En la geometría diferencial de las curvas , una ruleta es una especie de curva que generaliza cicloides , epicicloides , hipocicloides , trocoides , epitrocoides , hipotrocoides e involutas . A nivel básico, es el camino que traza una curva mientras se rueda por otra curva sin resbalar.
En términos generales, una ruleta es la curva descrita por un punto (llamado generador o polo ) unido a una curva dada mientras esa curva rueda sin deslizarse, a lo largo de una segunda curva dada que es fija. Más precisamente, dada una curva fijada a un plano que se mueve de modo que la curva rueda, sin deslizarse, a lo largo de una curva dada fijada a un plano fijo que ocupa el mismo espacio, entonces un punto fijado al plano en movimiento describe una curva, en el plano fijo llamado ruleta.
En el caso en que la curva rodante es una línea y el generador es un punto en la línea, la ruleta se llama involuta de la curva fija. Si la curva rodante es un círculo y la curva fija es una línea, entonces la ruleta es una trocoide . Si, en este caso, el punto se encuentra en el círculo, entonces la ruleta es una cicloide .
Un concepto relacionado es un glissette , la curva descrita por un punto unido a una curva dada mientras se desliza a lo largo de dos (o más) curvas dadas.
Formalmente hablando, las curvas deben ser curvas diferenciables en el plano euclidiano . La curva fija se mantiene invariante; la curva rodante está sujeta a una transformación de congruencia continua tal que en todo momento las curvas son tangentes en un punto de contacto que se mueve con la misma velocidad cuando se toma a lo largo de cualquier curva (otra forma de expresar esta restricción es que el punto de contacto de la dos curvas es el centro instantáneo de rotación de la transformación de congruencia). La ruleta resultante está formada por el lugar geométrico del generador sometido al mismo conjunto de transformaciones de congruencia.
Modelando las curvas originales como curvas en el plano complejo , sean las dos parametrizaciones naturales de las curvas rodantes ( ) y fijas ( ) , tales que ,, y para todos . La ruleta del generador a medida que se rueda viene dada por el mapeo:
Si, en lugar de unir un solo punto a la curva rodante, se lleva otra curva dada a lo largo del plano en movimiento, se produce una familia de curvas congruentes. El sobre de esta familia también puede denominarse ruleta.
Ciertamente se pueden imaginar ruletas en espacios más altos, pero es necesario alinear algo más que las tangentes.
Si la curva fija es una catenaria y la curva rodante es una recta , tenemos:
La parametrización de la línea se elige de modo que
Aplicando la fórmula anterior obtenemos:
Si p = − i la expresión tiene una parte imaginaria constante (es decir, − i ) y la ruleta es una línea horizontal. Una aplicación interesante de esto es que una rueda cuadrada podría rodar sin rebotar en una carretera que es una serie coincidente de arcos catenarios.
