Centro de rotación instantáneo

Punto fijo a un cuerpo en movimiento plano

Boceto 1: Centro instantáneo P de un plano en movimiento

El centro instantáneo de rotación (también conocido como centro de velocidad instantánea , ^[1] centro instantáneo o polo de desplazamiento plano ) de un cuerpo que experimenta un movimiento plano es un punto que tiene velocidad cero en un instante de tiempo particular. En este instante, los vectores de velocidad de los otros puntos del cuerpo generan un campo circular alrededor de este centro de rotación que es idéntico al que se genera mediante una rotación pura .

El movimiento plano de un cuerpo suele describirse mediante una figura plana que se mueve en un plano bidimensional . El centro instantáneo es el punto en el plano móvil alrededor del cual giran todos los demás puntos en un instante de tiempo específico.

El movimiento continuo de un plano tiene un centro instantáneo para cada valor del parámetro tiempo. Esto genera una curva llamada centroide móvil . Los puntos en el plano fijo correspondientes a estos centros instantáneos forman el centroide fijo.

La generalización de este concepto al espacio tridimensional es la de un giro alrededor de un tornillo. El tornillo tiene un eje que es una línea en el espacio tridimensional (no necesariamente a través del origen), el eje de rotación ; el tornillo también tiene un paso finito (una traslación fija a lo largo de su eje que corresponde a una rotación alrededor del eje del tornillo).

Polo de un desplazamiento plano

Boceto 2: Polo de un desplazamiento plano

El centro instantáneo puede considerarse el caso límite del polo de un desplazamiento plano.

El desplazamiento plano de un cuerpo desde la posición 1 a la posición 2 se define mediante la combinación de una rotación plana y una traslación plana . Para cualquier desplazamiento plano hay un punto en el cuerpo en movimiento que está en el mismo lugar antes y después del desplazamiento. El desplazamiento puede verse como una rotación alrededor de este polo.

Construcción para el polo de un desplazamiento planar

Primero, seleccione dos puntos A y B en el cuerpo en movimiento y ubique los puntos correspondientes en las dos posiciones; vea la ilustración. Construya las mediatrices de los dos segmentos A ¹ A ² y B ¹ B ² . La intersección P de estas dos mediatrices es el polo del desplazamiento plano. Observe que A ¹ y A ² se encuentran en un círculo alrededor de P. Esto es cierto para las posiciones correspondientes de cada punto en el cuerpo.

Si las dos posiciones de un cuerpo están separadas por un instante de tiempo en un movimiento plano, entonces el polo de un desplazamiento se convierte en el centro instantáneo. En este caso, los segmentos construidos entre las posiciones instantáneas de los puntos A y B se convierten en los vectores de velocidad V _A y V _B . Las líneas perpendiculares a estos vectores de velocidad se cortan en el centro instantáneo.

La construcción algebraica de las coordenadas cartesianas se puede organizar de la siguiente manera: El punto medio entre y tiene las coordenadas cartesianas ${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$ ${\displaystyle A^{1}}$ ${\displaystyle A^{2}}$

${\displaystyle A_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{x}^{1}+A_{x}^{2}\right);\quad A_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{y}^{1}+A_{y}^{2}\right),}$

y el punto medio entre y tiene las coordenadas cartesianas ${\displaystyle B^{1}}$ ${\displaystyle B^{2}}$

${\displaystyle B_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{x}^{1}+B_{x}^{2}\right);\quad B_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{y}^{1}+B_{y}^{2}\right).}$

Los dos ángulos desde hasta y desde hasta medidos en sentido antihorario con respecto a la horizontal se determinan mediante ${\displaystyle A^{1}}$ ${\displaystyle A^{2}}$ ${\displaystyle B^{1}}$ ${\displaystyle B^{2}}$

${\displaystyle \tan \tau _{A}={\frac {A_{y}^{2}-A_{y}^{1}}{A_{x}^{2}-A_{x}^{1}}},\quad \tan \tau _{B}={\frac {B_{y}^{2}-B_{y}^{1}}{B_{x}^{2}-B_{x}^{1}}}}$

Encuentra la posición de ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$

Método 1:

