En geometría , la geometría inversa es el estudio de la inversión , una transformación del plano euclidiano que asigna círculos o líneas a otros círculos o líneas y que preserva los ángulos entre curvas que se cruzan. Muchos problemas difíciles de geometría se vuelven mucho más manejables cuando se aplica una inversión. La inversión parece haber sido descubierta por varias personas contemporáneamente, entre ellas Steiner (1824), Quetelet (1825), Bellavitis (1836), Stubbs e Ingram (1842-3) y Kelvin (1845). [1]
El concepto de inversión se puede generalizar a espacios de dimensiones superiores.
Invertir un número en aritmética generalmente significa tomar su recíproco . Una idea estrechamente relacionada en geometría es la de "invertir" un punto. En el plano , la inversa de un punto P con respecto a un círculo de referencia (Ø) con centro O y radio r es un punto P ' , situado sobre el rayo que va de O a P tal que
Esto se llama inversión de círculo o inversión de plano . La inversión que lleva cualquier punto P (que no sea O ) a su imagen P ' también lleva a P ' de regreso a P , por lo que el resultado de aplicar la misma inversión dos veces es la transformación de identidad que la convierte en una autoinversión (es decir, una involución). [2] [3] Para hacer de la inversión una función total que también está definida para O , es necesario introducir un punto en el infinito , un único punto colocado sobre todas las rectas, y extender la inversión, por definición, para intercambiar las centro O y este punto en el infinito.
De la definición se deduce que la inversión de cualquier punto dentro del círculo de referencia debe quedar fuera de él, y viceversa, con el centro y el punto en el infinito cambiando de posición, mientras que cualquier punto del círculo no se ve afectado (es invariante bajo inversión). En resumen, para un punto dentro del círculo, cuanto más cerca esté del centro, más se alejará su transformación. Mientras que para cualquier punto (dentro o fuera del círculo), cuanto más cerca esté el punto del círculo, más cercana será su transformación.
Para construir la inversa P ' de un punto P fuera de un círculo Ø :
Para construir la inversa P de un punto P ' dentro de un círculo Ø :
Existe una construcción del punto inverso a A con respecto a un círculo P que es independiente de si A está dentro o fuera de P. [4]
Considere un círculo P con centro O y un punto A que puede estar dentro o fuera del círculo P.
La inversión de un conjunto de puntos del plano respecto de una circunferencia es el conjunto de inversas de dichos puntos. Las siguientes propiedades hacen que la inversión de círculos sea útil.
Las propiedades adicionales incluyen:
Para un círculo que no pasa por el centro de inversión, el centro del círculo que se invierte y el centro de su imagen bajo inversión son colineales con el centro del círculo de referencia. Este hecho se puede utilizar para demostrar que la línea de Euler del triángulo en contacto de un triángulo coincide con su línea OI. La prueba es aproximadamente la siguiente:
Invertir con respecto a la circunferencia del triángulo ABC . El triángulo medial del triángulo en contacto se invierte en el triángulo ABC , es decir, el circuncentro del triángulo medial, es decir, el centro de nueve puntos del triángulo en contacto, el incentro y el circuncentro del triángulo ABC son colineales .
Dos círculos cualesquiera que no se crucen se pueden invertir en círculos concéntricos . Entonces, la distancia inversa (generalmente denotada como δ) se define como el logaritmo natural de la relación de los radios de los dos círculos concéntricos.
Además, dos círculos cualesquiera que no se intersectan se pueden invertir en círculos congruentes , utilizando un círculo de inversión centrado en un punto del círculo de antisemejanza .
El vínculo Peaucellier-Lipkin es una implementación mecánica de la inversión en un círculo. Proporciona una solución exacta al importante problema de convertir entre movimiento lineal y circular.
Si el punto R es el inverso del punto P, entonces la recta perpendicular a la recta PR que pasa por uno de los puntos es la polar del otro punto (el polo ).
Los polos y las polares tienen varias propiedades útiles:
La inversión de círculo es generalizable a la inversión de esfera en tres dimensiones. La inversión de un punto P en 3D respecto de una esfera de referencia centrada en un punto O de radio R es un punto P ' sobre el rayo de dirección OP tal que . Al igual que con la versión 2D, una esfera se invierte en una esfera, excepto que si una esfera pasa por el centro O de la esfera de referencia, entonces se invierte en un plano. Cualquier plano que pase por O se invierte formando una esfera que toca en O. Un círculo, es decir, la intersección de una esfera con un plano secante, se invierte en un círculo, excepto que si el círculo pasa por O se invierte en una línea. Esto se reduce al caso 2D cuando el plano secante pasa por O , pero es un verdadero fenómeno 3D si el plano secante no pasa por O.
La superficie más simple (además de un plano) es la esfera. La primera imagen muestra una inversión no trivial (el centro de la esfera no es el centro de inversión) de una esfera junto con dos lápices de círculos ortogonales que se cruzan.
