que se muestra a continuación, muestra que al aumentar la temperatura, la energía total irradiada de un cuerpo aumenta y el pico del espectro emitido cambia a longitudes de onda más cortas. ^[3] Según la ley de distribución de Planck, la densidad de energía espectral (energía por unidad de volumen por unidad de frecuencia) a una temperatura dada viene dada por (unidades SI): ^{[4] [5]}

$${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$

radiancia espectralla frecuencia νtemperatura absoluta Tunidades cgs^{[6] [7] [8]}

$${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$

k _Bconstante de Boltzmannhconstante de Planckcvelocidad de la luzradiancia espectral B _νerg · s ⁻¹ · sr ⁻¹ · cm ⁻² · Hz ⁻¹Bu4π/CBclongitud de onda λ

En el límite de bajas frecuencias (es decir, longitudes de onda largas), la ley de Planck tiende a la ley de Rayleigh-Jeans , mientras que en el límite de altas frecuencias (es decir, longitudes de onda pequeñas) tiende a la aproximación de Wien .

Max Planck desarrolló la ley en 1900 con constantes determinadas únicamente empíricamente y más tarde demostró que, expresada como una distribución de energía, es la única distribución estable de la radiación en equilibrio termodinámico . ^[2] Como distribución de energía, pertenece a una familia de distribuciones de equilibrio térmico que incluyen la distribución de Bose-Einstein , la distribución de Fermi-Dirac y la distribución de Maxwell-Boltzmann .

Radiación de cuerpo negro

El Sol se aproxima a un radiador de cuerpo negro. Su temperatura efectiva es de aproximadamente5777K .

Un cuerpo negro es un objeto idealizado que absorbe y emite todas las frecuencias de radiación. Cerca del equilibrio termodinámico , la radiación emitida está estrechamente descrita por la ley de Planck y, debido a su dependencia de la temperatura , se dice que la radiación de Planck es radiación térmica, de modo que cuanto mayor es la temperatura de un cuerpo, más radiación emite en cada longitud de onda.

La radiación de Planck tiene una intensidad máxima en una longitud de onda que depende de la temperatura del cuerpo. Por ejemplo, a temperatura ambiente (~300  K ), un cuerpo emite radiación térmica que es principalmente infrarroja e invisible. A temperaturas más altas, la cantidad de radiación infrarroja aumenta y se puede sentir como calor, y se emite más radiación visible, por lo que el cuerpo brilla visiblemente de color rojo. A temperaturas más altas, el cuerpo es de color amarillo brillante o blanco azulado y emite cantidades significativas de radiación de longitud de onda corta, incluidos los rayos ultravioleta e incluso los rayos X. La superficie del Sol (~6000 K ) emite grandes cantidades de radiación tanto infrarroja como ultravioleta; su emisión alcanza su punto máximo en el espectro visible. Este cambio debido a la temperatura se llama ley de desplazamiento de Wien .

La radiación de Planck es la mayor cantidad de radiación que cualquier cuerpo en equilibrio térmico puede emitir desde su superficie, cualquiera que sea su composición química o estructura superficial. ^[9] El paso de la radiación a través de una interfaz entre medios se puede caracterizar por la emisividad de la interfaz (la relación entre la radiancia real y la radiancia teórica de Planck), generalmente denotada por el símbolo ε . En general depende de la composición química y la estructura física, de la temperatura, de la longitud de onda, del ángulo de paso y de la polarización . ^[10] La emisividad de una interfaz natural está siempre entre ε = 0 y 1.

Un cuerpo que interactúa con otro medio que tiene ε = 1 y absorbe toda la radiación que incide sobre él, se dice que es un cuerpo negro. La superficie de un cuerpo negro puede modelarse mediante un pequeño agujero en la pared de un gran recinto que se mantiene a una temperatura uniforme con paredes opacas que, en todas las longitudes de onda, no reflejan perfectamente. En equilibrio, la radiación dentro de este recinto se describe mediante la ley de Planck, al igual que la radiación que sale del pequeño agujero.

Así como la distribución de Maxwell-Boltzmann es la única distribución de energía de entropía máxima para un gas de partículas materiales en equilibrio térmico, también lo es la distribución de Planck para un gas de fotones . ^{[11] [12]} A diferencia de un gas material donde las masas y el número de partículas juegan un papel, la radiación espectral, la presión y la densidad de energía de un gas de fotones en equilibrio térmico están completamente determinadas por la temperatura.

Si el gas de fotones no es planckiano, la segunda ley de la termodinámica garantiza que las interacciones (entre fotones y otras partículas o incluso, a temperaturas suficientemente altas, entre los propios fotones) harán que la distribución de energía de los fotones cambie y se acerque a la distribución de Planck. En tal enfoque del equilibrio termodinámico, los fotones se crean o aniquilan en los números correctos y con las energías correctas para llenar la cavidad con una distribución de Planck hasta que alcancen la temperatura de equilibrio. Es como si el gas fuera una mezcla de subgases, uno para cada banda de longitudes de onda, y cada subgas finalmente alcanzara la temperatura común.

La cantidad B _ν ( ν , T ) es la radiancia espectral en función de la temperatura y la frecuencia. Tiene unidades de W · m ⁻² · sr ⁻¹ · Hz ⁻¹ en el sistema SI . Una cantidad infinitesimal de potencia B _ν ( ν , T ) cos θ dA d Ω dν se irradia en la dirección descrita por el ángulo θ desde la normal a la superficie desde el área de superficie infinitesimal dA hasta el ángulo sólido infinitesimal d Ω en una banda de frecuencia infinitesimal de ancho dν centrado en la frecuencia ν . La potencia total radiada en cualquier ángulo sólido es la integral de B _ν ( ν , T ) sobre esas tres cantidades, y viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann . La radiancia espectral de la radiación planckiana de un cuerpo negro tiene el mismo valor para todas las direcciones y ángulos de polarización, por lo que se dice que el cuerpo negro es un radiador lambertiano .

Diferentes formas

La ley de Planck se puede encontrar en varias formas dependiendo de las convenciones y preferencias de los diferentes campos científicos. Las diversas formas de la ley de la radiancia espectral se resumen en la siguiente tabla. Las formas de la izquierda se encuentran con mayor frecuencia en campos experimentales , mientras que las de la derecha se encuentran con mayor frecuencia en campos teóricos .

En la formulación de ancho de banda fraccional, y la integración es con respecto a . ${\textstyle x={\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}$ ${\textstyle \mathrm {d} (\ln x)=\mathrm {d} (\ln \nu )={\frac {\mathrm {d} \nu }{\nu }}=-{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\lambda }}=-\mathrm {d} (\ln \lambda )}$

La ley de Planck también se puede escribir en términos de densidad de energía espectral ( u ) multiplicando B por4π/C: ^[17]

$${\displaystyle u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).}$$

Estas distribuciones representan la radiancia espectral de los cuerpos negros: la potencia emitida desde la superficie emisora, por unidad de área proyectada de la superficie emisora, por unidad de ángulo sólido , por unidad espectral (frecuencia, longitud de onda, número de onda o sus equivalentes angulares, o frecuencia o longitud de onda fraccionaria). . Dado que la radiancia es isotrópica (es decir, independiente de la dirección), la potencia emitida en un ángulo con respecto a la normal es proporcional al área proyectada y, por lo tanto, al coseno de ese ángulo según la ley del coseno de Lambert , y no está polarizada .

Correspondencia entre formas de variables espectrales.

Diferentes variables espectrales requieren diferentes formas correspondientes de expresión de la ley. En general, no se puede convertir entre las diversas formas de la ley de Planck simplemente sustituyendo una variable por otra, porque esto no tomaría en cuenta que las diferentes formas tienen diferentes unidades. Las unidades de longitud de onda y frecuencia son recíprocas.

Las formas de expresión correspondientes están relacionadas porque expresan un mismo hecho físico: para un incremento espectral físico particular, se irradia un incremento de energía física particular correspondiente.

Esto es así ya sea que se exprese en términos de un incremento de frecuencia, d ν , o, correspondientemente, de longitud de onda, d λ , o de ancho de banda fraccional, d ν / ν o d λ / λ . La introducción de un signo menos puede indicar que un incremento de frecuencia corresponde a una disminución de la longitud de onda.

Para convertir las formas correspondientes para que expresen la misma cantidad en las mismas unidades multiplicamos por el incremento espectral. Entonces, para un incremento espectral particular, el incremento de energía física particular se puede escribir

$${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$$

$${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$$

Además, ν ( λ ) =C/λ, de modo quedν/dλ= -C/λ ². La sustitución da la correspondencia entre las formas de frecuencia y longitud de onda, con sus diferentes dimensiones y unidades. ^{[15] [18]} En consecuencia,

$${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$$

Evidentemente, la ubicación del pico de la distribución espectral de la ley de Planck depende de la elección de la variable espectral. Sin embargo, por así decirlo, esta fórmula significa que la forma de la distribución espectral es independiente de la temperatura, según la ley de desplazamiento de Wien, como se detalla más adelante en el subapartado Percentiles de la sección Propiedades.

La forma de ancho de banda fraccional está relacionada con las otras formas mediante ^[16]

${\displaystyle B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }}$.

Primera y segunda constantes de radiación.

En las variantes anteriores de la ley de Planck, las variantes de longitud de onda y número de onda utilizan los términos 2 hc ² yHC/kB_​que comprenden constantes físicas únicamente. En consecuencia, estos términos pueden considerarse constantes físicas en sí mismos ^[19] y, por lo tanto, se los denomina primera constante de radiación c _{1 L} y segunda constante de radiación c ₂ con

c _{1 L} = 2 hc ²

y

c ₂ =HC/kB_​.

