Curva diferenciable

La geometría diferencial de curvas es la rama de la geometría que trata de curvas suaves en el plano y el espacio euclidiano mediante métodos de cálculo diferencial e integral .

Muchas curvas específicas han sido investigadas a fondo utilizando el enfoque sintético . La geometría diferencial toma otro camino: las curvas se representan en una forma parametrizada , y sus propiedades geométricas y varias cantidades asociadas con ellas, como la curvatura y la longitud del arco , se expresan a través de derivadas e integrales utilizando el cálculo vectorial . Una de las herramientas más importantes utilizadas para analizar una curva es el marco de Frenet , un marco móvil que proporciona un sistema de coordenadas en cada punto de la curva que se "adapta mejor" a la curva cerca de ese punto.

La teoría de curvas es mucho más simple y de alcance más limitado que la teoría de superficies y sus generalizaciones de dimensiones superiores, porque una curva regular en un espacio euclidiano no tiene geometría intrínseca. Cualquier curva regular puede parametrizarse mediante la longitud del arco (la parametrización natural ). Desde el punto de vista de una partícula puntual teórica en la curva que no sabe nada sobre el espacio circundante, todas las curvas parecerían iguales. Las diferentes curvas espaciales solo se distinguen por cómo se doblan y se tuercen. Cuantitativamente, esto se mide por los invariantes geométricos diferenciales llamados curvatura y torsión de una curva. El teorema fundamental de las curvas afirma que el conocimiento de estos invariantes determina completamente la curva.

Definiciones

Una curva paramétrica $C r$ o una parametrización C $r$ $es$ una función con valores vectoriales que es $r$ -veces continuamente diferenciable ( es decir, las funciones componentes de $γ$ son continuamente diferenciables), donde , , e $I es un$ intervalo no vacío de números reales. La imagen de la curva paramétrica es . La curva paramétrica $γ$ y su imagen $γ$ $[$ $I$ $]$ deben distinguirse porque un subconjunto dado de puede ser la imagen de muchas curvas paramétricas distintas. El parámetro $t$ en $γ$ $($ $t$ $)$ puede considerarse como la representación del tiempo, y $γ$ la trayectoria de un punto en movimiento en el espacio. Cuando $I$ es un intervalo cerrado $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ , $γ$ $($ $a$ $)$ se denomina punto de partida y $γ$ $($ $b$ $)$ es el punto final de $γ$ . Si los puntos de partida y de llegada coinciden (es decir, $γ$ $($ $a$ $) =$ $γ$ $($ $b$ $)$ ), entonces $γ$ es una curva cerrada o un bucle . Para ser un bucle $C$ $r$ $, la función γ$ debe ser $r$ veces continuamente diferenciable y satisfacer $γ$ $($ $k$ $)$ $($ $a$ $) =$ $γ$ $($ $k$ $)$ $($ $b$ $)$ para $0 \leq$ $k$ $\leq$ $r$ . $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$ $n\in \mathbb {N}$ $r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ $\gamma[I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

La curva paramétrica es simple si es inyectiva . Es analítica si cada función componente de $γ$ es una función analítica , es decir, es de clase $C$ $ω$ . $\gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$

La curva $γ$ es regular de orden $m$ (donde $m \leq r$ ) si, para cada $t \in I$ , es un subconjunto linealmente independiente de . En particular, una $C$ $1$ -curva paramétrica $γ$ es regular si y solo si $γ$ $'$ $($ $t$ $) \neq$ $0$ para cualquier $t$ $\in$ $I$ . $\left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Re-parametrización y relación de equivalencia

Dada la imagen de una curva paramétrica, existen varias parametrizaciones diferentes de la curva paramétrica. La geometría diferencial tiene como objetivo describir las propiedades de las curvas paramétricas que son invariantes bajo ciertas reparametrizaciones. Se debe definir una relación de equivalencia adecuada en el conjunto de todas las curvas paramétricas. Las propiedades geométrico-diferenciales de una curva paramétrica (como su longitud, su marco de Frenet y su curvatura generalizada) son invariantes bajo la reparametrización y, por lo tanto, propiedades de la propia clase de equivalencia . Las clases de equivalencia se denominan $C r$ -curvas y son objetos centrales estudiados en la geometría diferencial de curvas.

