En álgebra , el núcleo de un homomorfismo (función que conserva la estructura ) es generalmente la imagen inversa de 0 (excepto para grupos cuya operación se denota multiplicativamente, donde el núcleo es la imagen inversa de 1). Un caso especial importante es el núcleo de una función lineal . El núcleo de una matriz , también llamado espacio nulo , es el núcleo de la función lineal definida por la matriz.
El núcleo de un homomorfismo se reduce a 0 (o 1) si y solo si el homomorfismo es inyectivo , es decir, si la imagen inversa de cada elemento consta de un único elemento. Esto significa que el núcleo puede considerarse como una medida del grado en que el homomorfismo no es inyectivo. [1]
Para algunos tipos de estructura, como los grupos abelianos y los espacios vectoriales , los núcleos posibles son exactamente las subestructuras del mismo tipo. Esto no siempre es así y, a veces, los núcleos posibles han recibido un nombre especial, como subgrupo normal para grupos e ideales bilaterales para anillos .
Los núcleos permiten definir objetos cocientes (también llamados álgebras cocientes en álgebra universal y conúcleos en teoría de categorías ). Para muchos tipos de estructura algebraica, el teorema fundamental sobre homomorfismos (o primer teorema de isomorfismo ) establece que la imagen de un homomorfismo es isomorfa al cociente por el núcleo.
El concepto de núcleo se ha extendido a estructuras en las que la imagen inversa de un único elemento no es suficiente para decidir si un homomorfismo es inyectivo. En estos casos, el núcleo es una relación de congruencia .
Este artículo es un estudio de algunos tipos importantes de núcleos en estructuras algebraicas.
Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo (o más generalmente, módulos sobre un anillo ) y sea T una función lineal de V a W. Si 0 W es el vector cero de W , entonces el núcleo de T es la preimagen del subespacio cero { 0 W }; es decir, el subconjunto de V que consiste en todos aquellos elementos de V que son asignados por T al elemento 0 W. El núcleo se denota usualmente como ker T , o alguna variación de este:
Como una función lineal conserva los vectores cero, el vector cero 0 V de V debe pertenecer al núcleo. La transformación T es inyectiva si y solo si su núcleo se reduce al subespacio cero.
El núcleo ker T es siempre un subespacio lineal de V . Por tanto, tiene sentido hablar de espacio cociente V / (ker T ) . El primer teorema de isomorfismo para espacios vectoriales establece que este espacio cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de T (que es un subespacio de W ). En consecuencia, la dimensión de V es igual a la dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen.
Si V y W son de dimensión finita y se han elegido bases , entonces T puede describirse mediante una matriz M , y el núcleo puede calcularse resolviendo el sistema homogéneo de ecuaciones lineales M v = 0 . En este caso, el núcleo de T puede identificarse con el núcleo de la matriz M , también llamada "espacio nulo" de M . La dimensión del espacio nulo, llamada nulidad de M , está dada por el número de columnas de M menos el rango de M , como consecuencia del teorema de rango-nulidad .
La resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas a menudo implica calcular el núcleo de ciertos operadores diferenciales . Por ejemplo, para encontrar todas las funciones dos veces diferenciables f desde la línea real hasta sí misma tales que
Sea V el espacio de todas las funciones dos veces diferenciables, sea W el espacio de todas las funciones y definamos un operador lineal T de V a W por
para f en V y x un número real arbitrario . Entonces todas las soluciones de la ecuación diferencial están en ker T .
Se pueden definir núcleos para homomorfismos entre módulos sobre un anillo de manera análoga. Esto incluye núcleos para homomorfismos entre grupos abelianos como un caso especial. Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en categorías abelianas generales ; véase Núcleo (teoría de categorías) .
Sean G y H grupos y sea f un homomorfismo de grupo de G a H . Si e H es el elemento identidad de H , entonces el núcleo de f es la preimagen del conjunto singleton { e H }; es decir, el subconjunto de G que consiste en todos aquellos elementos de G que son mapeados por f al elemento e H .
El núcleo se suele denotar como ker f (o una variación). En símbolos:
Dado que un homomorfismo de grupo conserva elementos identidad, el elemento identidad e G de G debe pertenecer al núcleo.