Utilizando las constantes de radiación, la variante de longitud de onda de la ley de Planck se puede simplificar a

$${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

del número de onda

Aquí se utiliza L en lugar de B porque es el símbolo SI para la radiancia espectral . La L en c _{1 L} se refiere a eso. Esta referencia es necesaria porque la ley de Planck puede reformularse para dar la salida radiante espectral M ( λ , T ) en lugar de la radiancia espectral L ( λ , T ) , en cuyo caso c ₁ reemplaza c _{1 L} , con

c ₁ = 2π hc ² ,

de modo que la ley de Planck para la salida radiante espectral se puede escribir como

$${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

A medida que las técnicas de medición han mejorado, la Conferencia General de Pesas y Medidas ha revisado su estimación de c ₂ ; consulte el locus de Planck § Escala internacional de temperatura para obtener más detalles.

Física

Congelación de osciladores de alta energía

La ley de Planck describe la distribución espectral única y característica de la radiación electromagnética en equilibrio termodinámico, cuando no hay flujo neto de materia o energía. ^[2] Su física se entiende más fácilmente considerando la radiación en una cavidad con paredes rígidas y opacas. El movimiento de las paredes puede afectar la radiación. Si las paredes no son opacas, entonces el equilibrio termodinámico no está aislado. Es interesante explicar cómo se alcanza el equilibrio termodinámico. Hay dos casos principales: (a) cuando el acercamiento al equilibrio termodinámico es en presencia de materia, cuando las paredes de la cavidad son imperfectamente reflectantes para cada longitud de onda o cuando las paredes son perfectamente reflectantes mientras la cavidad contiene un pequeño cuerpo negro ( este fue el caso principal considerado por Planck); o (b) cuando la aproximación al equilibrio se produce en ausencia de materia, cuando las paredes son perfectamente reflectantes para todas las longitudes de onda y la cavidad no contiene materia. Para la materia que no está encerrada en dicha cavidad, la radiación térmica puede explicarse aproximadamente mediante el uso apropiado de la ley de Planck.

La física clásica condujo, a través del teorema de equipartición , a la catástrofe ultravioleta , una predicción de que la intensidad total de la radiación del cuerpo negro era infinita. Si se complementa con el supuesto clásicamente injustificable de que por alguna razón la radiación es finita, la termodinámica clásica proporciona una explicación de algunos aspectos de la distribución de Planck, como la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de desplazamiento de Wien . Para el caso de la presencia de materia, la mecánica cuántica proporciona una buena explicación, como se encuentra más adelante en la sección titulada Coeficientes de Einstein. Este fue el caso considerado por Einstein y hoy en día se utiliza para la óptica cuántica. ^{[20] [21]} Para el caso de ausencia de materia, la teoría cuántica de campos es necesaria, porque la mecánica cuántica no relativista con números de partículas fijos no proporciona una explicación suficiente.

Fotones

La explicación teórica cuántica de la ley de Planck considera la radiación como un gas de partículas bosónicas sin masa y sin carga, es decir, fotones, en equilibrio termodinámico . Los fotones son vistos como portadores de la interacción electromagnética entre partículas elementales cargadas eléctricamente. Los números de fotones no se conservan. Los fotones se crean o aniquilan en la cantidad correcta y con las energías adecuadas para llenar la cavidad con la distribución de Planck. Para un gas de fotones en equilibrio termodinámico, la densidad de energía interna está completamente determinada por la temperatura; además, la presión está enteramente determinada por la densidad de energía interna. Esto es diferente al caso del equilibrio termodinámico de los gases materiales, para el cual la energía interna está determinada no sólo por la temperatura, sino también, independientemente, por el número respectivo de las diferentes moléculas, e independientemente nuevamente, por las características específicas de las diferentes moléculas. moléculas. Para diferentes gases materiales a una temperatura determinada, la presión y la densidad de energía interna pueden variar de forma independiente, porque diferentes moléculas pueden transportar de forma independiente diferentes energías de excitación.

La ley de Planck surge como un límite de la distribución de Bose-Einstein , la distribución de energía que describe bosones no interactivos en equilibrio termodinámico. En el caso de bosones sin masa como fotones y gluones , el potencial químico es cero y la distribución de Bose-Einstein se reduce a la distribución de Planck. Existe otra distribución de energía de equilibrio fundamental: la distribución de Fermi-Dirac , que describe a los fermiones , como los electrones, en equilibrio térmico. Las dos distribuciones difieren porque varios bosones pueden ocupar el mismo estado cuántico, mientras que varios fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico. A bajas densidades, el número de estados cuánticos disponibles por partícula es grande y esta diferencia se vuelve irrelevante. En el límite de baja densidad, las distribuciones de Bose-Einstein y Fermi-Dirac se reducen a la distribución de Maxwell-Boltzmann .

Ley de radiación térmica de Kirchhoff

La ley de radiación térmica de Kirchhoff es una descripción sucinta y breve de una situación física complicada. Lo que sigue es un esbozo introductorio de esa situación, y está muy lejos de ser un argumento físico riguroso. El propósito aquí es sólo resumir los principales factores físicos de la situación y las principales conclusiones.

Dependencia espectral de la radiación térmica.

Existe una diferencia entre la transferencia de calor por conducción y la transferencia de calor por radiación . La transferencia de calor radiativo se puede filtrar para que pase sólo una banda definida de frecuencias radiativas.

Generalmente se sabe que cuanto más se calienta un cuerpo, más calor irradia en cada frecuencia.

En una cavidad de un cuerpo opaco con paredes rígidas que no reflejan perfectamente ninguna frecuencia, en equilibrio termodinámico, sólo hay una temperatura, y debe ser compartida por las radiaciones de cada frecuencia.

Uno puede imaginar dos de esas cavidades, cada una en su propio equilibrio radiativo y termodinámico aislado. Se puede imaginar un dispositivo óptico que permita la transferencia de calor radiativo entre las dos cavidades, filtrado para dejar pasar sólo una banda definida de frecuencias radiativas. Si los valores de las radiaciones espectrales de las radiaciones en las cavidades difieren en esa banda de frecuencia, se puede esperar que el calor pase de lo más caliente a lo más frío. Se podría proponer utilizar dicha transferencia de calor filtrada en dicha banda para impulsar un motor térmico. Si los dos cuerpos están a la misma temperatura, la segunda ley de la termodinámica no permite que el motor térmico funcione. Se puede inferir que para una temperatura común a los dos cuerpos, los valores de las radiancias espectrales en la banda de paso también deben ser comunes. Esto debe ser válido para todas las bandas de frecuencia. ^{[22] [23] [24]} Esto quedó claro para Balfour Stewart y más tarde para Kirchhoff. Balfour Stewart descubrió experimentalmente que, de todas las superficies, una de negro humo emitía la mayor cantidad de radiación térmica para cada calidad de radiación, a juzgar por varios filtros.

Pensando teóricamente, Kirchhoff fue un poco más allá y señaló que esto implicaba que la radiancia espectral, como función de la frecuencia radiativa, de cualquier cavidad en equilibrio termodinámico debe ser una función universal única de la temperatura. Postuló un cuerpo negro ideal que interactúa con su entorno de tal manera que absorbe toda la radiación que cae sobre él. Según el principio de reciprocidad de Helmholtz, la radiación procedente del interior de dicho cuerpo pasaría sin obstáculos, directamente a su entorno, sin reflejarse en la interfaz. En equilibrio termodinámico, la radiación térmica emitida por dicho cuerpo tendría esa radiación espectral universal única en función de la temperatura. Esta idea es la raíz de la ley de radiación térmica de Kirchhoff.

Relación entre absortividad y emisividad.

Uno puede imaginar un pequeño cuerpo de material esférico homogéneo etiquetado como X a una temperatura T _X , situado en un campo de radiación dentro de una gran cavidad con paredes de material etiquetado como Y a una temperatura T _Y . El cuerpo X emite su propia radiación térmica. A una frecuencia particular ν , la radiación emitida desde una sección transversal particular a través del centro de X en un sentido en una dirección normal a esa sección transversal puede denotarse como I _{ν , X} ( T _X ) , característica del material de X. . A esa frecuencia ν , la potencia radiativa de las paredes hacia esa sección transversal en el sentido opuesto en esa dirección puede denotarse como I ν _{, Y (} T Y ₎ , para la temperatura de la pared T _Y. Para el material de X , definiendo la absortividad α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) como la fracción de esa radiación incidente absorbida por X , esa energía incidente se absorbe a una velocidad α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) I _{ν , Y} ( T _Y ) .

La tasa q ( ν , T _X , T _Y ) de acumulación de energía en un sentido en la sección transversal del cuerpo se puede expresar entonces

$${\displaystyle q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).}$$

La idea fundamental de Kirchhoff, mencionada anteriormente, fue que, en el equilibrio termodinámico a una temperatura T , existe una distribución radiativa universal única, hoy en día denotada como B _ν ( T ) , que es independiente de las características químicas de los materiales X e Y , lo que conduce a a una comprensión muy valiosa del equilibrio de intercambio radiativo de cualquier cuerpo, de la siguiente manera.

Cuando hay equilibrio termodinámico a temperatura T , la radiación de la cavidad procedente de las paredes tiene ese valor universal único, de modo que I _{ν , Y} ( T _Y ) = B _ν ( T ) . Además, se puede definir la emisividad ε _{ν , X} ( T _X ) del material del cuerpo X de modo que en el equilibrio termodinámico a la temperatura T _X = T , se tenga I _{ν , X} ( T _X ) = I _{ν , X} ( T ) = ε _{ν , X} ( T ) B _ν ( T ) .

