Periodo (geometría algebraica)

Números expresables como integrales de funciones algebraicas

Los periodos algebraicos como subconjunto de los números complejos.

En matemáticas, específicamente en geometría algebraica , un periodo o período algebraico ^[1] es un número complejo que puede expresarse como una integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico. Los periodos son una clase de números que incluye, junto a los números algebraicos, muchas constantes matemáticas bien conocidas como el número π . Las sumas y productos de periodos siguen siendo periodos, de modo que los periodos forman un anillo . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Maxim Kontsevich y Don Zagier hicieron un resumen de los períodos y presentaron algunas conjeturas sobre ellos.

Los períodos juegan un papel importante en la teoría de ecuaciones diferenciales y números trascendentales , así como en problemas abiertos de la geometría algebraica aritmética moderna. ^[2] También aparecen al calcular las integrales que surgen de los diagramas de Feynman , y se ha trabajado intensamente para intentar comprender las conexiones. ^[3]

Definición

Un número es un período si se puede expresar como una integral de la forma ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\int _{P(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq 0}Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}}$

donde es un polinomio y una función racional con coeficientes racionales . ^[1] Un número complejo es un período si sus partes reales e imaginarias son períodos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una definición alternativa permite que y sean funciones algebraicas ; esto parece más general, pero es equivalente. Los coeficientes de las funciones racionales y polinomios también se pueden generalizar a números algebraicos porque los números algebraicos irracionales se pueden expresar en términos de áreas de dominios adecuados. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

En la otra dirección, puede restringirse a ser la función constante o , reemplazando el integrando con una integral de sobre una región definida por un polinomio en variables adicionales. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \pm 1}$

En otras palabras, un período (no negativo) es el volumen de una región definida por desigualdades polinómicas con coeficientes racionales. ^{[2] [4]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Propiedades y motivación

Los períodos tienen por objeto salvar la brecha entre los números algebraicos de buen comportamiento , que forman una clase demasiado estrecha para incluir muchas constantes matemáticas comunes, y los números trascendentales , que son incontables y, salvo unos pocos ejemplos específicos, difíciles de describir. Por lo general, tampoco son computables .

El anillo de períodos se encuentra entre los campos de números algebraicos y números complejos y es contable . ^[5] Los períodos en sí mismos son todos computables, ^[6] y en particular definibles . Es: . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} \subset {\mathcal {P}}\subset \mathbb {C} }$

Los períodos incluyen algunos de esos números trascendentales, que pueden describirse de forma algorítmica y sólo contienen una cantidad finita de información. ^[2]

Números que se sabe que son períodos

Los siguientes números se encuentran entre los que se sabe que son períodos: ^{[1] [2] [4] [7]}

Preguntas abiertas

Muchas de las constantes que se conocen como períodos también están dadas por integrales de funciones trascendentales . Kontsevich y Zagier señalan que "no parece haber una regla universal que explique por qué ciertas sumas o integrales infinitas de funciones trascendentales son períodos".

Kontsevich y Zagier conjeturaron que, si un período está dado por dos integrales diferentes, entonces cada integral puede transformarse en la otra utilizando solo la linealidad de las integrales (tanto en el integrando como en el dominio), los cambios de variables y la fórmula de Newton-Leibniz.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}$

(o, más generalmente, la fórmula de Stokes ).

Una propiedad útil de los números algebraicos es que la igualdad entre dos expresiones algebraicas se puede determinar algorítmicamente. La conjetura de Kontsevich y Zagier implicaría que la igualdad de períodos también es decidible: se sabe que la desigualdad de los reales computables es recursivamente enumerable ; y a la inversa , si dos integrales coinciden, entonces un algoritmo podría confirmarlo probando todas las formas posibles de transformar una de ellas en la otra.

Otras cuestiones abiertas consisten en probar qué constantes matemáticas conocidas no pertenecen al anillo de períodos. Un ejemplo de un número real que no es un período lo da la constante de Chaitin Ω . Cualquier otro número no computable también da un ejemplo de un número real que no es un período. También es posible construir ejemplos artificiales de números computables que no sean períodos. ^[8] Sin embargo, no hay números computables que se haya demostrado que no sean períodos, que no hayan sido construidos artificialmente para ese propósito.

Se conjetura que 1/ π, el número de Euler e y la constante de Euler-Mascheroni γ no son períodos. ^[2]

Kontsevich y Zagier sospechan que estos problemas son muy difíciles y permanecerán abiertos durante mucho tiempo.

Extensiones

El anillo de períodos se puede ampliar al anillo de períodos extendidos añadiendo el elemento 1/ π. ^[2] ${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$

Permitir que el integrando sea el producto de una función algebraica y la exponencial de una función algebraica da como resultado otra extensión: los periodos exponenciales . ^{[2] [4] [9]} También forman un anillo y son contables. Es . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}\subset {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {EP}}\subset \mathbb {C} }$

Los siguientes números se encuentran entre los que se sabe que son períodos exponenciales: ^{[2] [4] [10]}

Véase también

• Teoría de números trascendentales
• Constante matemática
• Función L
• Variedad jacobiana
• Conexión Gauss-Manin
• Motivos mixtos (matemáticas)
• Formalismo tannakiano

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Período algebraico". mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de septiembre de 2024 .
2. Kontsevich, Maxim ; Zagier, Don (2001). "Períodos" (PDF) . En Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (eds.). Matemáticas ilimitadas: 2001 y más allá . Berlín, Nueva York: Springer . págs. 771–808. ISBN 9783540669135. Sr.  1852188.
3. Marcolli, Matilde (2009-07-02). "Integrales y motivos de Feynman". arXiv : 0907.0321 [math-ph].
4. Lagarias, Jeffrey C. (19 de julio de 2013). "Constante de Euler: el trabajo de Euler y desarrollos modernos". Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas . 50 (4): 527–628. arXiv : 1303.1856 . doi :10.1090/S0273-0979-2013-01423-X. ISSN  0273-0979.
5. Müller-Stach, Stefan (9 de julio de 2014), ¿Qué es un período ?, arXiv : 1407.2388
6. Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2010). "Funciones computables de los números reales" (PDF) . Münster Journal of Mathematics . 3 : 43–66.
7. Waldschmidt, Michel (2006). "Trascendencia de los períodos: el estado del arte". Pure and Applied Mathematics Quarterly . 2 (2): 435–463. doi :10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3.
8. Yoshinaga, Masahiko (3 de mayo de 2008). "Períodos y números reales elementales". arXiv : 0805.0349 [math.AG].
9. Commelin, Johan; Habegger, Philipp; Huber, Annette (30 de marzo de 2022). "Períodos exponenciales y o-minimalidad". arXiv : 2007.08280 [math.NT].
10. Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003). "Períodos y funciones zeta locales de Igusa". International Mathematics Research Notices . 2003 (49): 2655. doi :10.1155/S107379280313142X . Consultado el 21 de septiembre de 2024 .{{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI (link)
11. Utilizando la siguiente representación integral para z positivo y la integral del período exponencial de uno, se obtienen todos los valores de digamma racionales positivos como una suma de dos integrales del período exponencial. ${\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z-1}}{1-t}}\right)\,dt}$ ${\displaystyle \gamma }$

Enlaces externos

• PlanetMath: Período