Ecuación de Sakuma-Hattori

Fórmula para la radiación térmica emitida por un cuerpo negro perfecto

En física , la ecuación de Sakuma-Hattori es un modelo matemático para predecir la cantidad de radiación térmica , flujo radiométrico o potencia radiométrica emitida por un cuerpo negro perfecto o recibida por un detector de radiación térmica.

Historia

La ecuación de Sakuma-Hattori fue propuesta por primera vez por Fumihiro Sakuma, Akira Ono y Susumu Hattori en 1982. ^[1] En 1996, un estudio investigó la utilidad de varias formas de la ecuación de Sakuma-Hattori. Este estudio demostró que la forma Planckiana proporciona el mejor ajuste para la mayoría de las aplicaciones. ^[2] Este estudio se realizó para 10 formas diferentes de la ecuación de Sakuma-Hattori que contienen no más de tres variables de ajuste. En 2008, BIPM CCT-WG5 recomendó su uso para presupuestos de incertidumbre de medición de termometría de radiación por debajo de 960 °C. ^[3]

forma general

La ecuación de Sakuma-Hattori proporciona la señal electromagnética de la radiación térmica en función de la temperatura de un objeto . La señal puede ser un flujo electromagnético o una señal producida por un detector que mide esta radiación. Se ha sugerido que debajo del punto plateado, ^[a] se utilice un método que utilice la ecuación de Sakuma-Hattori. ^[1] En su forma general se parece a ^[3]

$${\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda _{x}T}}\right)-1}},}$$

^{[ se necesita aclaración ]}

• ${\displaystyle C}$es el coeficiente escalar
• ${\displaystyle c_{2}}$es la segunda constante de radiación (0,014387752 m⋅K ^[6] )
• ${\displaystyle \lambda _{x}}$es la longitud de onda efectiva dependiente de la temperatura (en metros)
• ${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta (en K)

forma planckiana

Derivación

La forma planckiana se realiza mediante la siguiente sustitución:

$${\displaystyle \lambda _{x}=A+{\frac {B}{T}}}$$

Al hacer esta sustitución, se obtiene la siguiente ecuación de Sakuma-Hattori en la forma planckiana.

Ecuación de Sakuma-Hattori (forma planckiana)

${\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)-1}}}$

Ecuación inversa ^[7]

${\displaystyle T={\frac {c_{2}}{A\ln \left({\frac {C}{S}}+1\right)}}-{\frac {B}{A}}}$

Primera derivada ^[8]

${\displaystyle {\frac {dS}{dT}}=\left[S(T)\right]^{2}{\frac {Ac_{2}}{C\left(AT+B\right)^{2}}}\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)}$

Discusión

Se recomienda utilizar la forma Planckiana para calcular presupuestos de incertidumbre para termometría de radiación ^[3] y termometría infrarroja . ^[7] También se recomienda su uso en la calibración de termómetros de radiación por debajo del punto de plata. ^[3]

La forma planckiana se parece a la ley de Planck .

$${\displaystyle S(T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}}$$

Sin embargo, la ecuación de Sakuma-Hattori resulta muy útil cuando se considera la termometría de radiación de banda ancha y baja temperatura. Para utilizar la ley de Planck en una banda espectral amplia, se debería considerar una integral como la siguiente:

$${\displaystyle S(T)=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}d\lambda }$$

Esta integral produce una función polilogarítmica incompleta , lo que puede hacer que su uso sea muy engorroso. El tratamiento numérico estándar expande la integral incompleta en una serie geométrica de la exponencial

$${\displaystyle \int _{0}^{\lambda _{2}}{\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}d\lambda =c_{1}\left({\frac {T}{c_{2}}}\right)^{4}\int _{c_{2}/(\lambda _{2}T)}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx}$$

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {c_{2}}{xT}},\ d\lambda ={\tfrac {-c_{2}}{x^{2}Tdx}}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J(c)&\equiv \int _{c}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx=\int _{c}^{\infty }{\frac {x^{3}e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx\\[4pt]&=\int _{c}^{\infty }\sum _{n\geq 1}x^{3}e^{-nx}dx\\[4pt]&=\sum _{n\geq 1}e^{-nc}{\frac {(nc)^{3}+3(nc)^{2}+6nc+6}{n^{4}}}\end{aligned}}}$$

Se descubrió que la ecuación de Sakuma-Hattori que se muestra arriba proporciona el mejor ajuste de curva para la interpolación de escalas para termómetros de radiación entre varias alternativas investigadas. ^[2]

La función inversa de Sakuma-Hattori se puede utilizar sin cálculos iterativos. Esta es una ventaja adicional sobre la integración de la ley de Planck.

Otras formas

El artículo de 1996 investigó 10 formas diferentes. Se enumeran en el cuadro siguiente en orden de calidad de ajuste de la curva a los datos radiométricos reales. ^[2]

Ver también

• Ley de Stefan-Boltzmann
• ley de planck
• Ley de Rayleigh-Jeans
• Aproximación de Viena
• Ley de desplazamiento de Viena
• Ley de radiación térmica de Kirchhoff
• Termómetro infrarojo
• Pirómetro
• Pirometría de filamento fino
• Termografía
• cuerpo negro
• Radiación termal
• Resplandor
• Emisividad
• Subcomité ASTM E20.02 sobre termometría por radiación

Notas

1. Punto de plata, el punto de fusión de la plata 962 °C [(961,961 ± 0,017) °C ^[4] ] utilizado como punto de calibración en algunas escalas de temperatura. ^[5] Se utiliza para calibrar termómetros IR porque es estable y fácil de reproducir.

Referencias

1. Sakuma, F.; Hattori, S. (1982). "Establecimiento de un estándar de temperatura práctico mediante el uso de un termómetro de radiación de banda estrecha con un detector de silicio". En Schooley, JF (ed.). Temperatura: su medición y control en la ciencia y la industria . vol. 5. Nueva York: AIP. págs. 421–427. ISBN 0-88318-403-6.
2. Sakuma F, Kobayashi M., "Ecuaciones de interpolación de escalas de termómetros de radiación", Actas de TEMPMEKO 1996 , págs. 305–310 (1996).
3. , J.; et al. (2008). «Presupuestos de incertidumbre para calibración de termómetros de radiación por debajo del punto de plata» (PDF) . CCT-WG5 sobre termometría de radiación, BIPM, Sèvres, Francia . 29 (3): 1066. Código bibliográfico : 2008IJT....29.1066S. doi :10.1007/s10765-008-0385-1. S2CID  122082731.
4. J Tapping y VN Ojha (1989). "Medición del punto de plata con un pirómetro sencillo de alta precisión". Metrología . 26 (2): 133-139. Código Bib : 1989 Metro..26..133T. doi :10.1088/0026-1394/26/2/008. S2CID  250764204.
5. "Definición de Silver Point - 962 °C, el punto de fusión de la plata" . Consultado el 26 de julio de 2010 .
6. "Valores recomendados CODATA 2006". Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST). Diciembre de 2003 . Consultado el 27 de abril de 2010 .
7. Guía técnica 22 de MSL: Calibración de termómetros infrarrojos de baja temperatura (pdf), Laboratorio de estándares de medición de Nueva Zelanda (2008). Actualizado : Versión 3. Julio de 2019, [1]
8. Norma ASTM E2758-10: guía estándar para la selección y uso de termómetros infrarrojos de banda ancha y baja temperatura , ASTM International, West Conshohocken, PA, (2010). Actualizado : ASTM E2758-15a (2021), https://www.astm.org/e2758-15ar21.html