Cuando prevalece el equilibrio térmico a la temperatura T = T _X = T _Y , la tasa de acumulación de energía desaparece de modo que q ( ν , T _X , T _Y ) = 0 . De ello se deduce que en equilibrio termodinámico, cuando T = T _X = T _Y ,

$${\displaystyle 0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).}$$

Kirchhoff señaló que se deduce que en equilibrio termodinámico, cuando T = T _X = T _Y ,

$${\displaystyle \alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).}$$

Introduciendo la notación especial α _{ν , X} ( T ) para la absortividad del material X en equilibrio termodinámico a temperatura T (justificada por un descubrimiento de Einstein, como se indica a continuación), se tiene además la igualdad

$${\displaystyle \alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)}$$

La igualdad de absortividad y emisividad aquí demostrada es específica del equilibrio termodinámico a temperatura T y, en general, no se espera que se cumpla cuando las condiciones de equilibrio termodinámico no se cumplen. La emisividad y la absortividad son propiedades separadas de las moléculas del material, pero dependen de manera diferente de la distribución de los estados de excitación molecular en cada ocasión, debido a un fenómeno conocido como "emisión estimulada", que fue descubierto por Einstein. En ocasiones, cuando el material está en equilibrio termodinámico o en un estado conocido como equilibrio termodinámico local, la emisividad y la absortividad se vuelven iguales. La radiación incidente muy fuerte u otros factores pueden alterar el equilibrio termodinámico o el equilibrio termodinámico local. El equilibrio termodinámico local en un gas significa que las colisiones moleculares superan con creces la emisión y absorción de luz a la hora de determinar las distribuciones de los estados de excitación molecular.

Kirchhoff señaló que no conocía el carácter preciso de B _ν ( T ) , pero pensaba que era importante averiguarlo. Cuatro décadas después de que Kirchhoff descubriera los principios generales de su existencia y carácter, la contribución de Planck fue determinar la expresión matemática precisa de esa distribución de equilibrio B _ν ( T ) .

cuerpo negro

En física, se considera un cuerpo negro ideal, aquí denominado B , definido como aquel que absorbe completamente toda la radiación electromagnética que cae sobre él en cada frecuencia ν (de ahí el término "negro"). Según la ley de radiación térmica de Kirchhoff, esto implica que, para cada frecuencia ν , en equilibrio termodinámico a temperatura T , se tiene α _{ν , B} ( T ) = ε _{ν , B} ( T ) = 1 , de modo que la radiación térmica de un cuerpo negro siempre es igual a la cantidad total especificada por la ley de Planck. Ningún cuerpo físico puede emitir una radiación térmica superior a la de un cuerpo negro, ya que si estuviera en equilibrio con un campo de radiación, estaría emitiendo más energía de la que incide sobre él.

Aunque no existen materiales perfectamente negros, en la práctica se puede aproximar con precisión a una superficie negra. ^[2] En cuanto a su interior material, un cuerpo de materia condensada, líquida, sólida o plasma, con una interfaz definida con su entorno, es completamente negro a la radiación si es completamente opaco. Esto significa que absorbe toda la radiación que penetra en la interfaz del cuerpo con su entorno y entra en el cuerpo. Esto no es demasiado difícil de lograr en la práctica. Por otro lado, en la naturaleza no se encuentra una interfaz perfectamente negra. Una interfaz perfectamente negra no refleja radiación, pero transmite todo lo que cae sobre ella, desde ambos lados. La mejor manera práctica de hacer una interfaz negra efectiva es simular una 'interfaz' mediante un pequeño agujero en la pared de una cavidad grande en un cuerpo rígido de material completamente opaco que no refleja perfectamente ninguna frecuencia, con sus paredes a una temperatura controlada. Más allá de estos requisitos, el material con el que se componen las paredes no tiene restricciones. La radiación que ingresa al agujero casi no tiene posibilidad de escapar de la cavidad sin ser absorbida por múltiples impactos con sus paredes. ^[25]

Ley del coseno de Lambert

Como explica Planck, ^[26] un cuerpo radiante tiene un interior que consta de materia y una interfaz con su medio material vecino contiguo, que suele ser el medio desde el cual se observa la radiación procedente de la superficie del cuerpo. La interfaz no está compuesta de materia física sino que es una concepción teórica, una superficie matemática bidimensional, una propiedad conjunta de los dos medios contiguos, que en rigor no pertenecen a ninguno por separado. Una interfaz de este tipo no puede absorber ni emitir, porque no está compuesta de materia física; pero es el sitio de reflexión y transmisión de radiación, porque es una superficie de discontinuidad de propiedades ópticas. La reflexión y transmisión de radiación en la interfaz obedecen al principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz .

En cualquier punto del interior de un cuerpo negro situado dentro de una cavidad en equilibrio termodinámico a temperatura T la radiación es homogénea, isotrópica y no polarizada. Un cuerpo negro absorbe todo y no refleja nada de la radiación electromagnética que incide sobre él. Según el principio de reciprocidad de Helmholtz, la radiación procedente del interior de un cuerpo negro no se refleja en su superficie, sino que se transmite completamente al exterior. Debido a la isotropía de la radiación en el interior del cuerpo, el resplandor espectral de la radiación transmitida desde el interior al exterior a través de su superficie es independiente de la dirección. ^[27]

Esto se expresa diciendo que la radiación procedente de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico obedece a la ley del coseno de Lambert. ^{[28] [29]} Esto significa que el flujo espectral d Φ( dA , θ , d Ω, dν ) de un elemento infinitesimal dado del área dA de la superficie emisora ​​real del cuerpo negro, detectado desde una dirección dada que forma una El ángulo θ con la normal a la superficie emisora ​​real en dA , en un elemento de ángulo sólido de detección d Ω centrado en la dirección indicada por θ , en un elemento de ancho de banda de frecuencia dν , se puede representar como ^[30]

$${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$$

L ⁰ ( dA , dν )dA si se midiera en su dirección normal θ = 0

El factor cos θ está presente porque el área a la que se refiere directamente la radiancia espectral es la proyección, del área de la superficie emisora ​​real, sobre un plano perpendicular a la dirección indicada por θ . Ésta es la razón del nombre ley del coseno .

Teniendo en cuenta la independencia de la dirección de la radiancia espectral de la radiación procedente de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico, se tiene L ⁰ ( dA , dν ) = B _ν ( T ) y así

$${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$$

Así, la ley del coseno de Lambert expresa la independencia de dirección de la radiancia espectral B _ν ( T ) de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico.

Ley de Stefan-Boltzmann

La potencia total emitida por unidad de área en la superficie de un cuerpo negro ( P ) se puede encontrar integrando el flujo espectral del cuerpo negro encontrado a partir de la ley de Lambert en todas las frecuencias y en los ángulos sólidos correspondientes a un hemisferio ( h ) sobre la superficie. .

$${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$$

El ángulo sólido infinitesimal se puede expresar en coordenadas polares esféricas :

$${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$$

De modo que:

$${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$$

constante de Stefan-Boltzmann^[31]

Transferencia radiativa

La ecuación de transferencia radiativa describe la forma en que la radiación se ve afectada cuando viaja a través de un medio material. Para el caso especial en el que el medio material está en equilibrio termodinámico en las proximidades de un punto del medio, la ley de Planck es de especial importancia.

Por simplicidad, podemos considerar el estado estacionario lineal, sin dispersión . La ecuación de transferencia radiativa establece que para un haz de luz que recorre una pequeña distancia d s , la energía se conserva: el cambio en la radiancia (espectral) de ese haz ( I _ν ) es igual a la cantidad eliminada por el medio material más la cantidad obtenida del medio material. Si el campo de radiación está en equilibrio con el medio material, estas dos contribuciones serán iguales. El medio material tendrá un determinado coeficiente de emisión y coeficiente de absorción .

El coeficiente de absorción α es el cambio fraccionario en la intensidad del haz de luz a medida que recorre la distancia d s y tiene unidades de longitud ⁻¹ . Se compone de dos partes, la disminución por absorción y el aumento por emisión estimulada . La emisión estimulada es la emisión del cuerpo material que es causada por la radiación entrante y es proporcional a ella. Se incluye en el término de absorción porque, al igual que la absorción, es proporcional a la intensidad de la radiación entrante. Dado que la cantidad de absorción generalmente variará linealmente según la densidad ρ del material, podemos definir un "coeficiente de absorción de masa" κ _ν =α/ρque es una propiedad del propio material. El cambio de intensidad de un haz de luz debido a la absorción a medida que recorre una pequeña distancia d s será entonces ^[7]

$${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$$

El "coeficiente de emisión de masa" j _ν es igual a la radiancia por unidad de volumen de un elemento de pequeño volumen dividido por su masa (ya que, como ocurre con el coeficiente de absorción de masa, la emisión es proporcional a la masa emisora) y tiene unidades de potencia⋅ ángulo sólido ⁻¹ ⋅frecuencia ⁻¹ ⋅densidad ⁻¹ . Al igual que el coeficiente de absorción de masa, también es una propiedad del propio material. El cambio en un haz de luz cuando recorre una pequeña distancia d s será entonces ^[32]

$${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$$

La ecuación de transferencia radiativa será entonces la suma de estas dos contribuciones: ^[33]

$${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$$

Si el campo de radiación está en equilibrio con el medio material, entonces la radiación será homogénea (independiente de la posición) de modo que dI _ν = 0 y:

$${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$$

$${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$$

coeficientes de einstein

El principio de equilibrio detallado establece que, en el equilibrio termodinámico, cada proceso elemental se equilibra mediante su proceso inverso.

