limacon

Tipo de curva de ruleta

Construcción del limaçon r = 2 + cos(π – θ) con origen de coordenadas polares en ( x , y ) = (1/2, 0)

En geometría , una limaçon o limacon / ˈ l ɪ m ə s ɒ n / , también conocida como limaçon de Pascal o Caracol de Pascal , se define como una curva de ruleta formada por la trayectoria de un punto fijado a un círculo cuando ese círculo rueda alrededor del exterior de un círculo de igual radio. También se puede definir como la ruleta que se forma cuando un círculo rueda alrededor de un círculo con la mitad de su radio de modo que el círculo más pequeño quede dentro del círculo más grande. Así, pertenecen a la familia de curvas llamadas trocoides centradas ; más concretamente, son epitrocoides . El cardioide es el caso especial en el que el punto que genera la ruleta se encuentra en el círculo rodante; la curva resultante tiene una cúspide .

Dependiendo de la posición del punto que genera la curva, puede tener bucles internos y externos (lo que da nombre a la familia), puede tener forma de corazón o puede ser ovalado.

Un limaçon es una curva algebraica bicircular del plano racional de grado 4.

Tres limacones: con hoyuelos, con cúspide ( cardioide ) y en bucle. No se muestra: el limaçon convexo

Historia

Las primeras investigaciones formales sobre las limaçons se atribuyen generalmente a Étienne Pascal , padre de Blaise Pascal . Sin embargo, el artista renacentista alemán Alberto Durero había realizado anteriormente algunas investigaciones reveladoras al respecto . La Underweysung der Messung (Instrucción de medición) de Durero contiene métodos geométricos específicos para producir limaçons. La curva fue nombrada por Gilles de Roberval cuando la usó como ejemplo para encontrar líneas tangentes.

Ecuaciones

La ecuación (hasta traslación y rotación) de un limaçon en coordenadas polares tiene la forma

${\displaystyle r=b+a\cos \theta .}$

Esto se puede convertir a coordenadas cartesianas multiplicando por r (introduciendo así un punto en el origen que en algunos casos es espurio), y sustituyendo y para obtener ^[1] ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle r\cos \theta =x}$

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-ax\right)^{2}=b^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$

Aplicando la forma paramétrica de la conversión polar a cartesiana, también tenemos ^[2]

${\displaystyle x=(b+a\cos \theta )\cos \theta ={a \over 2}+b\cos \theta +{a \over 2}\cos 2\theta ,}$

${\displaystyle y=(b+a\cos \theta )\sin \theta =b\sin \theta +{a \over 2}\sin 2\theta ;}$

mientras configura

${\displaystyle z=x+iy=(b+a\cos \theta )(\cos \theta +i\sin \theta )}$

produce esta parametrización como una curva en el plano complejo :

${\displaystyle z={a \over 2}+be^{i\theta }+{a \over 2}e^{2i\theta }.}$

Si tuviéramos que desplazarnos horizontalmente , es decir, ${\textstyle -{\frac {1}{2}}a}$

${\displaystyle z=be^{it}+{a \over 2}e^{2it}}$,

Al cambiar la ubicación del origen, convertiríamos a la forma habitual de la ecuación de una trocoide centrada. Tenga en cuenta el cambio de variable independiente en este punto para dejar claro que ya no utilizamos la parametrización de coordenadas polares predeterminada . ${\displaystyle \theta =\arg z}$

Casos especiales

En el caso especial , la ecuación polar es ${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle r=b(1+\cos \theta )=2b\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$

o

${\displaystyle r^{1 \over 2}=(2b)^{1 \over 2}\cos {\frac {\theta }{2}},}$

convirtiéndolo en miembro de la familia de curvas espirales sinusoidales . Esta curva es la cardioide .

En el caso especial , la forma trocoide centrada de la ecuación se convierte en ${\displaystyle a=2b}$

${\displaystyle z=b\left(e^{it}+e^{2it}\right)=be^{3it \over 2}\left(e^{it \over 2}+e^{-it \over 2}\right)=2be^{3it \over 2}\cos {t \over 2},}$

o, en coordenadas polares,

${\displaystyle r=2b\cos {\theta \over 3}}$

convirtiéndolo en miembro de la familia de las rosas curvas. Esta curva es una trisectriz y a veces se la llama limaçon trisectriz .

