e (constante matemática)

2.71828..., base de logaritmos naturales

Valor constante utilizado en matemáticas.

Gráfica de la ecuación y = 1/ x . Aquí, e es el número único mayor que 1 que hace que el área sombreada bajo la curva sea igual a 1.

El número e es una constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 que se puede caracterizar de muchas formas. Es la base de los logaritmos naturales . Es el límite de (1 + 1/ n ) ⁿ cuando n tiende al infinito, expresión que surge en el cálculo del interés compuesto . También se puede calcular como la suma de la serie infinita.

$${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$$

También es el único número positivo a tal que la gráfica de la función y = a ^x tiene una pendiente de 1 en x = 0 .

La función exponencial (natural) f ( x ) = e ^x es la función única f que es igual a su propia derivada y satisface la ecuación f (0) = 1 ; por tanto, también se puede definir e como f (1) . El logaritmo natural, o logaritmo en base e , es la función inversa a la función exponencial natural. El logaritmo natural de un número k > 1 se puede definir directamente como el área bajo la curva y = 1/ x entre x = 1 y x = k , en cuyo caso e es el valor de k para el cual esta área es igual a 1 (ver imagen). Hay varias otras caracterizaciones.

El número e a veces se llama número de Euler , en honor al matemático suizo Leonhard Euler , aunque esto puede provocar confusión con la constante de Euler , una constante diferente que normalmente se denomina . Alternativamente, e puede denominarse constante de Napier en honor a John Napier . ^{[2] [3]} La constante fue descubierta por el matemático suizo Jacob Bernoulli mientras estudiaba el interés compuesto. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \gamma }$

El número e es de gran importancia en matemáticas, ^[6] junto con 0, 1, π e i . Los cinco aparecen en una formulación de la identidad de Euler y desempeñan papeles importantes y recurrentes en todas las matemáticas. ^{[7] [8]} Al igual que la constante π , e es irracional , lo que significa que no se puede representar como una proporción de números enteros y, además, es trascendental , lo que significa que no es una raíz de ningún polinomio distinto de cero con coeficientes racionales. ^[3] Con 40 decimales, el valor de e es: ^[1] ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572...

Historia

Las primeras referencias a la constante se publicaron en 1618 en la tabla de un apéndice de una obra sobre logaritmos de John Napier . Sin embargo, esto no contenía la constante en sí, sino simplemente una lista de logaritmos hasta la base ${\displaystyle e}$ . Se supone que la tabla fue escrita por William Oughtred . En 1661, Christiaan Huygens estudió cómo calcular logaritmos mediante métodos geométricos y calculó una cantidad que, en retrospectiva, es el logaritmo de base 10 de e , pero no reconoció a e en sí como una cantidad de interés. ^{[5] [9]}

La constante en sí fue introducida por Jacob Bernoulli en 1683, para resolver el problema de la capitalización continua del interés. ^{[10] [11]} En su solución, la constante e ocurre como el límite

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$

n ${\displaystyle n=12}$

El primer símbolo utilizado para esta constante fue la letra b de Gottfried Leibniz en cartas a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. ^[12]

Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para la constante en 1727 o 1728, en un artículo inédito sobre fuerzas explosivas en cañones, ^[13] y en una carta a Christian Goldbach el 25 de noviembre de 1731. ^{[14] [15]} La primera aparición de e en una publicación impresa estaba en Euler's Mechanica (1736). ^[16] Se desconoce por qué Euler eligió la letra e . ^[17] Aunque algunos investigadores utilizaron la letra c en los años siguientes, la letra e era más común y finalmente se convirtió en estándar. ^[2]

Euler demostró que e es la suma de la serie infinita

$${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$$

norte ! factorialn^[5]teorema del binomio^[18]

Aplicaciones

Interés compuesto

El efecto de ganar 20% de interés anual sobre una inversión inicial de $1,000 en varias frecuencias de capitalización. La curva límite en la parte superior es la gráfica , donde y está en dólares, t en años y 0,2 = 20%. ${\displaystyle y=1000e^{0.2t}}$

Jacob Bernoulli descubrió esta constante en 1683, mientras estudiaba una cuestión sobre el interés compuesto : ^[5]

Una cuenta comienza con $1.00 y paga 100 por ciento de interés por año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor de la cuenta al final del año será de $2,00. ¿Qué sucede si el interés se calcula y acredita con mayor frecuencia durante el año?