En 1916, Albert Einstein aplicó este principio a nivel atómico al caso de un átomo que irradia y absorbe radiación debido a transiciones entre dos niveles de energía particulares, ^[34] dando una visión más profunda de la ecuación de transferencia radiativa y la ley de Kirchhoff para este tipo. de radiación. Si el nivel 1 es el nivel de energía inferior con energía E ₁ y el nivel 2 es el nivel de energía superior con energía E ₂ , entonces la frecuencia ν de la radiación radiada o absorbida estará determinada por la condición de frecuencia de Bohr: ^{[35] [36]}

$${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu .}$$

Si n ₁ y n ₂ son las densidades numéricas del átomo en los estados 1 y 2 respectivamente, entonces la tasa de cambio de estas densidades en el tiempo se deberá a tres procesos:

Emisión espontánea

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$

Emision estimulada

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$

Foto-absorción

${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$

donde u _ν es la densidad de energía espectral del campo de radiación. Los tres parámetros A ₂₁ , B ₂₁ y B ₁₂ , conocidos como coeficientes de Einstein, están asociados con la frecuencia de los fotones ν producida por la transición entre dos niveles de energía (estados). Como resultado, cada línea de un espectro tiene su propio conjunto de coeficientes asociados. Cuando los átomos y el campo de radiación están en equilibrio, la radiancia vendrá dada por la ley de Planck y, por el principio de equilibrio detallado, la suma de estas tasas debe ser cero:

$${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$$

Como los átomos también están en equilibrio, las poblaciones de los dos niveles están relacionadas por el factor de Boltzmann :

$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$$

g ₁g ₂

$${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$$

Para el caso de absorción y emisión isotrópicas, el coeficiente de emisión ( j _ν ) y el coeficiente de absorción ( κ _ν ) definidos en la sección de transferencia radiativa anterior se pueden expresar en términos de los coeficientes de Einstein. Las relaciones entre los coeficientes de Einstein producirán la expresión de la ley de Kirchhoff expresada en la sección Transferencia radiativa anterior, es decir, que

$${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$$

Estos coeficientes se aplican tanto a átomos como a moléculas.

Propiedades

Picos

Las distribuciones B _ν , B _ω , B _ν̃ y B _k alcanzan su punto máximo con una energía fotónica de ^[37]

$${\displaystyle E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

Wfunción W de Lamberteel número de Euler

Sin embargo, la distribución B _λ alcanza su punto máximo con una energía diferente ^[37]

$${\displaystyle E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

B _νB _λνλmodalse agrupanhc ${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$14 387 ,770 μm·K

La radiancia espectral en estos picos viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 1.896\times 10^{-19}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m^{2}\cdot Hz\cdot sr} }}\times (T/\mathrm {K} )^{3}\\\end{aligned}}}$

con y ${\displaystyle x=3+W(-3e^{-3}),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{sr}}}}\times ~(T/{\text{K}})^{5}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle x=5+W(-5e^{-5}).}$

Mientras tanto, la energía promedio de un fotón de un cuerpo negro es

$${\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

función zeta de Riemann ${\displaystyle \zeta }$

Aproximaciones

Gráficos log-log de radiancia versus frecuencia para la ley de Planck (verde), en comparación con la ley de Rayleigh-Jeans (rojo) y la aproximación de Wien (azul) para un cuerpo negro a una temperatura de 8 mK .

En el límite de las bajas frecuencias (es decir, longitudes de onda largas), la ley de Planck se convierte en la ley de Rayleigh-Jeans ^{[38] [39] [40]}

$${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T}$$

o

$${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T}$$

El resplandor aumenta con el cuadrado de la frecuencia, lo que ilustra la catástrofe ultravioleta . En el límite de altas frecuencias (es decir, longitudes de onda pequeñas), la ley de Planck tiende a la aproximación de Wien : ^{[40] [41] [42]}

$${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

$${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.}$$

percentiles

La ley de desplazamiento de Wien en su forma más estricta establece que la forma de la ley de Planck es independiente de la temperatura. Por lo tanto , es posible enumerar los puntos percentiles de la radiación total, así como los picos de longitud de onda y frecuencia, de una forma que dé la longitud de onda λ cuando se divide por la temperatura T. ^[43] La segunda columna de la siguiente tabla enumera los valores correspondientes de λT , es decir, aquellos valores de x para los cuales la longitud de onda λ esX/t micrómetros en el punto percentil de radiancia dado por la entrada correspondiente en la primera columna.

Es decir, el 0,01% de la radiación tiene una longitud de onda inferior a910/t µm, 20% por debajo2676/tµm , etc. Los picos de longitud de onda y frecuencia están en negrita y ocurren al 25,0% y 64,6% respectivamente. El punto del 41,8% es el pico neutro de frecuencia de longitud de onda (es decir, el pico de potencia por unidad de cambio en logaritmo de longitud de onda o frecuencia). Estos son los puntos en los que funciona la respectiva ley de Planck.1/λ5^​, v ³ yy ²/λ ², respectivamente, dividido por exp (hν/kbt_​​) − 1alcanzan sus máximos. La brecha mucho menor en la proporción de longitudes de onda entre 0,1% y 0,01% (1110 es 22% más que 910) que entre 99,9% y 99,99% (113374 es 120% más que 51613) refleja la caída exponencial de la energía en longitudes de onda cortas (izquierda). final) y decaimiento polinómico en long.

El pico a utilizar depende de la aplicación. La elección convencional es el pico de longitud de onda al 25,0% dado por la ley de desplazamiento de Wien en su forma débil. Para algunos propósitos, la mediana o el punto del 50% que divide la radiación total en dos mitades puede ser más adecuada. Este último está más cerca del pico de frecuencia que del pico de longitud de onda porque la radiancia cae exponencialmente en longitudes de onda cortas y sólo polinomialmente en longitudes de onda largas. El pico neutro se produce en una longitud de onda más corta que la mediana por la misma razón.

Espectro solar comparado con el cuerpo negro a 5775 K

Comparación con el espectro solar

La radiación solar se puede comparar con la radiación de un cuerpo negro a aproximadamente 5778 K (pero vea el gráfico). La tabla de la derecha muestra cómo se divide la radiación de un cuerpo negro a esta temperatura, y también cómo se divide la luz solar a modo de comparación. También a modo de comparación se muestra un planeta modelado como un cuerpo negro, que irradia a una temperatura nominal de 288 K (15 °C) como valor representativo de la temperatura altamente variable de la Tierra. Sus longitudes de onda son más de veinte veces mayores que las del Sol, tabuladas en la tercera columna en micrómetros (miles de nanómetros).

Es decir, sólo el 1% de la radiación del Sol se encuentra en longitudes de onda inferiores a 296 nm, y sólo el 1% en longitudes superiores a 3728 nm. Expresado en micrómetros, esto sitúa el 98% de la radiación solar en el rango de 0,296 a 3,728 µm. El correspondiente 98% de la energía irradiada desde un planeta de 288 K está entre 5,03 y 79,5 µm, muy por encima del rango de radiación solar (o por debajo si se expresa en términos de frecuencias ν =C/λen lugar de longitudes de onda λ ).

Una consecuencia de esta diferencia de longitud de onda de más de un orden de magnitud entre la radiación solar y planetaria es que los filtros diseñados para pasar una y bloquear la otra son fáciles de construir. Por ejemplo, las ventanas fabricadas con vidrio ordinario o plástico transparente dejan pasar al menos el 80% de la radiación solar entrante de 5778 K, que tiene una longitud de onda inferior a 1,2 µm, mientras que bloquean más del 99% de la radiación térmica saliente de 288 K desde longitudes de onda de 5 µm en adelante. en el que la mayoría de los tipos de vidrio y plástico de espesor de construcción son efectivamente opacos.

La radiación del Sol es la que llega a la parte superior de la atmósfera (TOA). Como se puede leer en la tabla, la radiación por debajo de 400 nm, o ultravioleta , es aproximadamente el 8%, mientras que la superior a 700 nm, o infrarroja , comienza aproximadamente en el punto 48% y, por lo tanto, representa el 52% del total. Por tanto, sólo el 40% de la insolación del TOA es visible para el ojo humano. La atmósfera cambia sustancialmente estos porcentajes a favor de la luz visible, ya que absorbe la mayor parte del ultravioleta y cantidades significativas de infrarrojo.

Derivaciones

gas fotón

Considere un cubo de lado L con paredes conductoras llenas de radiación electromagnética en equilibrio térmico a temperatura T. Si hay un pequeño agujero en una de las paredes, la radiación emitida por el agujero será característica de un cuerpo negro perfecto . Primero calcularemos la densidad de energía espectral dentro de la cavidad y luego determinaremos el resplandor espectral de la radiación emitida.

En las paredes del cubo, la componente paralela del campo eléctrico y la componente ortogonal del campo magnético deben desaparecer. De manera análoga a la función de onda de una partícula en una caja , se encuentra que los campos son superposiciones de funciones periódicas. Las tres longitudes de onda λ ₁ , λ ₂ y λ ₃ , en las tres direcciones ortogonales a las paredes pueden ser:

$${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$$

n _in _ini _corresponden

El número r puede interpretarse como el número de fotones en el modo. Para r = 0 la energía del modo no es cero. Esta energía del vacío del campo electromagnético es la responsable del efecto Casimir . A continuación calcularemos la energía interna de la caja a temperatura absoluta T.

