Trocoide centrado

Curva geométrica formada por un círculo que rueda a lo largo de otro círculo

Un epitrocoide (rojo) con un radio de círculo fijo R = 3, un radio de círculo rodante r = 1 y una distancia d = 1/2 desde el centro del círculo rodante hasta el punto generador.

Un hipotrocoide (rojo) con R = 5, r = 3, d = 5

En geometría , una trocoide centrada es la ruleta formada por un círculo que rueda a lo largo de otro círculo. Es decir, es la trayectoria que traza un punto unido a un círculo a medida que el círculo rueda sin deslizarse a lo largo de un círculo fijo. El término engloba tanto a la epitrocoide como a la hipotrocoide . El centro de esta curva se define como el centro del círculo fijo.

Alternativamente, una trocoide centrada puede definirse como la trayectoria trazada por la suma de dos vectores, cada uno de los cuales se mueve a una velocidad uniforme en un círculo. En concreto, una trocoide centrada es una curva que puede parametrizarse en el plano complejo mediante

${\displaystyle z=r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t},\,}$

o en el plano cartesiano por

${\displaystyle x=r_{1}\cos(\omega _{1}t)+r_{2}\cos(\omega _{2}t),}$

${\displaystyle y=r_{1}\sin(\omega _{1}t)+r_{2}\sin(\omega _{2}t),\,}$

dónde

${\displaystyle r_{1},r_{2},\omega _{1},\omega _{2}\neq 0,\quad \omega _{1}\neq \omega _{2}.\,}$

Si es racional, entonces la curva es cerrada y algebraica. De lo contrario, la curva gira alrededor del origen una cantidad infinita de veces y es densa en el anillo con radio externo y radio interno . ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}$ ${\displaystyle |r_{1}|+|r_{2}|}$ ${\displaystyle ||r_{1}|-|r_{2}||}$

Terminología

La mayoría de los autores utilizan epitrocoide para referirse a una ruleta de un círculo que gira alrededor del exterior de otro círculo, hipotrocoide para referirse a una ruleta de un círculo que gira alrededor del interior de otro círculo y trocoide para referirse a una ruleta de un círculo que gira a lo largo de una línea. Sin embargo, algunos autores (por ejemplo [1] siguiendo a F. Morley ) utilizan "trocoide" para referirse a una ruleta de un círculo que gira a lo largo de otro círculo, aunque esto es inconsistente con la terminología más común. El término trocoide centrado adoptado por [2] combina epitrocoide e hipotrocoide en un solo concepto para agilizar la exposición matemática y sigue siendo coherente con el estándar existente.

El término curva trocoidal describe epitrocoides, hipotrocoides y trocoides (ver [3]). Una curva trocoidal puede definirse como la trayectoria trazada por la suma de dos vectores, cada uno de los cuales se mueve a una velocidad uniforme en un círculo o en una línea recta (pero no ambos se mueven en una línea).

En las ecuaciones paramétricas dadas anteriormente, la curva es una epitrocoide si y tienen el mismo signo, y una hipotrocoide si tienen signos opuestos. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Doble generación

Sea un círculo de radio rodado sobre un círculo de radio , y se le une un punto al círculo rodante. La curva fija se puede parametrizar como y la curva rodante se puede parametrizar como o dependiendo de si la parametrización atraviesa el círculo en la misma dirección o en la dirección opuesta a la parametrización de la curva fija. En cualquier caso podemos usar donde . Sea unido al círculo rodante en . Luego, aplicando la fórmula para la ruleta , el punto traza una curva dada por: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(t)=ae^{it}}$ ${\displaystyle r(t)=be^{i(a/b)t}}$ ${\displaystyle r(t)=-be^{-i(a/b)t}}$ ${\displaystyle r(t)=ce^{i(a/c)t}}$ ${\displaystyle |c|=b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)+(d-r(t)){f'(t) \over r'(t)}&=ae^{it}+(d-ce^{i(a/c)t}){aie^{it} \over aie^{i(a/c)t}}\\&=(a-c)e^{it}+de^{i(1-a/c)t}.\end{aligned}}}$

Esta es la parametrización dada arriba con , , , . ${\displaystyle r_{1}=a-c}$ ${\displaystyle r_{2}=d}$ ${\displaystyle \omega _{1}=1}$ ${\displaystyle \omega _{2}=1-a/c}$

