cúbico de tschirnhausen

Curva plana de la forma r = a*sec(θ/3)

Cúbica de Tschirnhausen, caso de a = 1

En geometría algebraica , la cúbica de Tschirnhausen , o cúbica de Tschirnhaus , es una curva plana definida, en su forma de apertura por la izquierda, por la ecuación polar

${\displaystyle r=a\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)}$

donde sec es la función secante .

Historia

La curva fue estudiada por von Tschirnhaus , de L'Hôpital y Catalan . En un artículo de 1900 de Raymond Clare Archibald se le dio el nombre de cúbica de Tschirnhausen , aunque a veces se la conoce como cúbica de de L'Hôpital o trisectriz de Catalan.

Otras ecuaciones

Ponga . Luego, aplicando fórmulas de triple ángulo, se obtiene ${\displaystyle t=\tan(\theta /3)}$

${\displaystyle x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)}$

${\displaystyle =a(1-3t^{2})}$

${\displaystyle y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)}$

${\displaystyle =at(3-t^{2})}$

Dando una forma paramétrica para la curva. El parámetro t se puede eliminar fácilmente dando la ecuación cartesiana

${\displaystyle 27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}}$.

Si la curva se traslada horizontalmente 8 a y se cambian los signos de las variables, las ecuaciones de la curva de apertura derecha resultante son

${\displaystyle x=3a(3-t^{2})}$

${\displaystyle y=at(3-t^{2})}$

y en coordenadas cartesianas

${\displaystyle x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)}$.

Esto da la forma polar alternativa

${\displaystyle r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)}$.

Generalización

La cúbica de Tschirnhausen es una espiral sinusoidal con n = −1/3.

Referencias

• JD Lawrence, Un catálogo de curvas planas especiales . Nueva York: Dover, 1972, págs. 87-90.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Tschirnhausen cúbico". MundoMatemático .
• "El cúbico de Tschirnhaus" en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor
• Cúbico de Tschirnhausen en mathcurve.com