La inversión de un cilindro, cono o toro da como resultado un cíclido de Dupin .
Un esferoide es una superficie de revolución y contiene un lápiz de círculos que se asigna a un lápiz de círculos (ver imagen). La imagen inversa de un esferoide es una superficie de grado 4.
Un hiperboloide de una hoja, que es una superficie de revolución, contiene un lápiz de círculos que se asigna a un lápiz de círculos. Un hiperboloide de una hoja contiene dos lápices de líneas adicionales, que se asignan a lápices de círculos. La imagen muestra una de esas líneas (azul) y su inversión.
Una proyección estereográfica generalmente proyecta una esfera desde un punto (polo norte) de la esfera hacia el plano tangente en el punto opuesto (polo sur). Este mapeo se puede realizar mediante una inversión de la esfera en su plano tangente. Si la esfera (que se va a proyectar) tiene la ecuación (escrita alternativamente ; centro , radio , verde en la imagen), entonces se mapeará mediante la inversión en la esfera unitaria (roja) en el plano tangente en el punto . Las líneas que pasan por el centro de inversión (punto ) se trazan sobre sí mismas. Son las líneas de proyección de la proyección estereográfica.
Las coordenadas de 6 esferas son un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional obtenido invirtiendo las coordenadas cartesianas .
Uno de los primeros en considerar los fundamentos de la geometría inversiva fue Mario Pieri en 1911 y 1912. [7] Edward Kasner escribió su tesis sobre la "Teoría invariante del grupo de inversión". [8]
Más recientemente la estructura matemática de la geometría inversiva se ha interpretado como una estructura de incidencia donde los círculos generalizados se denominan "bloques": En geometría de incidencia , cualquier plano afín junto con un único punto en el infinito forma un plano de Möbius , también conocido como plano inversivo. . El punto en el infinito se suma a todas las rectas. Estos planos de Möbius pueden describirse axiomáticamente y existen tanto en versiones finitas como infinitas.
Un modelo del plano de Möbius que proviene del plano euclidiano es la esfera de Riemann .
La relación cruzada entre 4 puntos es invariante bajo una inversión. En particular, si O es el centro de la inversión y y son distancias a los extremos de una línea L, entonces la longitud de la línea quedará bajo una inversión con radio 1. La invariante es:
Según Coxeter, [9] la transformación por inversión en círculo fue inventada por LI Magnus en 1831. Desde entonces, este mapeo se ha convertido en una vía hacia las matemáticas superiores. A través de algunos pasos de aplicación del mapa de inversión circular, un estudiante de geometría de transformación pronto aprecia la importancia del programa Erlangen de Felix Klein , una consecuencia de ciertos modelos de geometría hiperbólica.
La combinación de dos inversiones en círculos concéntricos da como resultado una similitud , transformación homotética o dilatación caracterizada por la relación de los radios del círculo.
Cuando un punto en el plano se interpreta como un número complejo con conjugado complejo, entonces el recíproco de z es
En consecuencia, la forma algebraica de la inversión en un círculo unitario viene dada por donde:
La reciprocidad es clave en la teoría de la transformación como generadora del grupo de Möbius . Los otros generadores son la traslación y la rotación, ambos familiares a través de manipulaciones físicas en el espacio tridimensional ambiental. La introducción de la reciprocidad (dependiente de la inversión del círculo) es lo que produce la naturaleza peculiar de la geometría de Möbius, que a veces se identifica con la geometría inversa (del plano euclidiano). Sin embargo, la geometría inversa es el estudio más amplio ya que incluye la inversión bruta en un círculo (aún no hecha, con conjugación, en reciprocidad). La geometría inversa también incluye el mapeo de conjugación . Ni la conjugación ni la inversión en círculo están en el grupo de Möbius ya que no son conformes (ver más abajo). Los elementos del grupo de Möbius son funciones analíticas de todo el plano y, por lo tanto, son necesariamente conformes .
Considere, en el plano complejo, el círculo de radio alrededor del punto
donde sin pérdida de generalidad, utilizando la definición de inversión
es sencillo demostrar que obedece a la ecuación
y por lo tanto eso describe el círculo de centro y radio.
Cuando el círculo se transforma en la recta paralela al eje imaginario
Para y el resultado para es
mostrando que describe el círculo de centro y radio .
Cuando la ecuación para se convierte en
Como se mencionó anteriormente, el cero, el origen, requiere una consideración especial en el mapeo de inversión del círculo. El enfoque consiste en unir un punto en el infinito designado ∞ o 1/0. En el enfoque de números complejos, donde la reciprocidad es la operación aparente, este procedimiento conduce a la línea proyectiva compleja , a menudo llamada esfera de Riemann . Fueron los subespacios y subgrupos de este espacio y grupo de asignaciones los que Beltrami , Cayley y Klein aplicaron para producir los primeros modelos de geometría hiperbólica . Así, la geometría inversiva incluye las ideas originadas por Lobachevsky y Bolyai en su geometría plana. Además, Felix Klein quedó tan abrumado por esta facilidad de las asignaciones para identificar fenómenos geométricos que redactó un manifiesto, el programa de Erlangen , en 1872. Desde entonces, muchos matemáticos reservan el término geometría para un espacio junto con un grupo de asignaciones de ese espacio. Las propiedades significativas de las figuras en geometría son aquellas que son invariantes en este grupo.