Tomando las ramas correctas de la tangente . Sea el centro de la rotación distancias y a los dos puntos medios. Suponiendo rotación en el sentido de las agujas del reloj (de lo contrario, cambie el signo de ): ${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle d_{B}}$ ${\displaystyle \pi /2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{x}&=A_{x}^{m}+d_{A}\cos \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{x}^{m}+d_{B}\cos \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right);\\P_{y}&=A_{y}^{m}+d_{A}\sin \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{y}^{m}+d_{B}\sin \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Reescribamos esto como un sistema de ecuaciones lineales no homogéneos de 4 × 4 con 4 incógnitas (las dos distancias y las dos coordenadas del centro): ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&-\sin \tau _{A}&0\\1&0&0&-\sin \tau _{B}\\0&1&\cos \tau _{A}&0\\0&1&0&\cos \tau _{B}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}^{m}\\B_{x}^{m}\\A_{y}^{m}\\B_{y}^{m}\end{pmatrix}}.}$

Las coordenadas del centro de rotación son los dos primeros componentes del vector solución.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin \left(\tau _{A}-\tau _{B}\right)}}{\begin{pmatrix}\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\sin \tau _{B}+B_{x}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-A_{x}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}\cos \tau _{B}+A_{y}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-B_{y}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{B}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\\\end{pmatrix}}.}$

Método 2:

Encuentra las ecuaciones de las bisectrices de dos segmentos A ¹ A ² y B ¹ B ² de la siguiente manera

La ecuación de una recta en forma punto-pendiente es: donde es el punto y es la pendiente. ${\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle m}$

La ecuación de la bisectriz de A ¹ A ² es ${\displaystyle y-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(x-A_{x}^{m}\right)}$

La ecuación de la bisectriz de B ¹ B ² es ${\displaystyle y-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(x-B_{x}^{m}\right)}$

Estas dos bisectrices se intersecan en por lo que se puede escribir un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y coeficientes . ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{cases}P_{y}-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(P_{x}-A_{x}^{m}\right)\\P_{y}-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(P_{x}-B_{x}^{m}\right)\end{cases}}}$

La solución de este sistema es

${\displaystyle P_{x}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+A_{x}^{m}\tan \tau _{A}-B_{x}^{m}\tan \tau _{B}}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}},\qquad P_{y}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+\tan \tau _{A}\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}}+B_{y}^{m}}$

Traducción pura

Si el desplazamiento entre dos posiciones es una traslación pura, entonces las mediatrices de los segmentos A ¹ B ¹ y A ² B ² forman rectas paralelas. Se considera que estas rectas se cortan en un punto de la recta en el infinito , por lo que se dice que el polo de este desplazamiento plano "se encuentra en el infinito" en la dirección de las mediatrices.

En el límite, la traslación pura se convierte en un movimiento plano con vectores de velocidad puntuales paralelos. En este caso, se dice que el centro instantáneo se encuentra en el infinito en la dirección perpendicular a los vectores de velocidad.

Centro instantáneo de una rueda que rueda sin resbalar

Boceto 3: Rueda rodante.

Centro instantáneo de rotación de una rueda rotatoria descompuesto en puntos. Al descomponer la rueda rotatoria en varios puntos, se puede ver más fácilmente cómo todos los puntos de la rueda rotan alrededor de un único punto en cada instante. Este punto es el centro instantáneo de rotación, que se muestra en negro.

Consideremos el movimiento plano de una rueda circular que rueda sin resbalar sobre una carretera lineal; véase el dibujo 3. La rueda gira alrededor de su eje M, que se traslada en una dirección paralela a la carretera. El punto de contacto P de la rueda con la carretera no resbala, lo que significa que el punto P tiene velocidad cero con respecto a la carretera. Por tanto, en el instante en que el punto P de la rueda entra en contacto con la carretera se convierte en un centro instantáneo.

El conjunto de puntos de la rueda móvil que se convierten en centros instantáneos es el propio círculo, que define el centro de movimiento. Los puntos del plano fijo que corresponden a estos centros instantáneos es la línea de la carretera, que define el centro de movimiento.

El vector de velocidad de un punto A de la rueda es perpendicular al segmento AP y es proporcional a la longitud de este segmento. En particular, las velocidades de los puntos de la rueda están determinadas por la velocidad angular de la rueda en rotación alrededor de P. Los vectores de velocidad de varios puntos se ilustran en el esquema 3 y se pueden calcular utilizando la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{A}}$

donde es la velocidad del punto A, la velocidad angular de la rueda y el vector del punto P al A. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{A}}$

Cuanto más alejado esté un punto de la rueda del centro instantáneo P, mayor será proporcionalmente su velocidad. Por lo tanto, el punto en la parte superior de la rueda se mueve en la misma dirección que el centro M de la rueda, pero el doble de rápido, ya que está al doble de distancia de P. Todos los puntos que están a una distancia igual al radio de la rueda 'r' del punto P se mueven a la misma velocidad que el punto M pero en direcciones diferentes. Esto se muestra para un punto en la rueda que tiene la misma velocidad que M pero se mueve en la dirección tangente al círculo alrededor de P.