Por el contrario, dados , , , y , la curva se puede repararmetrizar como y las ecuaciones , , se pueden resolver para , y para obtener ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t}}$ ${\displaystyle r_{1}e^{it}+r_{2}e^{i(\omega _{2}/\omega _{1})t}}$ ${\displaystyle r_{1}=a-c}$ ${\displaystyle r_{2}=d}$ ${\displaystyle \omega _{2}/\omega _{1}=1-a/c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a=r_{1}(1-\omega _{1}/\omega _{2}),\ c=-r_{1}{\omega _{1}/\omega _{2}},\ d=r_{2}.}$

La curva permanece igual si se invierten los índices 1 y 2, pero los valores resultantes de , y , en general, no lo hacen. Esto produce el teorema de generación dual que establece que, con la excepción del caso especial que se analiza a continuación, cualquier trocoide centrado se puede generar de dos maneras esencialmente diferentes, como la ruleta de un círculo que gira sobre otro círculo. ${\displaystyle r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

Ejemplos

Cardioide

El cardioide está parametrizado por . Tome para obtener . Ambos círculos tienen radio 1 y, dado que c < 0, el círculo rodante está rodando alrededor del exterior del círculo fijo. El punto p está a 1 unidad del centro del rodante, por lo que se encuentra en su circunferencia. Esta es la definición habitual del cardioide. También podemos parametrizar la curva como , por lo que también podemos tomar para obtener En este caso, el círculo fijo tiene radio 1, el círculo rodante tiene radio 2 y, dado que c > 0, el círculo rodante gira alrededor del círculo fijo a la manera de un aro de hula hula . Esto produce una definición esencialmente diferente de la misma curva. ${\displaystyle 2e^{it}-e^{2it}}$ ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=-1,\omega _{1}=1,\omega _{2}=2}$ ${\displaystyle a=2(1-1/2)=1,c=-2(1/2)=-1,d=-1}$ ${\displaystyle -e^{2it}+2e^{it}}$ ${\displaystyle r_{1}=-1,r_{2}=2,\omega _{1}=2,\omega _{2}=1}$ ${\displaystyle a=-1(1-2)=1,b=-(-1)(2)=2,d=2.}$

Elipse

Si obtenemos entonces la curva paramétrica , o . Si , esta es la ecuación de una elipse con ejes y . Evaluando , , y como antes; o bien o bien . Esto da dos formas diferentes de generar una elipse, ambas implican un círculo que rueda dentro de un círculo con el doble del diámetro. ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2}}$ ${\displaystyle r_{1}e^{it}+r_{2}e^{-it}}$ ${\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\cos t,y=(r_{1}-r_{2})\sin t\,\!}$ ${\displaystyle |r_{1}|\neq |r_{2}|}$ ${\displaystyle 2|r_{1}+r_{2}|}$ ${\displaystyle 2|r_{1}-r_{2}|}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a=2r_{1},c=r_{1},d=r_{2}\,\!}$ ${\displaystyle a=2r_{2},c=r_{2},d=r_{1}\,\!}$

Línea recta

Si además, junto a , , entonces en ambos casos y las dos formas de generar la curva son las mismas. En este caso la curva es simplemente o un segmento del eje x. ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2}}$ ${\displaystyle r_{1}=r_{2}=r}$ ${\displaystyle a=2r,b=r,c=r\,\!}$ ${\displaystyle x=2r\cos t,y=0\,\!}$

De la misma manera, si , entonces o . El círculo es simétrico respecto del origen, por lo que ambos dan el mismo par de círculos. En este caso, la curva es simplemente : un segmento del eje y. ${\displaystyle r_{1}=r,r_{2}=-r\,\!}$ ${\displaystyle a=2r,c=r,d=-r\,\!}$ ${\displaystyle a=-2r,c=-r,d=r\,\!}$ ${\displaystyle x=0,y=2r\sin t\,\!}$

Por lo tanto, el caso es una excepción (de hecho, la única excepción) al teorema de generación dual enunciado anteriormente. Este caso degenerado, en el que la curva es un segmento de línea recta, subyace al par de Tusi . ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2},\ |r_{1}|=|r_{2}|}$

Referencias

• "Trocoides centrados" en mathcurve.com
• "Epitrocoide" en mathcurve.com
• "Hipotrocoideo" en mathcurve.com
• "Peritrocoide" en mathcurve.com
• Yates, RC: Un manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards (1952), "Trocoides"
• Trocoides: curvas generadas por un círculo rodante

Enlaces externos

• Epitrocoide en Mathworld
• Hipotrocoide en Mathworld
• Diccionario visual de curvas planas especiales
• Diccionario visual de curvas planas especiales
• "Trocoideo" en Springer Online Encyclopaedia of Mathematics