Según la mecánica estadística , la distribución de probabilidad de equilibrio sobre los niveles de energía de un modo particular viene dada por:

$${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}$$

temperatura recíproca

$${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$$

Z ( β )función de particiónP _r

$${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},}$$

siendo la energía de un solo fotón. La energía promedio en un modo se puede obtener de la función de partición :

$${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$$

la estadística de Bose-Einsteinpotencial químico

Si medimos la energía relativa al estado fundamental, la energía total en la caja se obtiene sumando ⟨ E ⟩ −ε/2sobre todos los estados permitidos de un solo fotón. Esto se puede hacer exactamente en el límite termodinámico cuando L se acerca al infinito. En este límite, ε se vuelve continua y luego podemos integrar ⟨ E ⟩ −ε/2sobre este parámetro. Para calcular la energía en la caja de esta manera, necesitamos evaluar cuántos estados de fotones hay en un rango de energía determinado. Si escribimos el número total de estados de fotón único con energías entre ε y ε + dε como g ( ε ) dε , donde g ( ε ) es la densidad de estados (que se evalúa a continuación), entonces la energía total viene dada por

Para calcular la densidad de estados reescribimos la ecuación ( 2 ) de la siguiente manera:

$${\displaystyle \varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$$

nn = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ )

Para cada vector n con componentes enteros mayores o iguales a cero, hay dos estados de fotones. Esto significa que el número de estados de fotones en una determinada región del espacio n es el doble del volumen de esa región. Un rango de energía de dε corresponde a una capa de espesor dn =2 litros/HCd ε en n -espacio. Debido a que las componentes de n tienen que ser positivas, esta capa abarca un octante de una esfera. El número de estados de fotones g ( ε ) dε , en un rango de energía dε , viene dado por:

$${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$$

3V = L ³

$${\displaystyle {\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$$

u _ν ( T )

$${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$$

$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$$

$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$$

Aproximación dipolo y coeficientes de Einstein

Para el caso no degenerado, los coeficientes A y B se pueden calcular utilizando la aproximación dipolar en la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo en mecánica cuántica. El cálculo de A también requiere una segunda cuantificación, ya que la teoría semiclásica no puede explicar la emisión espontánea que no llega a cero cuando el campo perturbador llega a cero. Las tasas de transición calculadas son (en unidades SI): ^{[45] [46] [47]}

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$

Tenga en cuenta que la fórmula de velocidad de transición depende del operador del momento dipolar. Para aproximaciones de orden superior, se trata de momento cuadrupolar y otros términos similares. Los coeficientes A y B (que corresponden a la distribución de energía de frecuencia angular) son, por tanto:

${\displaystyle A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

${\displaystyle B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

donde los coeficientes A y B satisfacen las proporciones dadas para el caso no degenerado: ${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$

${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$y . ${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$

Otra relación útil es la de la distribución de Maxwell, que dice que el número de partículas en un nivel de energía es proporcional al exponente de . Matemáticamente: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \beta E}$

${\displaystyle {\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }}$

donde y son el número de niveles de energía ocupados de y respectivamente, donde . Luego, usando: ${\displaystyle N_{a}}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle E_{a}}$ ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}}$

Resolviendo la condición de equilibrio y usando las razones derivadas, obtenemos la Ley de Planck: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=0}$

${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}}$.

Historia

Balfour Stewart

En 1858, Balfour Stewart describió sus experimentos sobre los poderes de emisión y absorción de radiación térmica de placas pulidas de diversas sustancias, en comparación con los poderes de superficies de color negro humo , a la misma temperatura. ^[9] Stewart eligió superficies de color negro lámpara como referencia debido a varios hallazgos experimentales previos, especialmente los de Pierre Prevost y John Leslie . Escribió: "El negro de lámpara, que absorbe todos los rayos que caen sobre él y, por tanto, posee el mayor poder de absorción posible, poseerá también el mayor poder de radiación posible".

Stewart midió la potencia radiada con una termopila y un galvanómetro sensible leído con un microscopio. Le preocupaba la radiación térmica selectiva, que investigó con placas de sustancias que irradiaban y absorbían selectivamente diferentes calidades de radiación en lugar de hacerlo al máximo para todas las calidades de radiación. Discutió los experimentos en términos de rayos que podían reflejarse y refractarse y que obedecían al principio de reciprocidad de Helmholtz (aunque no utilizó un epónimo para ello). En este artículo no mencionó que las cualidades de los rayos podrían describirse por sus longitudes de onda, ni utilizó aparatos de resolución espectral como prismas o rejillas de difracción. Su trabajo fue cuantitativo dentro de estas limitaciones. Hizo sus mediciones en un ambiente a temperatura ambiente y rápidamente para mantener sus cuerpos en una condición cercana al equilibrio térmico en el que habían sido preparados calentándolos hasta el equilibrio con agua hirviendo. Sus mediciones confirmaron que las sustancias que emiten y absorben selectivamente respetan el principio de igualdad selectiva de emisión y absorción en equilibrio térmico.

Stewart ofreció una prueba teórica de que esto debería ser así por separado para cada calidad seleccionada de radiación térmica, pero sus matemáticas no eran rigurosamente válidas. Según el historiador DM Siegel: "No practicaba las técnicas más sofisticadas de la física matemática del siglo XIX; ni siquiera hizo uso de la notación funcional al tratar con distribuciones espectrales". ^[48] ​​No mencionó la termodinámica en este artículo, aunque sí se refirió a la conservación de la vis viva . Propuso que sus mediciones implicaban que la radiación era absorbida y emitida por partículas de materia en las profundidades del medio en el que se propagaba. Aplicó el principio de reciprocidad de Helmholtz para explicar los procesos de la interfaz material a diferencia de los procesos en el material interior. Concluyó que sus experimentos demostraban que, en el interior de un recinto en equilibrio térmico, el calor radiante, reflejado y emitido combinado, que salía de cualquier parte de la superficie, independientemente de su sustancia, era el mismo que habría salido de esa misma porción de la superficie si hubiera estado compuesta de negro de humo. No mencionó la posibilidad de que lo ideal fuera unas paredes perfectamente reflectantes; En particular, observó que los metales físicos reales muy pulidos se absorben muy ligeramente.

Gustav Kirchhoff

En 1859, sin conocer el trabajo de Stewart, Gustav Robert Kirchhoff informó de la coincidencia de las longitudes de onda de las líneas de absorción espectralmente resueltas y de emisión de luz visible. Es importante destacar que para la física térmica también observó que las líneas brillantes o oscuras eran evidentes dependiendo de la diferencia de temperatura entre el emisor y el absorbente. ^[49]

Kirchhoff luego pasó a considerar cuerpos que emiten y absorben radiación de calor, en un recinto o cavidad opaca, en equilibrio a una temperatura T.

Aquí se utiliza una notación diferente a la de Kirchhoff. Aquí, la potencia de emisión E ( T , i ) denota una cantidad dimensionada, la radiación total emitida por un cuerpo etiquetado por el índice i a una temperatura T . La relación de absorción total a ( T , i ) de ese cuerpo no tiene dimensiones, la relación entre la radiación absorbida y la incidente en la cavidad a la temperatura T . (A diferencia de Balfour Stewart, la definición de Kirchhoff de su relación de absorción no se refería en particular a una superficie negra como fuente de la radiación incidente.) Así, la relaciónmi ( T , yo )/un ( T , yo )de potencia de emisión a relación de absorción es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de potencia de emisión, porque a ( T , i ) no tiene dimensiones. También aquí la potencia de emisión específica de la longitud de onda del cuerpo a la temperatura T se denota con E ( λ , T , i ) y la relación de absorción específica de la longitud de onda con a ( λ , T , i ) . De nuevo, la proporciónmi ( λ , T , yo )/a ( λ , T , yo )La relación entre potencia de emisión y absorción es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de la potencia de emisión.

En un segundo informe elaborado en 1859, Kirchhoff anunció un nuevo principio o ley general para el cual ofreció una prueba teórica y matemática, aunque no ofreció mediciones cuantitativas de las potencias de radiación. ^[50] Su prueba teórica fue y sigue siendo considerada por algunos escritores como inválida. ^{[48] ​​[51]} Su principio, sin embargo, ha perdurado: era que para rayos de calor de la misma longitud de onda, en equilibrio a una temperatura dada, la relación específica de la longitud de onda entre la potencia de emisión y la relación de absorción tiene un mismo valor común. para todos los cuerpos que emiten y absorben en esa longitud de onda. En símbolos, la ley establecía que la relación específica de longitud de ondami ( λ , T , yo )/a ( λ , T , yo )tiene un mismo valor para todos los cuerpos, es decir, para todos los valores del índice i . En este informe no se hizo mención a los cuerpos negros.

En 1860, todavía sin conocer las mediciones de Stewart para cualidades seleccionadas de radiación, Kirchhoff señaló que hacía tiempo que se había establecido experimentalmente que para la radiación de calor total, de calidad no seleccionada, emitida y absorbida por un cuerpo en equilibrio, la relación de radiación total dimensionadami ( T , yo )/un ( T , yo ), tiene un mismo valor común a todos los cuerpos, es decir, para cada valor del índice material i . ^[52] De nuevo sin mediciones de potencias radiativas u otros nuevos datos experimentales, Kirchhoff ofreció una nueva prueba teórica de su nuevo principio de la universalidad del valor de la relación específica de longitud de onda.mi ( λ , T , yo )/a ( λ , T , yo )en equilibrio térmico. Su nueva prueba teórica fue y sigue siendo considerada por algunos escritores como inválida. ^{[48] ​​[51]}

Pero lo más importante es que se basó en un nuevo postulado teórico de "cuerpos perfectamente negros" , razón por la cual se habla de la ley de Kirchhoff. Estos cuerpos negros mostraban una completa absorción en su superficie más superficial, infinitamente delgada. Corresponden a los cuerpos de referencia de Balfour Stewart, con radiación interna, recubiertos de negro de humo. No eran los cuerpos perfectamente negros, más realistas, que Planck consideró más tarde. Los cuerpos negros de Planck irradiaban y eran absorbidos únicamente por el material de sus interiores; sus interfaces con medios contiguos eran sólo superficies matemáticas, capaces ni de absorción ni de emisión, sino sólo de reflejar y transmitir con refracción. ^[53]

La prueba de Kirchhoff consideró un cuerpo arbitrario no ideal etiquetado i así como varios cuerpos negros perfectos etiquetados BB . Requería que los cuerpos se mantuvieran en una cavidad en equilibrio térmico a una temperatura T. Su prueba pretendía demostrar que la relaciónmi ( λ , T , yo )/a ( λ , T , yo )era independiente de la naturaleza i del cuerpo no ideal, por muy transparente o reflectante que fuera.

