Cardioide

Tipo de curva plana

un cardioide

La cáustica que aparece en la superficie de esta taza de café es un cardioide.

En geometría , un cardioide (del griego καρδιά (kardiá)  'corazón') es una curva plana trazada por un punto en el perímetro de un círculo que rueda alrededor de un círculo fijo del mismo radio. También se puede definir como una epicicloide que tiene una sola cúspide . También es un tipo de espiral sinusoidal , y una curva inversa de la parábola con el foco como centro de inversión. ^[1] Un cardioide también se puede definir como el conjunto de puntos de reflexiones de un punto fijo en un círculo que pasa por todas las tangentes al círculo. ^[2]

Cardioide generado por un círculo rodante sobre un círculo con el mismo radio

El nombre fue acuñado por Giovanni Salvemini en 1741 ^[3] pero el cardioide había sido objeto de estudio décadas antes. ^[4] Aunque recibe su nombre por su forma de corazón, tiene la forma más parecida al contorno de la sección transversal de una manzana redonda sin el tallo.

Un micrófono cardioide exhibe un patrón de captación acústica que, cuando se representa gráficamente en dos dimensiones, se asemeja a un cardioide (cualquier plano 2D que contenga la línea recta 3D del cuerpo del micrófono). En tres dimensiones, el cardioide tiene forma de manzana centrada alrededor del micrófono, que es el "tallo" de la manzana.

Ecuaciones

Generación de un cardioide y sistema de coordenadas utilizado.

Sea el radio común de los dos círculos generadores con puntos medios , el ángulo de rodadura y el origen el punto de partida (ver imagen). uno obtiene el ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (-a,0),(a,0)}$ ${\displaystyle \varphi }$

• representación paramétrica :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}}$$
  y de aquí en adelante la representación en
• coordenadas polares :
  $${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi ).}$$
• Introduciendo las sustituciones y se obtiene tras quitar la raíz cuadrada la representación implícita en coordenadas cartesianas : ${\displaystyle \cos \varphi =x/r}$ ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$
  $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}=0.}$$

Prueba de la representación paramétrica.

Se puede establecer una prueba utilizando números complejos y su descripción común como plano complejo . El movimiento de rodadura del círculo negro sobre el azul se puede dividir en dos rotaciones. En el plano complejo, se puede realizar una rotación alrededor de un punto (el origen) por un ángulo multiplicando un punto (número complejo) por . Por eso ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }}$

la rotación alrededor del punto es , ${\displaystyle \Phi _{+}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle :z\mapsto a+(z-a)e^{i\varphi }}$

la rotación alrededor del punto es: . ${\displaystyle \Phi _{-}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}$

Un punto del cardioide se genera girando el origen alrededor del punto y posteriormente girando alrededor del mismo ángulo : ${\displaystyle p(\varphi )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=-a+\left(a-ae^{i\varphi }+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right).}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}$$

identidades trigonométricas ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,}$ ${\displaystyle \cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},}$ ${\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi }$

Propiedades métricas

Para el cardioide definido anteriormente se cumplen las siguientes fórmulas:

• área , ${\displaystyle A=6\pi a^{2}}$
• longitud del arco y ${\displaystyle L=16a}$
• radio de curvatura ${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$

Las demostraciones de estas afirmaciones utilizan en ambos casos la representación polar del cardioide. Para obtener fórmulas adecuadas, consulte el sistema de coordenadas polares (longitud del arco) y el sistema de coordenadas polares (área).

Prueba de la fórmula del área.

$${\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}.}$$

Prueba de la fórmula de la longitud del arco.

$${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)d\varphi =16a.}$$

Prueba del radio de curvatura.

El radio de curvatura de una curva en coordenadas polares con ecuación es (s. curvatura) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

$${\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}$$

Para el cardioide se obtiene ${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}\left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)}$

$${\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {\left[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\right]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}$$

Propiedades

Acordes de un cardioide

Acordes a través de la cúspide

C1

Los acordes que pasan por la cúspide del cardioide tienen la misma longitud. ${\displaystyle 4a}$

C2

Los puntos medios de las cuerdas que pasan por la cúspide se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo (ver imagen).