Se dice que dos curvas $C r$ paramétricas , y , son equivalentes si y solo si existe un $C$ $r$ -mapa biyectivo $φ$ $:$ $I$ $1$ $\to$ $I$ $2$ tal que y $γ$ $2$ se dice entonces que es una re-parametrización de $γ$ $1$ . $\gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ $\gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}$ $\para todo t\en I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0$ $\para todo t\en I_{1}:\cuadrado \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).$

La re-parametrización define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas $C r$ paramétricas de la clase $C r$ . La clase de equivalencia de esta relación es simplemente una curva $C r .$

Se puede definir una relación de equivalencia aún más fina de curvas $C r$ paramétricas orientadas exigiendo que $φ$ satisfaga $φ' (t) > 0$ .

$Las curvas C r$ paramétricas equivalentes tienen la misma imagen, y las curvas $C r$ paramétricas orientadas equivalentes incluso atraviesan la imagen en la misma dirección.

Longitud y parametrización natural

La longitud $l$ de una curva $C 1$ paramétrica se define como La longitud de una curva paramétrica es invariante bajo reparametrización y, por lo tanto, es una propiedad geométrica diferencial de la curva paramétrica. $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ $l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.$

Para cada curva $C paramétrica regular r$ , donde $r$ $\geq 1$ , la función se define escribiendo $γ$ $(s) =$ $γ$ $($ $t$ $($ $s$ $))$ , donde $t$ $($ $s$ $)$ es la función inversa de $s$ $($ $t$ $)$ . Esta es una re-parametrización $γ$ de $γ$ que se llama $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ $\forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.$ parametrización de longitud de arco , parametrización natural,parametrización de velocidad unitaria. El parámetro $s (t)$ se denominaparámetro naturalde $γ$ .

Se prefiere esta parametrización porque el parámetro natural $s (t)$ recorre la imagen de $γ$ a una velocidad unitaria, de modo que en la práctica, a menudo es muy difícil calcular la parametrización natural de una curva paramétrica, pero es útil para argumentos teóricos. $\forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.$

Para una curva paramétrica dada $γ$ , la parametrización natural es única hasta un desplazamiento del parámetro.

La cantidad a veces se denomina energía o acción de la curva; este nombre está justificado porque las ecuaciones geodésicas son las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para esta acción. $E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}$

Marco de Frenet

Un sistema de Frenet es un sistema de referencia móvil de vectores ortonormales $n$ $e$ $i$ $($ $t$ $)$ que se utilizan para describir una curva localmente en cada punto $γ$ $($ $t$ $)$ . Es la herramienta principal en el tratamiento geométrico diferencial de curvas porque es mucho más fácil y natural describir propiedades locales (por ejemplo, curvatura, torsión) en términos de un sistema de referencia local que utilizando uno global como las coordenadas euclidianas.

Dada una curva $C n + 1$ $γ$ en la que es regular de orden $n$ el marco de Frenet para la curva es el conjunto de vectores ortonormales llamados vectores de Frenet . Se construyen a partir de las derivadas de $γ$ $($ $t$ $)$ utilizando el algoritmo de ortogonalización de Gram–Schmidt con $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbf {e}_{1}(t),\ldots ,\mathbf {e}_{n}(t)$ ${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[1ex]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}$

Las funciones de valor real $χ i (t)$ se denominan curvaturas generalizadas y se definen como $\chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}$

El marco de Frenet y las curvaturas generalizadas son invariantes bajo la reparametrización y, por lo tanto, son propiedades geométricas diferenciales de la curva. Para las curvas en es la curvatura y es la torsión. $\mathbb {R} ^{3}$ $\chi _{1}(t)$ $\chi _{2}(t)$