Centro de rotación relativo de dos cuerpos planos en contacto

Boceto 4: Ejemplo de centro de rotación relativo. Dos cuerpos en contacto en C , uno que gira alrededor de A y el otro alrededor de B deben tener un centro de rotación relativo en algún lugar a lo largo de la línea AB . Como las partes no pueden interpenetrarse, el centro de rotación relativo también debe estar a lo largo de la dirección normal al contacto y a través de C . La única solución posible es que el centro relativo esté en D .

Si dos cuerpos rígidos planos están en contacto y cada uno de ellos tiene su propio centro de rotación, entonces el centro de rotación relativo entre los cuerpos tiene que estar en algún lugar de la línea que conecta los dos centros. Como resultado, dado que el rodamiento puro solo puede existir cuando el centro de rotación está en el punto de contacto (como se ve arriba con la rueda en la carretera), solo cuando el punto de contacto pasa por la línea que conecta los dos centros de rotación se puede lograr el rodamiento puro. Esto se conoce en el diseño de engranajes evolventes como el punto de paso, donde no hay deslizamiento relativo entre los engranajes. De hecho, la relación de transmisión entre las dos partes giratorias se encuentra por la relación de las dos distancias al centro relativo. En el ejemplo del boceto 4, la relación de transmisión es ${\displaystyle \gamma ={\frac {AD}{BD}}}$

Centro instantáneo de rotación y mecanismos

El esquema 1 anterior muestra un mecanismo de cuatro barras en el que se ilustran varios centros de rotación instantáneos. El cuerpo rígido, indicado con las letras BAC, está conectado con los eslabones P ₁ -A y P ₂ -B a una base o bastidor.

Las tres partes móviles de este mecanismo (la base no se mueve) son: el eslabón P ₁ -A, el eslabón P ₂ -B y el cuerpo BAC. Para cada una de estas tres partes se puede determinar un centro de rotación instantáneo.

Considerando el primer eslabón P ₁ -A: todos los puntos de este eslabón, incluido el punto A, giran alrededor del punto P ₁ . Como P ₁ es el único punto que no se mueve en el plano dado, se lo puede llamar el centro instantáneo de rotación de este eslabón. El punto A, a una distancia P ₁ -A de P ₁ , se mueve en un movimiento circular en una dirección perpendicular al eslabón P ₁ -A, como lo indica el vector V _A .

Lo mismo se aplica al enlace P ₂ -B: el punto P ₂ es el centro instantáneo de rotación de este enlace y el punto B se mueve en la dirección indicada por el vector V _B .

Para determinar el centro instantáneo de rotación del tercer elemento del vínculo, el cuerpo BAC, se utilizan los dos puntos A y B porque se conocen sus características de movimiento, derivadas de la información sobre los vínculos P ₁ -A y P ₂ -B.

La dirección de la velocidad del punto A está indicada por el vector V _A . Su centro instantáneo de rotación debe ser perpendicular a este vector (ya que V _A está ubicado tangencialmente en la circunferencia de un círculo). La única línea que cumple el requisito es una línea colineal con el enlace P ₁ -A. En algún lugar de esta línea hay un punto P, el centro instantáneo de rotación del cuerpo BAC.

Lo que se aplica al punto A se aplica también al punto B, por lo tanto, este centro instantáneo de rotación P se encuentra sobre una línea perpendicular al vector V _B , línea colineal con el vínculo P ₂ -B. Por lo tanto, el centro instantáneo de rotación P del cuerpo BAC es el punto donde se cruzan las líneas que pasan por P ₁ -A y P ₂ -B.

Dado que este centro de rotación instantáneo P es el centro de todos los puntos del cuerpo BAC para cualquier punto aleatorio, por ejemplo el punto C, la velocidad y la dirección del movimiento se pueden determinar: conectando P con C. La dirección del movimiento del punto C es perpendicular a esta conexión. La velocidad es proporcional a la distancia al punto P.

Continuando con este enfoque con los dos eslabones P ₁ -A y P ₂ -B girando alrededor de sus propios centros de rotación instantáneos, se puede determinar el centro de rotación instantáneo P. A partir de esto, se puede determinar la trayectoria de movimiento para C o cualquier otro punto del cuerpo BAC.