Prueba de C1

Los puntos están en una cuerda que pasa por la cúspide (=origen). Por eso ${\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.}$$

Prueba para C2

Para la demostración se utiliza la representación en el plano complejo (ver arriba). por los puntos

$${\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)}$$

$${\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),}$$

el punto medio del acorde es ${\displaystyle PQ}$

$${\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}$$

${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$

Cardioide como curva inversa de una parábola.

Cardioide generado por la inversión de una parábola a lo largo del círculo unitario (discontinuo)

Un cardioide es la curva inversa de una parábola con su foco en el centro de inversión (ver gráfico)

Para el ejemplo que se muestra en el gráfico, los círculos del generador tienen radio . Por tanto, el cardioide tiene la representación polar. ${\textstyle a={\frac {1}{2}}}$

$${\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }$$

$${\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},}$$

parábola en coordenadas polares ${\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}$

Observación: No todas las curvas inversas de una parábola son cardioides. Por ejemplo, si una parábola se invierte a lo largo de un círculo cuyo centro se encuentra en el vértice de la parábola, entonces el resultado es una cisoide de Diocles .

Cardioide como envoltura de un lápiz de círculos.

Cardioide como envoltura de un lápiz de círculos.

En la sección anterior, si se invierten adicionalmente las tangentes de la parábola, se obtiene un lápiz de círculos que pasa por el centro de inversión (origen). Una consideración detallada muestra que: Los puntos medios de los círculos se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo. (El círculo generador es la curva inversa de la directriz de la parábola).

Esta propiedad da lugar al siguiente método sencillo para dibujar un cardioide:

1. Elige un círculo y un punto en su perímetro, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$
2. dibujar círculos que contengan con centros en y ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle c}$
3. Dibuja la envolvente de estos círculos.

Prueba con condición del sobre.

La envolvente del lápiz de curvas dadas implícitamente.

$${\displaystyle F(x,y,t)=0}$$

con parámetro consta de puntos que son soluciones del sistema no lineal ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0,}$$

cuál es la condición del sobre . Tenga en cuenta que eso significa la derivada parcial del parámetro . ${\displaystyle F_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Sea el círculo con punto medio y radio . Entonces tiene representación paramétrica . El lápiz de círculos con centro en el punto contenedor se puede representar implícitamente mediante ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O=(0,0)}$

$${\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,}$$

que es equivalente a

$${\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.}$$

La segunda condición del sobre es

$${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0.}$$

Se comprueba fácilmente que los puntos del cardioide con la representación paramétrica

$${\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t}$$

cumplir el sistema no lineal anterior. El parámetro es idéntico al parámetro de ángulo del cardioide. ${\displaystyle t}$

Cardioide como envoltura de un lápiz de líneas.

Cardioide como envoltura de un lápiz de líneas.

Un método similar y sencillo para dibujar un cardioide utiliza un lápiz de líneas . Se debe a L. Cremona :

1. Dibuja un círculo, divide su perímetro en partes iguales con puntos (ver imagen) y numéralas consecutivamente. ${\displaystyle 2N}$
2. Dibuja los acordes: . (Es decir, el segundo punto se mueve a doble velocidad). ${\displaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots }$
3. La envolvente de estos acordes es cardioide.

La generación de un cardioide de Cremona.