Forma

Cuando , el limaçon es una curva cerrada simple. Sin embargo, el origen satisface la ecuación cartesiana dada anteriormente, por lo que la gráfica de esta ecuación tiene un ánodo o punto aislado. ${\displaystyle b>a}$

Cuando , el área delimitada por la curva es convexa, y cuando , la curva tiene una sangría delimitada por dos puntos de inflexión . En , el punto es un punto de curvatura 0 . ${\displaystyle b>2a}$ ${\displaystyle a<b<2a}$ ${\displaystyle b=2a}$ ${\displaystyle (-a,0)}$

A medida que disminuye en relación con , la indentación se vuelve más pronunciada hasta que, en , la curva se vuelve cardioide y la indentación se convierte en una cúspide . Para , la cúspide se expande hasta formar un bucle interno y la curva se cruza en el origen. A medida que se acerca a 0, el bucle llena la curva exterior y, en el límite, el limaçon se convierte en un círculo recorrido dos veces. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle 0<b<a}$ ${\displaystyle b}$

Medición

El área delimitada por el limaçon es . Cuando esto cuenta el área encerrada por el bucle interior dos veces. En este caso la curva cruza el origen en ángulos , el área encerrada por el bucle interior es ${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$ ${\textstyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\pi }$ ${\displaystyle b<a}$ ${\textstyle \pi \pm \arccos {b \over a}}$

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\arccos {b \over a}-{3 \over 2}b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},}$

el área encerrada por el bucle exterior es

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -\arccos {b \over a}\right)+{3 \over 2}b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},}$

y el área entre los bucles es

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -2\arccos {b \over a}\right)+3b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$^[1]

La circunferencia del limaçon viene dada por una integral elíptica completa de segundo tipo :

${\displaystyle 4(a+b)E\left({{2{\sqrt {ab}}} \over a+b}\right).}$

Relación con otras curvas

• Sea un punto y sea una circunferencia cuyo centro no lo es . Entonces la envoltura de esos círculos cuyo centro está y que pasa es un limaçon. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$

Limaçon - curva del pedal de un círculo

• Un pedal de círculo es un limaçon. De hecho, el pedal con respecto al origen del círculo con radio y centro tiene ecuación polar . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$

• La inversa con respecto al círculo unitario de es ${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$

${\displaystyle r={1 \over {b+a\cos \theta }}}$

que es la ecuación de una sección cónica con excentricidad y foco en el origen. Por tanto, un limaçon se puede definir como la inversa de una cónica donde el centro de inversión es uno de los focos. Si la cónica es una parábola, entonces la inversa será una cardioide, si la cónica es una hipérbola, entonces la limaçon correspondiente tendrá un bucle interno, y si la cónica es una elipse, entonces la limaçon correspondiente no tendrá bucle. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

• La concoide de un círculo con respecto a un punto del círculo es un limaçon.

• Un caso especial particular de óvalo cartesiano es el limaçon. ^[3]

Ver también

• Ruleta
• trocoide centrada
• Lista de funciones periódicas

Referencias

1. J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas de planos especiales . Publicaciones de Dover. págs. 113-118. ISBN 0-486-60288-5.
2. Weisstein, Eric W. "Limacon". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
3. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Óvalo cartesiano", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews

Otras lecturas

• Jane Grossman y Michael Grossman. "Hoyuelo o sin hoyuelo", The Two-Year College Mathematics Journal , enero de 1982, páginas 52–55.
• Howard Antón. Cálculo , 2.ª edición, página 708, John Wiley & Sons, 1984.
• Howard Antón. [1] págs. 725 – 726.
• Howard Evas. Un estudio de geometría , volumen 2 (páginas 51,56,273), Allyn y Bacon, 1965.

enlaces externos

• Limacon de Pascal en The MacTutor Historia de las Matemáticas
• Limaçon en curvas matemáticas.
• Limaçon de Pascal en ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES
• Limacón de Pascal en Diccionario visual de curvas planas especiales
• "Limacón de Pascal" en PlanetPTC (Mathcad)