Curva de Bertrand

Una curva de Bertrand es una curva regular en con la propiedad adicional de que hay una segunda curva en tal que los vectores normales principales a estas dos curvas son idénticos en cada punto correspondiente. En otras palabras, si $γ$ $1$ $($ $t$ $)$ y $γ$ $2$ $($ $t$ $)$ son dos curvas en tales que para cualquier $t$ , las dos normales principales $N$ $1$ $($ $t$ $),$ $N$ $2$ $(t)$ son iguales, entonces $γ$ $1$ y $γ$ $2$ son curvas de Bertrand, y $γ$ $2$ se llama la pareja de Bertrand de $γ$ $1$ . Podemos escribir $γ$ $2$ $($ $t$ $) =$ $γ$ $1$ $($ $t$ $) +$ $r$ $N$ $1$ $($ $t$ $)$ para alguna constante $r$ . ^[1] $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Según el problema 25 de "Geometría diferencial: curvas, superficies y variedades" de Kühnel, también es cierto que dos curvas de Bertrand que no se encuentran en el mismo plano bidimensional se caracterizan por la existencia de una relación lineal $a κ (t) + b τ (t) = 1$ donde $κ (t)$ y $τ (t)$ son la curvatura y torsión de $γ 1 (t)$ y $a$ y $b$ son constantes reales con $a \neq 0$ . ^[2] Además, el producto de las torsiones de un par de curvas de Bertrand es constante. ^[3] Si $γ 1$ tiene más de un compañero de Bertrand, entonces tiene infinitos. Esto solo ocurre cuando $γ 1$ es una hélice circular. ^[1]

Vectores especiales de Frenet y curvaturas generalizadas

Los tres primeros vectores de Frenet y las curvaturas generalizadas se pueden visualizar en el espacio tridimensional. Tienen nombres adicionales y más información semántica asociada a ellos.

Vector tangente

Si una curva $γ$ representa la trayectoria de una partícula, entonces la velocidad instantánea de la partícula en un punto dado $P$ se expresa mediante un vector , llamado vector tangente a la curva en $P$ . Matemáticamente, dada una curva $C 1 parametrizada$ $γ = γ (t)$ , para cada valor $t = t 0$ del parámetro, el vector es el vector tangente en el punto $P$ $=$ $γ$ $($ $t$ $0$ $)$ . En términos generales, el vector tangente puede ser cero . La magnitud del vector tangente es la velocidad en el instante $t$ $0$ . $\gamma '(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}$ $\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|$

El primer vector de Frenet $e 1 (t)$ es el vector tangente unitario en la misma dirección, definido en cada punto regular de $γ$ : Si $t$ $=$ $s$ es el parámetro natural, entonces el vector tangente tiene longitud unitaria. La fórmula se simplifica: El vector tangente unitario determina la orientación de la curva, o la dirección hacia delante, correspondiente a los valores crecientes del parámetro. El vector tangente unitario tomado como una curva traza la imagen esférica de la curva original. $\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.$ $\mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s).$

Vector normal o vector de curvatura

Un vector normal de curva , a veces llamado vector de curvatura , indica la desviación de la curva respecto de ser una línea recta. Se define como ${\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).$

Su forma normalizada, el vector normal unitario, es el segundo vector de Frenet $e 2 (t)$ y se define como $\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.$

La tangente y el vector normal en el punto $t$ definen el plano osculador en el punto $t$ .