Su prueba primero argumentó que para la longitud de onda λ y a la temperatura T , en equilibrio térmico, todos los cuerpos perfectamente negros del mismo tamaño y forma tienen el mismo valor común de potencia emisiva E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de poder. Su prueba señaló que la relación de absorción adimensional específica de la longitud de onda a ( λ , T , BB) de un cuerpo perfectamente negro es, por definición, exactamente 1. Luego, para un cuerpo perfectamente negro, la relación específica de la longitud de onda entre el poder de emisión y la relación de absorciónmi ( λ , T , BB)/a ( λ , T , BB)es nuevamente solo E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Kirchhoff consideró, sucesivamente, el equilibrio térmico con el cuerpo arbitrario no ideal, y con un cuerpo perfectamente negro del mismo tamaño y forma, en su cavidad en equilibrio a temperatura T. Sostuvo que los flujos de radiación térmica deben ser los mismos en todos los casos. Por lo tanto, argumentó que en el equilibrio térmico la relaciónmi ( λ , T , yo )/a ( λ , T , yo )era igual a E ( λ , T , BB) , que ahora puede denotarse como B _λ ( λ , T ) , una función continua, dependiente sólo de λ a temperatura fija T , y una función creciente de T a longitud de onda fija λ , en las bajas temperaturas desaparecen para longitudes de onda visibles pero no para longitudes de onda más largas, con valores positivos para longitudes de onda visibles a temperaturas más altas, lo que no depende de la naturaleza i del cuerpo arbitrario no ideal. (En lo que antecede se han ignorado los factores geométricos, que Kirchhoff tuvo en cuenta detalladamente.)

Así, la ley de Kirchhoff sobre la radiación térmica puede enunciarse: Para cualquier material, que irradie y absorba en equilibrio termodinámico a cualquier temperatura dada T , para cada longitud de onda λ , la relación entre el poder de emisión y la relación de absorción tiene un valor universal, que es característico de un cuerpo negro perfecto, y es un poder emisivo que aquí representamos por B _λ ( λ , T ) . (Para nuestra notación B _λ ( λ , T ) , la notación original de Kirchhoff era simplemente e .) ^{[7] [52] [54] [55] [56] [57]}

Kirchhoff anunció que la determinación de la función B _λ ( λ , T ) era un problema de suma importancia, aunque reconoció que habría dificultades experimentales que superar. Supuso que, al igual que otras funciones que no dependen de las propiedades de los cuerpos individuales, sería una función simple. Esa función B _λ ( λ , T ) ha sido llamada ocasionalmente 'función (de emisión, universal) de Kirchhoff', ^{[58] [59] [60] [61]} aunque su forma matemática precisa no se conocería hasta dentro de cuarenta años, hasta fue descubierto por Planck en 1900. La prueba teórica del principio de universalidad de Kirchhoff fue elaborada y debatida por varios físicos al mismo tiempo y posteriormente. ^[51] Kirchhoff declaró más tarde en 1860 que su prueba teórica era mejor que la de Balfour Stewart, y en algunos aspectos así era. ^[48] ​​El artículo de Kirchhoff de 1860 no mencionaba la segunda ley de la termodinámica y, por supuesto, no mencionaba el concepto de entropía que no se había establecido en ese momento. En un relato más reflexivo en un libro de 1862, Kirchhoff mencionó la conexión de su ley con el "principio de Carnot", que es una forma de la segunda ley. ^[62]

Según Helge Kragh, "la teoría cuántica debe su origen al estudio de la radiación térmica, en particular a la radiación del "cuerpo negro" que Robert Kirchhoff definió por primera vez en 1859-1860". ^[63]

Ingredientes empíricos y teóricos para la inducción científica de la ley de Planck

En 1860, Kirchhoff predijo dificultades experimentales para la determinación empírica de la función que describía la dependencia del espectro del cuerpo negro como función únicamente de la temperatura y la longitud de onda. Y así resultó. Fueron necesarios unos cuarenta años de desarrollo de métodos mejorados de medición de la radiación electromagnética para obtener un resultado fiable. ^[64]

En 1865, John Tyndall describió la radiación de filamentos calentados eléctricamente y de arcos de carbono como visibles e invisibles. ^[65] Tyndall descompuso espectralmente la radiación mediante el uso de un prisma de sal gema, que transmitía calor y rayos visibles, y midió la intensidad de la radiación mediante una termopila. ^{[66] [67]}

En 1880, André-Prosper-Paul Crova publicó un diagrama de la apariencia tridimensional de la gráfica de la intensidad de la radiación térmica en función de la longitud de onda y la temperatura. ^[68] Determinó la variable espectral mediante el uso de prismas. Analizó la superficie mediante lo que llamó curvas "isotérmicas", tramos para una única temperatura, con una variable espectral en la abscisa y una variable de potencia en la ordenada. Puso curvas suaves a través de sus puntos de datos experimentales. Tenían un pico en un valor espectral característico de la temperatura y caían a ambos lados hacia el eje horizontal. ^{[69] [70]} Estas secciones espectrales se muestran ampliamente incluso hoy en día.

En una serie de artículos de 1881 a 1886, Langley informó sobre mediciones del espectro de radiación térmica, utilizando rejillas de difracción y prismas, y los detectores más sensibles que pudo fabricar. Informó que había un pico de intensidad que aumentaba con la temperatura, que la forma del espectro no era simétrica con respecto al pico, que había una fuerte caída de intensidad cuando la longitud de onda era más corta que un valor de corte aproximado para cada temperatura, que la longitud de onda de corte aproximada disminuyó con el aumento de la temperatura, y que la longitud de onda de la intensidad máxima disminuyó con la temperatura, de modo que la intensidad aumentó fuertemente con la temperatura para longitudes de onda cortas que eran más largas que el corte aproximado de la temperatura. ^[71]

Después de leer Langley, en 1888, el físico ruso VA Michelson publicó una consideración de la idea de que la desconocida función de radiación de Kirchhoff podría explicarse físicamente y expresarse matemáticamente en términos de "completa irregularidad de las vibraciones de... átomos". ^{[72] [73]} En ese momento, Planck no estaba estudiando la radiación de cerca y no creía ni en los átomos ni en la física estadística. ^[74] Michelson produjo una fórmula para el espectro de temperatura:

$${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$$

I _λλ yθB ₁

En 1898, Otto Lummer y Ferdinand Kurlbaum publicaron un informe sobre la fuente de radiación de su cavidad. ^[75] Su diseño se ha utilizado prácticamente sin cambios para mediciones de radiación hasta el día de hoy. Era una caja de platino, dividida por diafragmas, con el interior ennegrecido con óxido de hierro. Fue un ingrediente importante para las mediciones progresivamente mejoradas que llevaron al descubrimiento de la ley de Planck. ^[76] Una versión descrita en 1901 tenía su interior ennegrecido con una mezcla de óxidos de cromo, níquel y cobalto. ^[77]

La importancia de la fuente de radiación de la cavidad de Lummer y Kurlbaum radicaba en que era una fuente experimentalmente accesible de radiación de cuerpo negro, a diferencia de la radiación de un cuerpo sólido incandescente simplemente expuesto, que había sido la aproximación experimental más cercana disponible a la radiación de cuerpo negro sobre un rango adecuado de temperaturas. Los cuerpos sólidos incandescentes simplemente expuestos que se habían utilizado antes emitían radiación con desviaciones del espectro del cuerpo negro, lo que hacía imposible encontrar el verdadero espectro del cuerpo negro mediante experimentos. ^{[78] [79]}

Las opiniones de Planck ante los hechos empíricos lo llevaron a encontrar su ley final.

Planck dirigió por primera vez su atención al problema de la radiación del cuerpo negro en 1897. ^[80] El progreso teórico y empírico permitió a Lummer y Pringsheim escribir en 1899 que la evidencia experimental disponible era aproximadamente consistente con la ley de intensidad específica Cλ ⁻⁵ e ^{− c ⁄ λT} donde C y c denotan constantes mensurables empíricamente, y donde λ y T denotan longitud de onda y temperatura respectivamente. ^{[81] [82]} Por razones teóricas, Planck en ese momento aceptó esta formulación, que tiene un corte efectivo de longitudes de onda cortas. ^{[83] [84] [85]}