Si el interés se acredita dos veces al año, la tasa de interés para cada 6 meses será del 50%, por lo que el dólar inicial se multiplica por 1,5 dos veces, lo que da como resultado $1,00 × 1,5 ² = $2,25 al final del año. La capitalización trimestral produce $1,00 × 1,25 ⁴ = $2,44140625 y la capitalización mensual produce $1,00 × (1 + 1/12) ¹² = $2,613035... . Si hay n intervalos de capitalización, el interés para cada intervalo será 100%/ n y el valor al final del año será $1,00 ×  (1 + 1/ n ) ⁿ . ^{[19] [20]}

Bernoulli notó que esta secuencia se acerca a un límite (la fuerza de interés ) con n mayor y, por lo tanto, intervalos de composición más pequeños. ^[5] La capitalización semanal ( n = 52 ) produce $ 2,692596..., mientras que la capitalización diaria ( n = 365 ) produce $ 2,714567... (aproximadamente dos centavos más). El límite a medida que n crece es el número que llegó a conocerse como e . Es decir, con capitalización continua , el valor de la cuenta alcanzará $2,718281828... De manera más general, una cuenta que comienza en $1 y ofrece una tasa de interés anual de R , después de t años, producirá e ^Rt dólares con capitalización continua. Aquí, R es el equivalente decimal de la tasa de interés expresada como porcentaje , por lo que para un interés del 5%, R = 5/100 = 0,05 . ^{[19] [20]}

juicios de Bernoulli

Gráficos de probabilidad P de no observar eventos independientes, cada uno de probabilidad 1/ n después de n ensayos de Bernoulli, y 1 − P  vs n  ; Se puede observar que a medida que n aumenta, la probabilidad de que un evento de probabilidad 1/ n nunca aparezca después de n intentos converge rápidamente a 1/ e .

El número e en sí también tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad , de una manera que no está obviamente relacionada con el crecimiento exponencial. Supongamos que un jugador juega en una máquina tragamonedas que paga con una probabilidad de uno entre n y la juega n veces. A medida que n aumenta, la probabilidad de que el jugador pierda todas las n apuestas se acerca a 1/ e . Para n = 20 , esto ya es aproximadamente 1/2.789509....

Este es un ejemplo de un proceso de juicio Bernoulli . Cada vez que el jugador juega en las tragamonedas, hay una probabilidad entre n de ganar. Jugar n veces está modelado por la distribución binomial , que está estrechamente relacionada con el teorema del binomio y el triángulo de Pascal . La probabilidad de ganar k veces en n intentos es: ^[21]

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}$

En particular, la probabilidad de ganar cero veces ( k = 0 ) es

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

El límite de la expresión anterior, cuando n tiende a infinito, es precisamente 1/ e .

Crecimiento y decadencia exponencial

El crecimiento exponencial es un proceso que aumenta la cantidad con el tiempo a un ritmo cada vez mayor. Ocurre cuando la tasa de cambio instantánea (es decir, la derivada ) de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad misma. ^[20] Descrita como una función, una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ). Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que está experimentando un decaimiento exponencial . La ley del crecimiento exponencial se puede escribir en formas diferentes pero matemáticamente equivalentes, utilizando una base diferente , para la cual el número e es una elección común y conveniente:

$${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$

xke ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$

Distribución normal estándar

La distribución normal con media cero y desviación estándar unitaria se conoce como distribución normal estándar , ^[22] dada por la función de densidad de probabilidad.

$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

La restricción de la desviación estándar unitaria (y por tanto también de la varianza unitaria) da como resultado la1/2en el exponente, y la restricción de la unidad de área total bajo la curva da como resultado el factor . Esta función es simétrica alrededor de x = 0 , donde alcanza su valor máximo , y tiene puntos de inflexión en x = ±1 . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

Trastornos

Otra aplicación de e , también descubierta en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Remond de Montmort , es en el problema de los trastornos , también conocido como problema del cheque del sombrero : ^[23] n invitados son invitados a una fiesta y, en la puerta, Todos los invitados revisan sus sombreros con el mayordomo, quien a su vez coloca los sombreros en n cajas, cada una etiquetada con el nombre de un invitado. Pero el mayordomo no ha preguntado las identidades de los invitados, por lo que coloca los sombreros en cajas seleccionadas al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros quede en la caja correcta. Esta probabilidad, denotada por , es: ${\displaystyle p_{n}\!}$

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Cuando n tiende al infinito, p _n se acerca a 1/ e . Además, el número de formas en que se pueden colocar los sombreros en las cajas para que ninguno de los sombreros esté en la caja correcta es n !/ e , redondeado al entero más cercano, para cada  n positivo . ^[24]