El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto singleton { e G }. Si f no fuera inyectivo, entonces los elementos no inyectivos pueden formar un elemento distinto de su núcleo: existirían a , b ∈ G tales que a ≠ b y f ( a ) = f ( b ) . Por lo tanto f ( a ) f ( b ) −1 = e H . f es un homomorfismo de grupo, por lo que se conservan las inversas y las operaciones de grupo, dando f ( ab −1 ) = e H ; en otras palabras, ab −1 ∈ ker f , y ker f no sería el singleton. Por el contrario, los elementos distintos del núcleo violan la inyectividad directamente: si existiera un elemento g ≠ e G ∈ ker f , entonces f ( g ) = f ( e G ) = e H , por lo que f no sería inyectivo.
ker f es un subgrupo de G y además es un subgrupo normal . Por lo tanto, existe un grupo cociente correspondiente G / (ker f ) . Este es isomorfo a f ( G ), la imagen de G bajo f (que también es un subgrupo de H ), según el primer teorema de isomorfismo para grupos.
En el caso especial de los grupos abelianos , no hay desviación de la sección anterior.
Sea G el grupo cíclico de 6 elementos {0, 1, 2, 3, 4, 5} con adición modular , H el cíclico de 2 elementos {0, 1} con adición modular, y f el homomorfismo que asigna cada elemento g en G al elemento g módulo 2 en H. Entonces ker f = {0, 2, 4} , ya que todos estos elementos se asignan a 0 H. El grupo cociente G / (ker f ) tiene dos elementos: {0, 2, 4} y {1, 3, 5} . De hecho , es isomorfo a H.
Sean R y S anillos (supuestos unitarios ) y sea f un homomorfismo de anillos de R a S. Si 0 S es el elemento cero de S , entonces el núcleo de f es su núcleo como aplicación lineal sobre los enteros o, equivalentemente, como grupos aditivos. Es la preimagen del ideal cero {0 S }, que es el subconjunto de R que consiste en todos aquellos elementos de R que son aplicados por f al elemento 0 S. El núcleo se denota habitualmente como ker f (o una variación). En símbolos:
Dado que un homomorfismo de anillo conserva elementos cero, el elemento cero 0 R de R debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto singleton {0 R }. Este es siempre el caso si R es un cuerpo y S no es el anillo cero .
Como ker f contiene la identidad multiplicativa solo cuando S es el anillo cero, resulta que el núcleo generalmente no es un subanillo de R. El núcleo es un subanillo y , más precisamente, un ideal bilateral de R. Por lo tanto, tiene sentido hablar del anillo cociente R / (ker f ) . El primer teorema de isomorfismo para anillos establece que este anillo cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un subanillo de S ). (Obsérvese que los anillos no necesitan ser unitales para la definición del núcleo).
Hasta cierto punto, esto puede considerarse como un caso especial de la situación de los módulos, ya que todos ellos son bimódulos sobre un anillo R :
Sin embargo, el teorema de isomorfismo da un resultado más fuerte, porque los isomorfismos de anillo preservan la multiplicación mientras que los isomorfismos de módulo (incluso entre anillos) en general no lo hacen.
Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en las álgebras de Mal'cev generales .
Sean M y N monoides y sea f un homomorfismo de monoide de M a N . Entonces el núcleo de f es el subconjunto del producto directo M × M que consiste en todos aquellos pares ordenados de elementos de M cuyos componentes son mapeados por f al mismo elemento en N . El núcleo se denota usualmente ker f (o una variación de este). En símbolos:
Como f es una función , los elementos de la forma ( m , m ) deben pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto diagonal {( m , m ): m en M } .
Resulta que ker f es una relación de equivalencia en M , y de hecho una relación de congruencia . Por lo tanto, tiene sentido hablar del monoide cociente M / (ker f ) . El primer teorema de isomorfismo para monoides establece que este monoide cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un submonoide de N ; para la relación de congruencia).
Esto es muy diferente en esencia de los ejemplos anteriores. En particular, la preimagen del elemento identidad de N no es suficiente para determinar el núcleo de f .
Todos los casos anteriores pueden unificarse y generalizarse en el álgebra universal .