Gustav Kirchhoff fue el maestro de Max Planck y supuso que existía una ley universal para la radiación de cuerpo negro y esto se llamó "el desafío de Kirchhoff". ^[86] Planck, un teórico, creía que Wilhelm Wien había descubierto esta ley y Planck amplió el trabajo de Wien presentándolo en 1899 en la reunión de la Sociedad Alemana de Física. Los experimentadores Otto Lummer , Ferdinand Kurlbaum , Ernst Pringsheim Sr. y Heinrich Rubens hicieron experimentos que parecían respaldar la ley de Wien, especialmente en longitudes de onda cortas de mayor frecuencia, que Planck apoyó tan plenamente en la Sociedad Alemana de Física que comenzó a llamarse Ley de Wien-Planck. . ^[87] Sin embargo, en septiembre de 1900, los experimentalistas habían demostrado más allá de toda duda que la ley de Wien-Planck fallaba en las longitudes de onda más largas. Presentarían sus datos el 19 de octubre. Planck fue informado por su amigo Rubens y rápidamente creó una fórmula en pocos días. ^[88] En junio de ese mismo año, Lord Rayleigh había creado una fórmula que funcionaría para longitudes de onda cortas de menor frecuencia basada en la teoría ampliamente aceptada de equipartición . ^[89] Entonces Planck presentó una fórmula que combinaba la ley de Rayleigh (o una teoría de equipartición similar) y la ley de Wien que se ponderaría según una u otra ley dependiendo de la longitud de onda para coincidir con los datos experimentales. Sin embargo, aunque esta ecuación funcionaba, el propio Planck dijo que a menos que pudiera explicar la fórmula derivada de una "intuición afortunada" en una de "verdadero significado" en física, no tenía verdadero significado. ^[90] Planck explicó que a partir de entonces siguió el trabajo más duro de su vida. Planck no creía en los átomos, ni pensaba que la segunda ley de la termodinámica debería ser estadística porque la probabilidad no proporciona una respuesta absoluta, y la ley de la entropía de Boltzmann se basaba en la hipótesis de los átomos y era estadística. Pero Planck no pudo encontrar una manera de conciliar su ecuación del cuerpo negro con leyes continuas como las ecuaciones de onda de Maxwell. Entonces, en lo que Planck llamó "un acto de desesperación", ^[91] recurrió a la ley atómica de la entropía de Boltzmann, ya que era la única que hacía que su ecuación funcionara. Por lo tanto, utilizó la constante k de Boltzmann y su nueva constante h para explicar la ley de radiación del cuerpo negro que se hizo ampliamente conocida a través de su artículo publicado. ^{[92] [93]}

Encontrar la ley empírica

Max Planck produjo su ley el 19 de octubre de 1900 ^{[94] [95]} como una mejora de la aproximación de Wien , publicada en 1896 por Wilhelm Wien , que se ajustaba a los datos experimentales en longitudes de onda cortas (altas frecuencias) pero se desviaba de ella en longitudes de onda largas ( bajas frecuencias). ^[41] En junio de 1900, basándose en consideraciones teóricas heurísticas , Rayleigh había sugerido una fórmula ^[96] que, según él, podría comprobarse experimentalmente. La sugerencia fue que la función universal de Stewart-Kirchhoff podría tener la forma c ₁ Tλ ⁻⁴ exp(–c ₂/λT) . Esta no fue la célebre fórmula de Rayleigh-Jeans 8π k _B Tλ ⁻⁴ , que no surgió hasta 1905, ^[38] aunque sí se redujo a esta última para longitudes de onda largas, que son las relevantes aquí. Según Klein, ^[80] se puede especular que es probable que Planck hubiera visto esta sugerencia, aunque no la mencionó en sus artículos de 1900 y 1901. Planck habría estado al tanto de varias otras fórmulas propuestas que se habían ofrecido. ^{[64] [97]} El 7 de octubre de 1900, Rubens le dijo a Planck que en el dominio complementario (longitud de onda larga, baja frecuencia), y sólo allí, la fórmula de Rayleigh de 1900 se ajustaba bien a los datos observados. ^[97]

Para longitudes de onda largas, la fórmula heurística de Rayleigh de 1900 significaba aproximadamente que la energía era proporcional a la temperatura, U _λ = const. T.​ ^{[80] [97] [98]} Se sabe quedS/dU _λ=1/ty esto lleva adS/dU _λ=constante/U _λy de allí are ² S/dU _λ ²= -constante/U _λ ²para longitudes de onda largas. Pero para longitudes de onda cortas, la fórmula de Viena conduce a1/t= − constante. En U _λ + const. y de allí are ² S/dU _λ ²= -constante/U _λpara longitudes de onda cortas. Planck quizás juntó estas dos fórmulas heurísticas, para longitudes de onda largas y cortas, ^{[97] [99]} para producir una fórmula ^[94]

$${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$$

Esto llevó a Planck a la fórmula

$${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$$

Cc

Planck envió este resultado a Rubens, quien lo comparó con sus datos de observación y los de Kurlbaum y descubrió que se ajustaba notablemente bien a todas las longitudes de onda. El 19 de octubre de 1900, Rubens y Kurlbaum informaron brevemente sobre el ajuste de los datos, ^[100] y Planck añadió una breve presentación para dar un bosquejo teórico que explicara su fórmula. ^[94] Al cabo de una semana, Rubens y Kurlbaum dieron un informe más completo de sus mediciones confirmando la ley de Planck. Su técnica para la resolución espectral de la radiación de longitud de onda más larga se denominó método del rayo residual. Los rayos se reflejaban repetidamente desde superficies de cristal pulidas, y los rayos que atravesaron todo el proceso eran "residuales" y tenían longitudes de onda preferentemente reflejadas por cristales de materiales adecuadamente específicos. ^{[101] [102] [103]}

Tratando de encontrar una explicación física de la ley.

Una vez que Planck descubrió la función empíricamente adecuada, construyó una derivación física de esta ley. Su pensamiento giraba en torno a la entropía en lugar de centrarse directamente en la temperatura. Planck consideró una cavidad con paredes perfectamente reflectantes; dentro de la cavidad, hay un número finito de cuerpos oscilatorios resonantes distintos pero idénticamente constituidos de magnitud definida, con varios de estos osciladores en cada una de un número finito de frecuencias características. Estos osciladores hipotéticos eran para Planck sondas de investigación teóricas puramente imaginarias, y dijo de ellos que tales osciladores no necesitan "existir realmente en algún lugar de la naturaleza, siempre que su existencia y sus propiedades sean consistentes con las leyes de la termodinámica y la electrodinámica". ^[104] Planck no atribuyó ningún significado físico definido a su hipótesis de los osciladores resonantes, sino que la propuso como un dispositivo matemático que le permitió derivar una expresión única para el espectro del cuerpo negro que coincidía con los datos empíricos en todas las longitudes de onda. ^[105] Mencionó tentativamente la posible conexión de tales osciladores con átomos . En cierto sentido, los osciladores correspondían a la mota de carbono de Planck; el tamaño de la mota podría ser pequeño independientemente del tamaño de la cavidad, siempre que la mota transduzca energía de manera efectiva entre modos de longitud de onda radiativa. ^[97]

Siguiendo en parte un método heurístico de cálculo iniciado por Boltzmann para las moléculas de gas, Planck consideró las posibles formas de distribuir la energía electromagnética entre los diferentes modos de sus hipotéticos osciladores materiales cargados. Esta aceptación del enfoque probabilístico, siguiendo a Boltzmann, fue para Planck un cambio radical con respecto a su posición anterior, que hasta entonces se había opuesto deliberadamente al pensamiento propuesto por Boltzmann. ^[106] En palabras de Planck, "Consideré la [hipótesis cuántica] una suposición puramente formal, y no le presté mucha atención excepto en esto: que había obtenido un resultado positivo bajo cualquier circunstancia y a cualquier costo". ^[107] Heurísticamente, Boltzmann había distribuido la energía en cuantos meramente matemáticos arbitrarios ϵ , que había procedido a hacer tender a cero en magnitud, porque la magnitud finita ϵ había servido sólo para permitir un conteo definido en aras del cálculo matemático de probabilidades, y no tenía significado físico. Refiriéndose a una nueva constante universal de la naturaleza, h , ^[108] Planck supuso que, en los diversos osciladores de cada una de las finitas frecuencias características, la energía total se distribuía a cada uno en un múltiplo entero de una unidad física definida de energía, ϵ , característica de la frecuencia característica respectiva. ^{[95] [109] [110] [111]} Su nueva constante universal de la naturaleza, h , ahora se conoce como constante de Planck .

Planck explicó además ^[95] que la respectiva unidad definida, ϵ , de energía debería ser proporcional a la respectiva frecuencia de oscilación característica ν del oscilador hipotético, y en 1901 expresó esto con la constante de proporcionalidad h : ^{[112] [113]}

$${\displaystyle \epsilon =h\nu .}$$

Planck no propuso que la luz que se propaga en el espacio libre esté cuantizada. ^{[114] [115] [116]} La idea de la cuantificación del campo electromagnético libre se desarrolló más tarde y finalmente se incorporó a lo que ahora conocemos como teoría cuántica de campos . ^[117]

En 1906, Planck reconoció que sus resonadores imaginarios, al tener una dinámica lineal, no proporcionaban una explicación física para la transducción de energía entre frecuencias. ^{[118] [119]} La física actual explica la transducción entre frecuencias en presencia de átomos por su excitabilidad cuántica, siguiendo a Einstein. Planck creía que en una cavidad con paredes perfectamente reflectantes y sin materia presente, el campo electromagnético no puede intercambiar energía entre componentes de frecuencia. ^[120] Esto se debe a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell . ^[121] La teoría cuántica de campos actual predice que, en ausencia de materia, el campo electromagnético obedece a ecuaciones no lineales y, en ese sentido, interactúa consigo mismo. ^{[122] [123]} Tal interacción en ausencia de materia aún no se ha medido directamente porque requeriría intensidades muy altas y detectores muy sensibles y de bajo ruido, que aún están en proceso de construcción. ^{[122] [124]} Planck creía que un campo sin interacciones no obedece ni viola el principio clásico de equipartición de energía, ^{[125] [126]} y, en cambio, permanece exactamente como estaba cuando se introdujo, en lugar de evolucionar hacia un campo de cuerpo negro. . ^[127] Por lo tanto, la linealidad de sus supuestos mecánicos impidió a Planck tener una explicación mecánica de la maximización de la entropía del campo de radiación térmica en equilibrio termodinámico. Por eso tuvo que recurrir a los argumentos probabilísticos de Boltzmann. ^{[128] [129]}