Por ejemplo, Smogorzhevsky [10] desarrolla varios teoremas de geometría inversiva antes de comenzar con la geometría lobachevskiana.
En un espacio euclidiano real de n dimensiones, una inversión en la esfera de radio r centrada en el punto es un mapa de un punto arbitrario que se encuentra invirtiendo la longitud del vector de desplazamiento y multiplicando por :
La transformación por inversión en hiperplanos o hiperesferas en En n se puede utilizar para generar dilataciones, traslaciones o rotaciones. De hecho, dos hiperesferas concéntricas, utilizadas para producir inversiones sucesivas, dan como resultado una dilatación u homotecia alrededor del centro de las hiperesferas.
Cuando se utilizan dos hiperplanos paralelos para producir reflexiones sucesivas, el resultado es una traslación . Cuando dos hiperplanos se cruzan en un plano ( n –2) , las reflexiones sucesivas producen una rotación donde cada punto del plano ( n –2) es un punto fijo de cada reflexión y, por tanto, de la composición.
Cualquier combinación de reflexiones, traslaciones y rotaciones se llama isometría . Cualquier combinación de reflexiones, dilataciones, traslaciones y rotaciones es una similitud .
Todos estos son mapas conformes y, de hecho, cuando el espacio tiene tres o más dimensiones, los mapas generados por inversión son los únicos mapas conformes. El teorema de Liouville es un teorema clásico de la geometría conforme .
La adición de un punto en el infinito al espacio obvia la distinción entre hiperplano e hiperesfera; La geometría inversiva de dimensiones superiores se estudia con frecuencia en el presunto contexto de una n -esfera como espacio base. Las transformaciones de la geometría inversa suelen denominarse transformaciones de Möbius . La geometría inversa se ha aplicado al estudio de las coloraciones o particiones de una n -esfera. [11]
El mapa de inversión del círculo es anticonforme, lo que significa que en cada punto conserva los ángulos e invierte la orientación (un mapa se llama conforme si conserva los ángulos orientados ). Algebraicamente, un mapa es anticonforme si en cada punto el jacobiano es un escalar multiplicado por una matriz ortogonal con determinante negativo: en dos dimensiones el jacobiano debe ser un escalar multiplicado por una reflexión en cada punto. Esto significa que si J es jacobiano, entonces y Calcular el jacobiano en el caso z i = x i /‖ x ‖ 2 , donde ‖ x ‖ 2 = x 1 2 + ... + x n 2 da JJ T = kI , con k = 1/‖ x ‖ 4n , y además det( J ) es negativo; por tanto, el mapa inverso es anticonforme.
En el plano complejo, la aplicación de inversión de círculo más obvia (es decir, utilizando el círculo unitario centrado en el origen) es el conjugado complejo de la aplicación inversa compleja que toma z a 1/ z . El mapa inverso analítico complejo es conforme y su conjugado, la inversión del círculo, es anticonforme. En este caso una homografía es conforme mientras que una antihomografía es anticonforme.
La ( n − 1 ) -esfera con ecuación
tendrá un radio positivo si a 1 2 + ... + a n 2 es mayor que c , y al invertir da la esfera
Por lo tanto, será invariante bajo inversión si y sólo si c = 1. Pero esta es la condición para ser ortogonal a la esfera unitaria. Por lo tanto, nos vemos llevados a considerar las ( n − 1 ) -esferas con ecuación
que son invariantes bajo inversión, ortogonales a la esfera unitaria y tienen centros fuera de la esfera. Estos, junto con los hiperplanos subespaciales que separan los hemisferios, son las hipersuperficies del modelo de disco de Poincaré de geometría hiperbólica.
Dado que la inversión en la esfera unitaria deja invariantes las esferas ortogonales a ella, la inversión asigna los puntos dentro de la esfera unitaria al exterior y viceversa. Por lo tanto, esto es cierto en general para las esferas ortogonales y, en particular, la inversión en una de las esferas ortogonales a la esfera unitaria asigna la esfera unitaria a sí misma. También asigna el interior de la esfera unitaria a sí misma, con puntos fuera de la esfera ortogonal asignadas al interior, y viceversa; esto define las reflexiones del modelo de disco de Poincaré si incluimos con ellas las reflexiones a través de los diámetros que separan los hemisferios de la esfera unitaria. Estas reflexiones generan el grupo de isometrías del modelo, lo que nos dice que las isometrías son conformes. Por tanto, el ángulo entre dos curvas en el modelo es el mismo que el ángulo entre dos curvas en el espacio hiperbólico.