Problemas de planificación óptima

El valor máximo de ocurre en . De manera equivalente, para cualquier valor de la base b > 1 , se da el caso de que el valor máximo de ocurre en ( problema de Steiner , que se analiza más adelante). ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ ${\displaystyle x=e}$ ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle x=e}$

Esto es útil en el problema de un palo de longitud L que se rompe en n partes iguales. El valor de n que maximiza el producto de las longitudes es entonces ^[25]

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$o ${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

La cantidad también es una medida de información obtenida de un evento que ocurre con probabilidad , de modo que esencialmente aparece la misma división óptima en problemas de planificación óptima como el problema de la secretaria . ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle 1/x}$

Asintóticas

El número e ocurre naturalmente en relación con muchos problemas que involucran asintóticos . Un ejemplo es la fórmula de Stirling para las asintóticas de la función factorial , en la que aparecen tanto los números e como π ^{: [26]}

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

Como consecuencia, ^[26]

$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

Propiedades

Cálculo

Las gráficas de las funciones x ↦ a ^x se muestran para a = 2 (punteado), a = e (azul) y a = 4 (discontinuo). Todos pasan por el punto (0,1) , pero la línea roja (que tiene pendiente 1 ) es tangente solo a e ^x allí.

El valor de la función logarítmica natural para el argumento e , es decir, ln e , es igual a 1.

La principal motivación para introducir el número e , particularmente en cálculo , es realizar cálculo diferencial e integral con funciones exponenciales y logaritmos . ^{[27] Una} función exponencial general y = a ^x tiene una derivada, dada por un límite :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

El límite entre paréntesis a la derecha es independiente de la variable x . Su valor resulta ser el logaritmo de a en base e . Así, cuando el valor de a se establece en e , este límite es igual a 1 , por lo que se llega a la siguiente identidad simple:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

En consecuencia, la función exponencial con base e es particularmente adecuada para hacer cálculo. Elegir e (a diferencia de algún otro número) como base de la función exponencial simplifica mucho los cálculos que involucran las derivadas.

Otra motivación proviene de considerar la derivada de la base un logaritmo (es decir, log _a x ), ^[27] para  x > 0 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

donde se realizó la sustitución u = h / x . El logaritmo en base a de e es 1, si a es igual a e . Así simbólicamente,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

El logaritmo con esta base especial se llama logaritmo natural y se denota como ln ; se comporta bien bajo diferenciación ya que no hay un límite indeterminado para realizar los cálculos.

Por tanto, hay dos formas de seleccionar dichos números especiales a . Una forma es establecer la derivada de la función exponencial a ^x igual a a ^x y resolver para a . La otra forma es establecer la derivada del logaritmo base a en 1/ x y resolver para a . En cada caso, se llega a una elección conveniente de base para hacer cálculo. Resulta que estas dos soluciones para a son en realidad las mismas : el número e .

Las cinco regiones coloreadas tienen la misma área y definen unidades de ángulo hiperbólico a lo largo de la hipérbola. ${\displaystyle xy=1.}$

La serie de Taylor para la función exponencial se puede deducir del hecho de que la función exponencial es su propia derivada y que es igual a 1 cuando se evalúa en 0: ^[28]

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

e ${\displaystyle x=1}$

La función logaritmo natural se puede definir como la integral de 1 a of , y la función exponencial se puede definir como la función inversa del logaritmo natural. El número e es el valor de la función exponencial evaluada en , o equivalentemente, el número cuyo logaritmo natural es 1. Se deduce que e es el único número real positivo tal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

Debido a que e ^x es la única función ( hasta multiplicación por una constante K ) que es igual a su propia derivada ,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

por lo tanto , también es su propia antiderivada : ^[29]

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

De manera equivalente, la familia de funciones

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

donde K es cualquier número real o complejo, es la solución completa de la ecuación diferencial

$${\displaystyle y'=y.}$$

Desigualdades

Las funciones exponenciales y = 2 ^x e y = 4 ^x intersectan la gráfica de y = x + 1 , respectivamente, en x = 1 y x = -1/2 . El número e es la base única tal que y = e ^x se cruza solo en x = 0 . Podemos inferir que e se encuentra entre 2 y 4.

El número e es el único número real tal que

$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$

x^[30]

Además tenemos la desigualdad

$${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$

xx = 0ea ^x ≥ x + 1x^[31]la desigualdad de Bernoulli

Funciones de tipo exponencial

El máximo global de ^x √ x ocurre en x = e .