Se puede considerar que la ley de Planck cumple la predicción de Gustav Kirchhoff de que su ley de radiación térmica era de suma importancia. En su madura presentación de su propia ley, Planck ofreció una prueba teórica minuciosa y detallada de la ley de Kirchhoff, ^[130] cuya prueba teórica hasta entonces había sido debatida en ocasiones, en parte porque se decía que se basaba en objetos teóricos no físicos, como la ley de Kirchhoff. superficie negra infinitamente delgada que absorbe perfectamente. ^[131]

Eventos subsecuentes

No fue hasta cinco años después de que Planck hiciera su suposición heurística de elementos abstractos de energía o de acción que Albert Einstein concibió los cuantos de luz realmente existentes en 1905 ^[132] como una explicación revolucionaria de la radiación del cuerpo negro, de la fotoluminiscencia, de la efecto fotoeléctrico , y de la ionización de gases por la luz ultravioleta. En 1905, "Einstein creía que no se podía hacer que la teoría de Planck estuviera de acuerdo con la idea de los cuantos de luz, un error que corrigió en 1906". ^[133] Contrariamente a las creencias de Planck de la época, Einstein propuso un modelo y una fórmula mediante los cuales la luz se emitía, absorbía y propagaba en el espacio libre en cuantos de energía localizados en puntos del espacio. ^[132] Como introducción a su razonamiento, Einstein recapituló el modelo de Planck de osciladores eléctricos hipotéticos de material resonante como fuentes y sumideros de radiación, pero luego ofreció un nuevo argumento, desconectado de ese modelo, pero basado en parte en un argumento termodinámico de Wien, en el que la fórmula de Planck ϵ = hν no jugó ningún papel. ^[134] Einstein dio el contenido de energía de tales cuantos en la formaRβν/norte. Así, Einstein contradecía la teoría ondulatoria de la luz sostenida por Planck. En 1910, criticando un manuscrito que le envió Planck, sabiendo que Planck era un firme partidario de la teoría de la relatividad especial de Einstein, Einstein le escribió: "A mí me parece absurdo tener energía distribuida continuamente en el espacio sin suponer un éter". ^[135]

Según Thomas Kuhn , no fue hasta 1908 que Planck aceptó más o menos parte de los argumentos de Einstein a favor de la discreción física, distinta de la matemática abstracta, en la física de la radiación térmica. Todavía en 1908, considerando la propuesta de Einstein sobre la propagación cuántica, Planck opinó que tal paso revolucionario tal vez era innecesario. ^[136] Hasta entonces, Planck había sido consistente en pensar que la discreción de los cuantos de acción no se encontraba ni en sus osciladores resonantes ni en la propagación de la radiación térmica. Kuhn escribió que, en los artículos anteriores de Planck y en su monografía de 1906, ^[137] no se "menciona la discontinuidad, [ni] se habla de una restricción de la energía del oscilador, [ni de] ninguna fórmula como U = nhν ". Kuhn señaló que su estudio de los artículos de Planck de 1900 y 1901, y de su monografía de 1906, ^[137] lo habían llevado a conclusiones "heréticas", contrarias a las suposiciones generalizadas de otros que veían los escritos de Planck sólo desde la perspectiva de épocas posteriores. Puntos de vista anacrónicos. ^[138] Las conclusiones de Kuhn, que sitúan un período hasta 1908, cuando Planck sostuvo consistentemente su "primera teoría", han sido aceptadas por otros historiadores. ^[139]

En la segunda edición de su monografía, en 1912, Planck sostuvo su desacuerdo con la propuesta de Einstein sobre los cuantos de luz. Propuso con cierto detalle que la absorción de luz por sus resonadores materiales virtuales podría ser continua y ocurrir a una velocidad constante en equilibrio, a diferencia de la absorción cuántica. Sólo la emisión fue cuántica. ^{[121] [140]} Esto en ocasiones ha sido llamado la "segunda teoría" de Planck. ^[141]

No fue hasta 1919 que Planck, en la tercera edición de su monografía, aceptó más o menos su "tercera teoría", según la cual tanto la emisión como la absorción de luz eran cuánticas. ^[142]

El colorido término " catástrofe ultravioleta " fue dado por Paul Ehrenfest en 1911 al resultado paradójico de que la energía total en la cavidad tiende al infinito cuando el teorema de equipartición de la mecánica estadística clásica se aplica (erróneamente) a la radiación del cuerpo negro. ^{[143] [144]} Pero esto no había sido parte del pensamiento de Planck, porque no había intentado aplicar la doctrina de la equipartición: cuando hizo su descubrimiento en 1900, no había notado ningún tipo de "catástrofe". ^{[83] [84] [85] [80] [145]} Fue observado por primera vez por Lord Rayleigh en 1900, ^{[96] [146] [147]} y luego en 1901 ^[148] por Sir James Jeans ; y más tarde, en 1905, por Einstein cuando quiso apoyar la idea de que la luz se propaga como paquetes discretos, más tarde llamados 'fotones', y por Rayleigh ^[39] y Jeans. ^{[38] [149] [150] [151]}

En 1913, Bohr dio otra fórmula con un significado físico diferente a la cantidad hν . ^{[34] [35] [36] [152] [153] [154]} A diferencia de las fórmulas de Planck y Einstein, la fórmula de Bohr se refería explícita y categóricamente a los niveles de energía de los átomos. La fórmula de Bohr era W _{τ 2} − W _{τ 1} = hν donde W _{τ 2} y W _{τ 1} denotan los niveles de energía de los estados cuánticos de un átomo, con números cuánticos τ ₂ y τ ₁ . El símbolo ν denota la frecuencia de un cuanto de radiación que puede emitirse o absorberse cuando el átomo pasa entre esos dos estados cuánticos. A diferencia del modelo de Planck, la frecuencia no tiene una relación inmediata con las frecuencias que podrían describir esos propios estados cuánticos. ${\displaystyle \nu }$

Posteriormente, en 1924, Satyendra Nath Bose desarrolló la teoría de la mecánica estadística de los fotones, que permitió una derivación teórica de la ley de Planck. ^[155] La palabra real 'fotón' fue inventada aún más tarde, por GN Lewis en 1926, ^[156] quien creía erróneamente que los fotones se conservaban, contrariamente a las estadísticas de Bose-Einstein; sin embargo, se adoptó la palabra "fotón" para expresar el postulado de Einstein sobre la naturaleza de paquetes de la propagación de la luz. En un campo electromagnético aislado en el vacío en un recipiente con paredes perfectamente reflectantes, como el que consideraba Planck, efectivamente los fotones se conservarían según el modelo de Einstein de 1905, pero Lewis se refería a un campo de fotones considerado como un sistema cerrado con respecto a la materia ponderable pero abierto al intercambio de energía electromagnética con un sistema circundante de materia ponderable, y imaginó erróneamente que aún los fotones se conservaban, almacenándose dentro de los átomos.

En última instancia, la ley de Planck sobre la radiación del cuerpo negro contribuyó al concepto de Einstein de cuantos de luz portadores de momento lineal, ^{[34] [132]} que se convirtió en la base fundamental para el desarrollo de la mecánica cuántica .

La linealidad mencionada anteriormente de los supuestos mecánicos de Planck, que no permitía interacciones energéticas entre componentes de frecuencia, fue reemplazada en 1925 por la mecánica cuántica original de Heisenberg. En su artículo presentado el 29 de julio de 1925, la teoría de Heisenberg tenía en cuenta la fórmula de Bohr de 1913 antes mencionada. Admitía osciladores no lineales como modelos de estados cuánticos atómicos, permitiendo la interacción energética entre sus propios múltiples componentes internos discretos de frecuencia de Fourier, en las ocasiones de emisión o absorción de cuantos de radiación. La frecuencia de un cuanto de radiación era la de un acoplamiento definido entre estados cuánticos oscilatorios metaestables atómicos internos. ^{[157] [158]} En ese momento, Heisenberg no sabía nada de álgebra matricial, pero Max Born leyó el manuscrito del artículo de Heisenberg y reconoció el carácter matricial de la teoría de Heisenberg. Luego, Born y Jordan publicaron una teoría matricial explícita de la mecánica cuántica, basada en la mecánica cuántica original de Heisenberg, pero en una forma claramente diferente de ella; es la teoría matricial de Born y Jordan la que hoy se llama mecánica matricial. ^{[159] [160] [161]} La explicación de Heisenberg de los osciladores de Planck, como efectos no lineales aparentes como modos de Fourier de procesos transitorios de emisión o absorción de radiación, mostró por qué los osciladores de Planck, vistos como objetos físicos duraderos como los que podrían imaginarse por la física clásica, no dio una explicación adecuada de los fenómenos.

Hoy en día, como expresión de la energía de un cuanto de luz, a menudo se encuentra la fórmula E = ħω , donde ħ =h/2π, y ω = 2π ν denota frecuencia angular, ^{[162] [163] [164] [165] [166]} y con menos frecuencia la fórmula equivalente E = hν . ^{[165] [166] [167] [168] [169]} Esta afirmación sobre un cuanto de luz realmente existente y en propagación, basada en la de Einstein, tiene un significado físico diferente al de la afirmación anterior de Planck ϵ = hν sobre las unidades de energía abstractas para distribuirse entre sus hipotéticos osciladores de material resonante.

Un artículo de Helge Kragh publicado en Physics World da cuenta de esta historia. ^[111]

Ver también

• Emisividad
• Resplandor
• Ecuación de Sakuma-Hattori

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enlaces externos

• Resumen de radiación
• Radiación de un cuerpo negro: simulación interactiva para jugar con la ley de Planck
• Entrada de Scienceworld sobre la ley de Planck