Prueba

La siguiente consideración utiliza fórmulas trigonométricas para , , , y . Para simplificar los cálculos, se proporciona la demostración para el cardioide con representación polar ( § Cardioides en diferentes posiciones ). ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta }$ ${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta }$ ${\displaystyle 1+\cos 2\alpha }$ ${\displaystyle \cos 2\alpha }$ ${\displaystyle \sin 2\alpha }$ ${\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}$

Ecuación de la tangente del cardioide con representación polar r = 2(1 + cos 𝜑 )

De la representación paramétrica

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

se obtiene el vector normal . La ecuación de la tangente es: ${\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$

$${\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.}$$

Con la ayuda de fórmulas trigonométricas y la posterior división por , la ecuación de la tangente se puede reescribir como: ${\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }$

$${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}$$

Ecuación de la cuerda del círculo con punto medio ( 1, 0 ) y radio 3

Para la ecuación de la recta secante que pasa por dos puntos se obtiene: ${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}$

$${\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.}$$

Con la ayuda de fórmulas trigonométricas y la posterior división por la ecuación de la recta secante se puede reescribir así: ${\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }$

$${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}$$

Conclusión

A pesar de que los dos ángulos tienen significados diferentes (ver imagen), uno obtiene la misma línea. Por lo tanto, cualquier recta secante del círculo, definido anteriormente, también es tangente del cardioide: ${\displaystyle \varphi ,\theta }$ ${\displaystyle \varphi =\theta }$

El cardioide es la envolvente de las cuerdas de un círculo.

Observación:
La prueba se puede realizar con ayuda de las condiciones envolventes (ver sección anterior) de un lápiz implícito de curvas:

$${\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}$$

es el lápiz de las rectas secantes de un círculo (ver arriba) y

$${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.}$$

Para el parámetro fijo t, ambas ecuaciones representan líneas. Su punto de intersección es

$${\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}$$

que es un punto del cardioide con ecuación polar ${\displaystyle r=2(1+\cos t).}$

Cardioide como cáustico : fuente de luz , rayo de luz , rayo reflejado ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\vec {s}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Cardioide como cáustico de un círculo con fuente de luz (derecha) en el perímetro.

Cardioide como cáustico de un círculo.

Las consideraciones hechas en el apartado anterior dan prueba de que la cáustica de un círculo con una fuente de luz en el perímetro del círculo es un cardioide.

Si en el plano hay una fuente de luz en un punto del perímetro de un círculo que refleja cualquier rayo, entonces los rayos reflejados dentro del círculo son tangentes a un cardioide. ${\displaystyle Z}$

Prueba

Como en el apartado anterior el círculo puede tener punto medio y radio . Su representación paramétrica es ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 3}$

$${\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .}$$

La tangente en el punto del círculo tiene un vector normal . Por tanto, el rayo reflejado tiene el vector normal (ver gráfico) y contiene el punto . El rayo reflejado es parte de la recta con ecuación (ver sección anterior) ${\displaystyle C:\ k(\varphi )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}$

$${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\,,}$$

que es tangente del cardioide con ecuación polar

$${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}$$

del apartado anterior.

Observación: Para tales consideraciones normalmente se desprecian múltiples reflexiones en el círculo.

Cardioide como curva de pedal de un círculo.

El punto cardioide es el pie de la perpendicular caída sobre la tangente del círculo.

La generación Cremona de un cardioide no debe confundirse con la siguiente generación:

Sea un círculo y un punto en el perímetro de este círculo. Lo siguiente es cierto: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle O}$

Los pies de las perpendiculares desde puntos de las tangentes del círculo son puntos de un cardioide. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$

Por tanto, un cardioide es una curva de pedal especial de un círculo.

Prueba

En un sistema de coordenadas cartesiano, el círculo puede tener un punto medio y un radio . La tangente en el punto de la circunferencia tiene la ecuación ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (2a,0)}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$

$${\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.}$$

${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle O}$

$${\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )}$$

Observación: Si el punto no está en el perímetro del círculo , se obtiene un limaçon de Pascal . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$

La evolución de un cardioide.

  un cardioide

  Evolución del cardioide

  Un punto P; su centro de curvatura M; y su círculo osculador.

La evolución de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura. En detalle: Para una curva con radio de curvatura la evoluta tiene la representación ${\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

$${\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$$

${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$

Para un cardioide se obtiene:

La evolución de un cardioide es otro cardioide, un tercio más grande y que mira en la dirección opuesta (ver imagen).