Se puede demostrar que $ē 2 (t) \propto e' 1 (t)$ . Por lo tanto, $\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.$

Curvatura

La primera curvatura generalizada $χ 1 (t)$ se denomina curvatura y mide la desviación de $γ$ de ser una línea recta con respecto al plano osculador. Se define como y se denomina curvatura de $γ$ en el punto $t$ . Se puede demostrar que $\kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}$ $\kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.$

El recíproco de la curvatura se llama radio de curvatura . ${\frac {1}{\kappa (t)}}$

Un círculo con radio $r$ tiene una curvatura constante de mientras que una línea tiene una curvatura de 0. $\kappa (t)={\frac {1}{r}}$

Vector binormal

El vector binormal unitario es el tercer vector de Frenet $e 3 (t)$ . Siempre es ortogonal a los vectores unitarios tangente y normal en $t$ . Se define como

$\mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)$

En el espacio tridimensional, la ecuación se simplifica a o a Que cualquiera de los dos signos puede aparecer se ilustra con los ejemplos de una hélice dextrógira y una hélice zurda. $\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)$ $\mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),$

Torsión

La segunda curvatura generalizada $χ 2 (t)$ se llama torsión y mide la desviación de $γ$ de ser una curva plana . En otras palabras, si la torsión es cero, la curva se encuentra completamente en el mismo plano osculador (solo hay un plano osculador para cada punto $t$ ). Se define como y se llama torsión de $γ$ en el punto $t$ . $\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}$

Aberrancia

La tercera derivada se puede utilizar para definir la aberrancia , una métrica de la no circularidad de una curva. ^[4]^[5]^[6]

Teorema principal de la teoría de curvas

Dadas $n - 1$ funciones: entonces existe una única (hasta transformaciones que utilizan el grupo euclidiano ) $C$ $n$ $+ 1$ -curva $γ$ que es regular de orden $n$ y tiene las siguientes propiedades: donde el conjunto es el marco de Frenet para la curva. $\chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1$ ${\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}$ $\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)$

Al proporcionar adicionalmente un inicio $t 0$ en $I$ , un punto de inicio $p 0$ en y un marco de Frenet ortonormal positivo inicial ${$ $e$ $1$ $, ...,$ $e$ $n$ $- 1$ $}$ con las transformaciones euclidianas se eliminan para obtener una curva única $γ$ . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}$

Fórmulas de Frenet-Serret

Las fórmulas de Frenet-Serret son un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La solución es el conjunto de vectores de Frenet que describen la curva especificada por las funciones de curvatura generalizadas $χ i$ .

2 dimensiones

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\end{bmatrix}}$

3 dimensiones

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{3}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\[1ex]-\kappa (t)&0&\tau (t)\\[1ex]0&-\tau (t)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{3}(t)\end{bmatrix}}$

nortedimensiones (fórmula general)

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}'(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\[1ex]-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\[1ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\[1ex]0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\[1ex]0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\[1ex]\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}$

Véase también

Lista de temas de curvas

Referencias

^ ab do Carmo, Manfredo P. (2016). Geometría diferencial de curvas y superficies (2.ª edición revisada y actualizada). Mineola, NY: Dover Publications, Inc., págs. 27-28. ISBN 978-0-486-80699-0.
^ Kühnel, Wolfgang (2005). Geometría diferencial: curvas, superficies, variedades . Providence: AMS. pág. 53. ISBN. 0-8218-3988-8.
^ Weisstein, Eric W. "Curvas de Bertrand". mathworld.wolfram.com .
^ Schot, Stephen (noviembre de 1978). "Aberrancia: geometría de la tercera derivada". Revista de matemáticas . 5. 51 (5): 259–275. doi :10.2307/2690245. JSTOR 2690245.
^ Cameron Byerley; Russell a. Gordon (2007). "Medidas de aberración". Real Analysis Exchange . 32 (1). Michigan State University Press: 233. doi : 10.14321/realanalexch.32.1.0233 . ISSN 0147-1937.
^ Gordon, Russell A. (2004). "La aberrancia de las curvas planas". The Mathematical Gazette . 89 (516). Cambridge University Press (CUP): 424–436. doi :10.1017/s0025557200178271. ISSN 0025-5572. S2CID 118533002.

Lectura adicional

Kreyszig, Erwin (1991). Geometría diferencial . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9.El Capítulo II es un tratamiento clásico de la Teoría de Curvas en 3 dimensiones.