El problema de Steiner pide encontrar el máximo global de la función.

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

Este máximo ocurre precisamente en x = e . (Se puede comprobar que la derivada de ln f ( x ) es cero sólo para este valor de  x .)

De manera similar, x = 1/ e es donde ocurre el mínimo global para la función

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

La tetración infinita

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$o ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

converge si y sólo si x ∈ [(1/ e ) ^e , e ^{1/ e} ] ≈ [0.06599, 1.4447] , ^{[32] [33]} mostrado por un teorema de Leonhard Euler . ^{[34] [35] [36]}

Teoría de los números

El número real e es irracional . Euler demostró esto demostrando que su expansión en fracción continua simple no termina. ^[37] (Véase también la prueba de Fourier de que e es irracional ).

Además, según el teorema de Lindemann-Weierstrass , e es trascendental , lo que significa que no es una solución de ninguna ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes racionales. Fue el primer número que se demostró trascendental sin haber sido construido específicamente para este propósito (compárese con el número de Liouville ); la prueba fue dada por Charles Hermite en 1873. ^[38]

Se conjetura que e es normal , lo que significa que cuando e se expresa en cualquier base , los posibles dígitos en esa base están distribuidos uniformemente (ocurren con igual probabilidad en cualquier secuencia de longitud dada). ^[39]

En geometría algebraica , un período es un número que puede expresarse como una integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico . La constante π es un período, pero se conjetura que e no lo es. ^[40]

Números complejos

La función exponencial e ^x se puede escribir como una serie de Taylor

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

Debido a que esta serie es convergente para cada valor complejo de x , se usa comúnmente para extender la definición de e ^x a los números complejos. ^[41] Esto, con la serie de Taylor para sen y cos x , permite derivar la fórmula de Euler :

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

que es válido para todo complejo x . ^[41] El caso especial con x = π es la identidad de Euler :

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$

belleza matemáticauna pruebaπtrascendentalcuadrar el círculo^{[42] [43]}rama principal^[41]

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

Además, utilizando las leyes de la exponenciación,

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$$

para cualquier número entero n , que es la fórmula de de Moivre . ^[44]

Las expresiones de cos x y sen x en términos de la función exponencial se pueden deducir de la serie de Taylor: ^[41]

$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

La expresión a veces se abrevia como cis( x ) . ^[44] ${\textstyle \cos x+i\sin x}$

Representaciones

El número e se puede representar de diversas formas: como una serie infinita , un producto infinito , una fracción continua o un límite de una secuencia . Además del límite y la serie dada anteriormente, también existe la fracción continua

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$^{[45] [46]}

que escrito parece

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

El siguiente producto infinito se evalúa como e : ^[25]

$${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$$

Se han demostrado muchas otras representaciones de e en series, secuencias, fracciones continuas y productos infinitos .

Representaciones estocásticas

Además de las expresiones analíticas exactas para la representación de e , existen técnicas estocásticas para estimar e . Uno de esos enfoques comienza con una secuencia infinita de variables aleatorias independientes X ₁ , X ₂ ..., extraídas de la distribución uniforme en [0, 1]. Sea V el menor número n tal que la suma de las primeras n observaciones exceda 1:

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

Entonces el valor esperado de V es e : E( V ) = e . ^{[47] [48]}

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado sustancialmente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al mayor rendimiento de los ordenadores como a mejoras algorítmicas. ^{[49] [50]}

Desde aproximadamente 2010, la proliferación de computadoras de escritorio modernas de alta velocidad ha hecho posible que los aficionados calculen billones de dígitos de e en períodos de tiempo aceptables. El 5 de diciembre de 2020, se realizó un cálculo récord, dando e a 31,415,926,535,897 (aproximadamente π × 10¹³ ) dígitos. ^[58]

Calcular los dígitos

Una forma de calcular los dígitos de e es con la serie ^[59]

$${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.}$$

Un método más rápido implica dos funciones recursivas y . Las funciones se definen como ${\displaystyle p(a,b)}$ ${\displaystyle q(a,b)}$

$${\displaystyle {\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}}$$

La expresion

$${\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}}$$

enésimadivisión binariaela complejidad de los bitsrápidos^[59]

En la cultura informática

Durante el surgimiento de la cultura de Internet , las personas y organizaciones a veces rindieron homenaje al número e .