Prueba

Para el cardioide con representación paramétrica

$${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}$$

$${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }$$

$${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}$$

$${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$$

$${\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}$$

$${\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.}$$

${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$

(Se utilizaron fórmulas trigonométricas: ) ${\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .}$

Trayectorias ortogonales

Cardioides ortogonales

Una trayectoria ortogonal de un lápiz de curvas es una curva que corta ortogonalmente cualquier curva del lápiz. Para los cardioides se cumple lo siguiente:

Las trayectorias ortogonales del lápiz de cardioides con ecuaciones.

$${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }$$

son los cardioides con ecuaciones

$${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}$$

(El segundo lápiz puede considerarse como reflejos en el eje y del primero. Vea el diagrama).

Prueba

Para una curva dada en coordenadas polares por una función, se cumple la siguiente conexión con las coordenadas cartesianas: ${\displaystyle r(\varphi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

y para los derivados

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}}$$

Al dividir la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto : ${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Para los cardioides con las ecuaciones y respectivamente se obtiene: ${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}$ ${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }$

$${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}}$$

$${\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\varphi )}}\ .}$$

(La pendiente de cualquier curva depende únicamente, y no de, de los parámetros o !) ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Por eso

$${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.}$$

4 cardioides en representación polar y su posición en el sistema de coordenadas

En diferentes posiciones

Elegir otras posiciones del cardioide dentro del sistema de coordenadas da como resultado ecuaciones diferentes. La imagen muestra las 4 posiciones más comunes de un cardioide y sus ecuaciones polares.

En análisis complejos

El límite de la región central, período 1, del conjunto de Mandelbrot es un cardioide preciso.

En análisis complejo , la imagen de cualquier círculo que pasa por el origen debajo del mapa es un cardioide. Una aplicación de este resultado es que el límite del componente del período central 1 del conjunto de Mandelbrot es un cardioide dado por la ecuación ${\displaystyle z\to z^{2}}$

$${\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.}$$

El conjunto de Mandelbrot contiene un número infinito de copias ligeramente distorsionadas de sí mismo y el bulbo central de cualquiera de estas copias más pequeñas es un cardioide aproximado.

Cardioide formado por la luz sobre la esfera de un reloj .

Cáusticos

Ciertas cáusticas pueden adoptar la forma de cardioides. La catacáustica de un círculo con respecto a un punto de la circunferencia es cardioide. Además, la catacáustica de un cono respecto de los rayos paralelos a una línea generadora es una superficie cuya sección transversal es cardioide. Esto se puede ver, como en la fotografía de la derecha, en una copa cónica parcialmente llena de líquido cuando una luz brilla desde una distancia y en un ángulo igual al ángulo del cono. ^[5] La forma de la curva en la parte inferior de una copa cilíndrica es la mitad de una nefroide , que se ve bastante similar.

Generando un cardioide como curva de pedal de un círculo

Ver también

• limacon
• Nefroide
• Deltoides
• La vara de Wittgenstein
• micrófono cardioide
• Lemniscata de Bernoulli
• antena de bucle
• Buscador de dirección por radio
• Radiogoniometría
• antena yagi
• Giovanni Salvemini
• cardioide espacial

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Curva inversa de parábola". MundoMatemático .
2. S Balachandra Rao. Cálculo diferencial, pág. 457
3. Madera de bloqueo
4. Yates
5. "Surface Caustique" en Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Referencias

• RC Yates (1952). "Cardioide". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, Michigan: JW Edwards. págs.4 y sigs.
• Pozos D (1991). Diccionario pingüino de geometría curiosa e interesante. Nueva York: Penguin Books. págs. 24 y 25. ISBN 0-14-011813-6.

enlaces externos

• "Cardioide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Cardioide", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Comiendo abundantemente cardioides en cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. "Cardioide". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Epicicloide - 1 cúspide". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Curva del corazón". MundoMatemático .
• Xah Lee, Cardioid (1998) (Este sitio proporciona una serie de construcciones alternativas) .
• Jan Wassenaar, Cardioide , (2005)