Ejemplos de aplicación

En la investigación biomecánica, el centro instantáneo de rotación se observa para el funcionamiento de las articulaciones de las extremidades superiores e inferiores. ^[2] Por ejemplo, al analizar las articulaciones de la rodilla , ^{[3] [4] [5]} el tobillo , ^[6] o el hombro . ^{[7] [8]} Tal conocimiento ayuda al desarrollo de articulaciones artificiales y prótesis , como las articulaciones del codo ^[9] o de los dedos. ^[10]

Estudio de las articulaciones de los caballos: “…los vectores de velocidad determinados a partir de los centros instantáneos de rotación indicaron que las superficies articulares se deslizan una sobre otra.” ^[11]

Estudios sobre el giro de una embarcación en movimiento a través del agua. ^[12]

Las características de frenado de un automóvil se pueden mejorar variando el diseño del mecanismo del pedal de freno. ^[13]

Diseño de la suspensión de una bicicleta, ^[14] o de un automóvil. ^[15]

En el caso del eslabón de acoplamiento en un sistema de cuatro barras , como una suspensión de doble horquilla en vista frontal, las perpendiculares a la velocidad se encuentran a lo largo de los eslabones que unen el eslabón conectado a tierra con el eslabón de acoplamiento. Esta construcción se utiliza para establecer el centro de balanceo cinemático de la suspensión.

Véase también

• Velocidad angular
• La teoría de Burmester
• Centrodo
• Grupo de reflexión puntual
• Cuerpo rígido
• Centro de balanceo
• Rotación alrededor de un eje fijo
• Eje de tornillo
• Rotación bidimensional

Referencias

1. Diccionario ilustrado de ingeniería mecánica: inglés, alemán, francés, holandés y ruso (Springer Science & Business Media, 17 de abril de 2013 - 422 páginas)
2. "Fisiología muscular: brazo de momento articular". Archivado desde el original el 27 de febrero de 2021. Consultado el 22 de agosto de 2008 .
3. Descripción y medición del movimiento de la articulación de la rodilla ^{[ enlace muerto permanente ]}
4. Moorehead JD, Montgomery SC, Harvey DM (septiembre de 2003). "Estimación instantánea del centro de rotación utilizando la técnica de Reuleaux y una técnica de extrapolación lateral". J Biomech . 36 (9): 1301–7. doi :10.1016/S0021-9290(03)00156-8. PMID  12893038.
5. Hollman JH, Deusinger RH, Van Dillen LR, Matava MJ (agosto de 2003). "Diferencias de género en la cinemática de deslizamiento y rodadura de la superficie de la rodilla". Clin Orthop Relat Res . 413 (413): 208–21. doi :10.1097/01.blo.0000072902.36018.fe. PMID  12897612. S2CID  45191914.
6. Maganaris CN, Baltzopoulos V, Sargeant AJ (agosto de 1998). "Cambios en el brazo de momento del tendón de Aquiles desde el reposo hasta la flexión plantar isométrica máxima: observaciones in vivo en el hombre". Journal of Physiology . 510 (Pt 3): 977–85. doi :10.1111/j.1469-7793.1998.977bj.x. PMC 2231068 . PMID  9660906. Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2012. 
7. Biomecánica del hombro ^{[ enlace muerto permanente ]}
8. Poppen NK, Walker PS (marzo de 1976). "Movimiento normal y anormal del hombro". J Bone Joint Surg Am . 58 (2): 195–201. doi :10.2106/00004623-197658020-00006. PMID  1254624.
9. US 5030237  Prótesis de codo
10. "Implante de pirocarbono en la articulación del dedo" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2011-07-21 . Consultado el 2008-08-22 .
11. Colahan P, Piotrowski G, Poulos P (septiembre de 1988). "Análisis cinemático de los centros instantáneos de rotación de la articulación metacarpofalángica equina". Am J Vet Res . 49 (9): 1560–5. PMID  3223666.
12. "PARTE VI Navegación y maniobras de los buques" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2009-12-15 . Consultado el 2008-08-22 .
13. GB 1443270 Soportes de pedal de freno de relación mecánica variable - General Motors, 1976 
14. US 7100930 Sistema de suspensión trasera de bicicleta 
15. Reza N. Jazar (2008). Dinámica de vehículos: teoría y aplicación. Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-74243-4.