Trocoide

En geometría , una trocoide (del griego trochos 'rueda') es una curva de ruleta formada por un círculo que rueda a lo largo de una línea . Es la curva trazada por un punto fijado a un círculo (donde el punto puede estar sobre, dentro o fuera del círculo) a medida que rueda a lo largo de una línea recta. ^[1] Si el punto está sobre el círculo, la trocoide se llama común (también conocida como cicloide ); si el punto está dentro del círculo, la trocoide es curtida ; y si el punto está fuera del círculo, la trocoide es alargada . La palabra "trocoide" fue acuñada por Gilles de Roberval , refiriéndose al caso especial de una cicloide. ^[2]

Descripción básica

Una trocoide recortada con $b / a = 4/5$

Cuando un círculo de radio $a$ rueda sin deslizarse a lo largo de una línea $L$ , el centro $C$ se mueve en paralelo a $L$ y cada punto $P$ en el plano giratorio unido rígidamente al círculo traza la curva llamada trocoide. Sea $CP = b$ . Las ecuaciones paramétricas de la trocoide para las que $L$ es el eje $x son$

{\begin{alineado}&x=a\theta -b\sin \theta \\&y=ab\cos \theta \end{alineado}}

donde $θ$ es el ángulo variable a través del cual rueda el círculo.

Curtado, común, alargado

Si $P$ se encuentra dentro del círculo ( $b < a$ ), en su circunferencia ( $b = a$ ), o fuera ( $b > a$ ), la trocoide se describe como abreviada ("contraída"), común o alargada ("extendida"), respectivamente. ^[3] Una trocoide abreviada se traza con un pedal (en relación con el suelo) cuando se pedalea una bicicleta con marchas normales a lo largo de una línea recta. ^[4] Una trocoide alargada se traza con la punta de un remo (en relación con la superficie del agua) cuando un bote es impulsado con velocidad constante por ruedas de paletas; esta curva contiene bucles. Una trocoide común, también llamada cicloide , tiene cúspides en los puntos donde $P$ toca la línea $L$ .

Descripción general

Un enfoque más general definiría un trocoide como el lugar geométrico de un punto que orbita a una velocidad constante alrededor de un eje ubicado en , ${\estilo de visualización (x,y)}$ ${\estilo de visualización (x',y')}$

x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,

¿Qué eje se traslada en el plano xy a una velocidad constante en línea recta?

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\por lo tanto x=x_{0} +r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1} t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}

o una trayectoria circular (otra órbita) alrededor (del caso hipotrocoide / epitrocoide ), $(x_{0},y_{0})$

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\por lo tanto x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}

La relación entre las velocidades de movimiento y si el eje móvil se traslada en una trayectoria recta o circular determina la forma del trocoide. En el caso de una trayectoria recta, una rotación completa coincide con un período de un lugar geométrico periódico (repetitivo). En el caso de una trayectoria circular para el eje móvil, el lugar geométrico es periódico solo si la relación de estos movimientos angulares, , es un número racional, digamos , donde y son coprimos , en cuyo caso, un período consiste en órbitas alrededor del eje móvil y órbitas del eje móvil alrededor del punto . Los casos especiales de la epicicloide y la hipocicloide , generados al trazar el lugar geométrico de un punto en el perímetro de un círculo de radio mientras se rueda en el perímetro de un círculo estacionario de radio , tienen las siguientes propiedades: $\omega _{1}/\omega _{2}$ ${\estilo de visualización p/q}$ ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización q}$ ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización q}$ $(x_{0},y_{0})$ $estilo de visualización r_{1}$ ${\estilo de visualización R}$

{\begin{array}{lcl}{\text{epicicloide: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |pq|{\text{ cúspides}}\\{\text{hipocicloide: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |pq|=|p|+|q|{\text{ cúspides}}\end{array}}

donde es el radio de la órbita del eje móvil. El número de cúspides indicado anteriormente también es válido para cualquier epitrocoide e hipotrocoide, reemplazando "cúspides" por "máximos radiales" o "mínimos radiales". $estilo de visualización r_{2}$

Véase también

Referencias

^ Weisstein, Eric W. "Trocoid". MathWorld .
^ Whitman, EA (1943). "Algunas notas históricas sobre la cicloide". American Mathematical Monthly . 50 (5): 309–315. doi :10.1080/00029890.1943.11991383. JSTOR 2302830.
^ "Trocoideo". Xah Math . Consultado el 4 de octubre de 2014 .
^ El rompecabezas de tirar de la bicicleta. YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.

Enlaces externos

Experimentos en línea con el trocoide usando JSXGraph