En un ejemplo temprano, el informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa Metafont se acercaran a e . Las versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc. ^[60]

En otro caso, la presentación de la oferta pública inicial de Google en 2004, en lugar de una típica cantidad de dinero redonda, la compañía anunció su intención de recaudar 2.718.281.828 dólares , lo que equivale a mil millones de dólares redondeados al dólar más cercano. ^[61]

Google también fue responsable de un cartel ^[62] que apareció en el corazón de Silicon Valley , y más tarde en Cambridge, Massachusetts ; Seattle, Washington ; y Austin, Texas . Decía "{primer número primo de 10 dígitos encontrado en dígitos consecutivos de e }.com". El primer número primo de 10 dígitos en e es 7427466391, que comienza en el dígito 99. ^[63] Resolver este problema y visitar el sitio web anunciado (ya desaparecido) llevó a un problema aún más difícil de resolver, que consistía en encontrar el quinto término en la secuencia 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Resultó que la secuencia consistía de números de 10 dígitos que se encuentran en dígitos consecutivos de e cuyos dígitos sumaron 49. El quinto término de la secuencia es 5966290435, que comienza en el dígito 127. ^[64] La solución de este segundo problema finalmente condujo a una página web de Google Labs donde se invitaba al visitante a enviar un currículum. ^{[sesenta y cinco]}

Referencias

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2. Miller, Jeff. "Primeros usos de símbolos para constantes". MacTutor . Universidad de St. Andrews, Escocia . Consultado el 31 de octubre de 2023 .
3. Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
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5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (septiembre de 2001). "El número e". Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas . Universidad de San Andrés .
6. Sawyer, WW (1961). El deleite del matemático . Pingüino. pag. 155.
7. Wilson, Robin (2018). La ecuación pionera de Euler: el teorema más hermoso de las matemáticas (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. (prefacio). ISBN 978-0-19-251405-9.
8. Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: una biografía del número más misterioso del mundo (edición ilustrada). Libros de Prometeo. pag. 68.ISBN​ 978-1-59102-200-8.
9. Bruins, EM (1983). "El cálculo de logaritmos de Huygens" (PDF) . Teoría de la función constructiva : 254–257.
10. Jacob Bernoulli consideró el problema de la capitalización continua del interés, lo que llevó a una expresión en serie para e . Ver: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solucione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algunas preguntas sobre intereses, con solución de un problema sobre juegos de azar, propuestas en el Journal des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanæ ), en el año (anno) 1685.**), Acta eruditorum , págs. En la página 222, Bernoulli plantea la pregunta: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proporcionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Este es un problema de otro tipo: La cuestión es, si algún prestamista invirtiera [una] suma de dinero [a] interés, dejara que se acumulara, de modo que [en] cada momento [recibiera] parte proporcional de [su] interés anual; ¿cuánto se adeudaría [al] final de [el] año?) Bernoulli construye una serie de potencias para calcular la respuesta, y luego escribe: "... quæ nostra serie [expresión matemática para un series geométricas] &c. major est. … si a = b , debebitur plu quam 2½ a & minus quam 3 a . (… la cual nuestra serie [una serie geométrica] es mayor [que]. … si a = b , [al prestamista] se le deberá más de 2½ a y menos de 3 a .) Si a = b , la serie geométrica se reduce a la serie para a × e , entonces 2.5 < e < 3 . (** La referencia es a un problema que planteó Jacob Bernoulli y que aparece en el Journal des Sçavans de 1685 al final de la página 314.)
11. Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). Una historia de las matemáticas (2ª ed.). Wiley. pag. 419.ISBN​ 978-0-471-54397-8.
12. Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF) (en alemán). busque por ejemplo la letra nr. 6
13. Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta . Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (inglés: escrito para el número cuyo logaritmo tiene la unidad, e, o sea 2,7182817…”)
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Otras lecturas

• Maor, Eli; e : La historia de un número , ISBN 0-691-05854-7 
• Comentario a la nota final 10 del libro Prime Obsession por otra representación estocástica
• McCartin, Brian J. (2006). "e: El maestro de todo" (PDF) . El inteligente matemático . 28 (2): 10–21. doi :10.1007/bf02987150. S2CID  123033482.

enlaces externos

• El número e a 1 millón de lugares y NASA.gov 2 y 5 millones de lugares
• e Aproximaciones – Wolfram MathWorld
• Primeros usos de símbolos para constantes 13 de enero de 2008
• "The story of e", de Robin Wilson en Gresham College , 28 de febrero de 2007 (disponible para descarga de audio y vídeo)
• e Search Engine 2 mil millones de dígitos buscables de e , π y √ 2