Sean A y B estructuras algebraicas de un tipo dado y sea f un homomorfismo de ese tipo de A a B . Entonces el núcleo de f es el subconjunto del producto directo A × A que consiste en todos aquellos pares ordenados de elementos de A cuyos componentes son mapeados por f al mismo elemento en B . El núcleo se denota usualmente ker f (o una variación). En símbolos:
Como f es una función , los elementos de la forma ( a , a ) deben pertenecer al núcleo.
El homomorfismo f es inyectivo si y sólo si su núcleo es exactamente el conjunto diagonal {( a , a ) : a ∈ A } .
Es fácil ver que ker f es una relación de equivalencia en A , y de hecho una relación de congruencia . Por lo tanto, tiene sentido hablar del álgebra del cociente A / (ker f ) . El primer teorema de isomorfismo en el álgebra universal general establece que esta álgebra del cociente es naturalmente isomorfa a la imagen de f (que es un subálgebra de B ).
Tenga en cuenta que la definición de núcleo aquí (como en el ejemplo del monoide) no depende de la estructura algebraica; es un concepto puramente de teoría de conjuntos . Para obtener más información sobre este concepto general, fuera del álgebra abstracta, consulte núcleo de una función .
En el caso de las álgebras de Malcev, esta construcción se puede simplificar. Toda álgebra de Malcev tiene un elemento neutro especial (el vector cero en el caso de los espacios vectoriales , el elemento identidad en el caso de los grupos conmutativos y el elemento cero en el caso de los anillos o módulos). La característica característica de un álgebra de Malcev es que podemos recuperar toda la relación de equivalencia ker f a partir de la clase de equivalencia del elemento neutro.
Para ser más específicos, sean A y B estructuras algebraicas de Malcev de un tipo dado y sea f un homomorfismo de ese tipo de A a B . Si e B es el elemento neutro de B , entonces el núcleo de f es la preimagen del conjunto singleton { e B }; es decir, el subconjunto de A que consiste en todos aquellos elementos de A que son mapeados por f al elemento e B . El núcleo se denota usualmente ker f (o una variación). En símbolos:
Como un homomorfismo del álgebra de Malcev conserva los elementos neutros, el elemento identidad e A de A debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto singleton { e A }.
La noción de ideal se generaliza a cualquier álgebra de Malcev (como subespacio lineal en el caso de espacios vectoriales, subgrupo normal en el caso de grupos, ideales bilaterales en el caso de anillos y submódulo en el caso de módulos ). Resulta que ker f no es una subálgebra de A , pero es un ideal. Entonces tiene sentido hablar del álgebra cociente G / (ker f ) . El primer teorema de isomorfismo para álgebras de Malcev establece que esta álgebra cociente es naturalmente isomorfa a la imagen de f (que es una subálgebra de B ).
La conexión entre esto y la relación de congruencia para tipos más generales de álgebras es la siguiente. Primero, el núcleo como ideal es la clase de equivalencia del elemento neutro e A bajo el núcleo como congruencia. Para la dirección inversa, necesitamos la noción de cociente en el álgebra de Mal'cev (que es división en ambos lados para grupos y resta para espacios vectoriales, módulos y anillos). Usando esto, los elementos a y b de A son equivalentes bajo el núcleo como congruencia si y solo si su cociente a / b es un elemento del núcleo como ideal.
A veces, las álgebras están equipadas con una estructura no algebraica además de sus operaciones algebraicas. Por ejemplo, se pueden considerar grupos topológicos o espacios vectoriales topológicos , que están equipados con una topología . En este caso, esperaríamos que el homomorfismo f conservara esta estructura adicional; en los ejemplos topológicos, querríamos que f fuera una función continua . El proceso puede encontrarse con un obstáculo con las álgebras de cocientes, que pueden no comportarse bien. En los ejemplos topológicos, podemos evitar problemas al requerir que las estructuras algebraicas topológicas sean de Hausdorff (como se hace habitualmente); entonces el núcleo (como sea que esté construido) será un conjunto cerrado y el espacio de cocientes funcionará bien (y también será de Hausdorff).
La noción de núcleo en la teoría de categorías es una generalización de los núcleos de las álgebras abelianas; véase Núcleo (teoría de categorías) . La generalización categórica del núcleo como relación de congruencia es el par de núcleos . (También existe la noción de núcleo de diferencia o ecualizador binario ).
