Espiral sinusoidal

Familia de curvas de la forma r^n = a^n cos(nθ)

Espirales sinusoidales ( r ⁿ = –1 ⁿ cos( nθ ), θ = π /2 ) en coordenadas polares y sus equivalentes en coordenadas rectangulares :

  n = −2 : Hipérbola equilátera

  n = −1 : Línea

  n = −1/2 : Parábola

  n = 1/2 : Cardioide

  n = 1 : Círculo

  n = 2 : Lemniscata de Bernoulli

En geometría algebraica , las espirales sinusoidales son una familia de curvas definidas por la ecuación en coordenadas polares

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}$

donde a es una constante distinta de cero y n es un número racional distinto de 0. Con una rotación sobre el origen, esto también se puede escribir

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,}$

El término "espiral" es un nombre inapropiado, ya que en realidad no son espirales y suelen tener forma de flor. Muchas curvas conocidas son espirales sinusoidales, entre ellas:

• Hipérbola rectangular ( n = −2 )
• Línea ( n = −1 )
• Parábola ( n = −1/2 )
• Cúbico de Tschirnhausen ( norte = −1/3 )
• Sexteto de Cayley ( n = 1/3 )
• Cardioide ( n = 1/2 )
• Círculo ( n = 1 )
• Lemniscata de Bernoulli ( n = 2 )

Las curvas fueron estudiadas por primera vez por Colin Maclaurin .

Ecuaciones

Diferenciando

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}$

y eliminando a se obtiene una ecuación diferencial para r y θ:

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0.}$

Entonces

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)}$

lo que implica que el ángulo tangencial polar es

${\displaystyle \psi =n\theta \pm \pi /2}$

y entonces el ángulo tangencial es

${\displaystyle \varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2.}$

(El signo aquí es positivo si r y cos n θ tienen el mismo signo y negativo en caso contrario).

El vector tangente unitario,

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right),}$

tiene una longitud de uno, por lo que al comparar la magnitud de los vectores en cada lado de la ecuación anterior se obtiene

${\displaystyle {\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta .}$

En particular, la longitud de un solo bucle cuando es: ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta }$

La curvatura viene dada por

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta .}$

Propiedades

La inversa de una espiral sinusoidal con respecto a una circunferencia con centro en el origen es otra espiral sinusoidal cuyo valor de n es el negativo del valor de n de la curva original . Por ejemplo, la inversa de la lemniscata de Bernoulli es una hipérbola rectangular.

La isóptica , el pedal y el pedal negativo de una espiral sinusoidal son espirales sinusoidales diferentes.

Una trayectoria de una partícula que se mueve según una fuerza central proporcional a una potencia de r es una espiral sinusoidal.

Cuando n es un número entero y n puntos están dispuestos de forma regular sobre un círculo de radio a , entonces el conjunto de puntos de forma que la media geométrica de las distancias desde el punto hasta los n puntos es una espiral sinusoidal. En este caso la espiral sinusoidal es una lemniscata polinómica .

Referencias

• Yates, RC: Un manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards (1952), "Espiral", pág. 213-214
• "Espiral sinusoidal" en www.2dcurves.com
• "Espirales sinusoidales" en The MacTutor Historia de las matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Espiral sinusoidal". MathWorld .