Grupo electrógeno de un grupo

Concepto de álgebra abstracta

Las quintas raíces de la unidad en el plano complejo forman un grupo bajo multiplicación. Cada elemento no identitario genera el grupo.

En álgebra abstracta , un conjunto generador de un grupo es un subconjunto del conjunto grupal tal que cada elemento del grupo puede expresarse como una combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos del subconjunto y sus inversos .

En otras palabras, si es un subconjunto de un grupo , entonces , el subgrupo generado por , es el subgrupo más pequeño que contiene cada elemento de , que es igual a la intersección de todos los subgrupos que contienen los elementos de ; de manera equivalente, es el subgrupo de todos los elementos de que se puede expresar como el producto finito de los elementos en y sus inversas. (Tenga en cuenta que las inversas sólo son necesarias si el grupo es infinito; en un grupo finito, la inversa de un elemento se puede expresar como una potencia de ese elemento). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Si , entonces decimos que genera , y los elementos en se llaman generadores o generadores de grupo . Si es el conjunto vacío, entonces es el grupo trivial , ya que consideramos que el producto vacío es la identidad. ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle \{e\}}$

Cuando solo hay un elemento , generalmente se escribe como . En este caso, es el subgrupo cíclico de las potencias de , un grupo cíclico , y decimos que este grupo es generado por . Equivale a decir que un elemento genera un grupo es decir que equivale a todo el grupo . Para grupos finitos , también equivale a decir que tiene orden . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |G|}$

Un grupo puede necesitar un número infinito de generadores. Por ejemplo, el grupo aditivo de números racionales no se genera de forma finita. Se genera por las inversas de todos los números enteros, pero cualquier número finito de estos generadores se puede eliminar del grupo electrógeno sin que éste deje de ser un grupo electrógeno. En un caso como este, todos los elementos de un grupo electrógeno son, sin embargo, "elementos no generadores", como lo son de hecho todos los elementos de todo el grupo; consulte el subgrupo Frattini a continuación. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si es un grupo topológico, entonces un subconjunto de se llama conjunto de generadores topológicos si es denso , es decir, el cierre de es el grupo completo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$

grupo finitamente generado

Si es finito, entonces un grupo se llama finitamente generado . En particular , la estructura de los grupos abelianos generados finitamente se describe fácilmente. Muchos teoremas que son válidos para grupos generados finitamente fallan para los grupos en general. Se ha demostrado que si un subconjunto genera un grupo finito , entonces cada elemento del grupo puede expresarse como una palabra del alfabeto de longitud menor o igual al orden del grupo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Todo grupo finito se genera de forma finita desde . Los números enteros bajo la suma son un ejemplo de un grupo infinito que es generado finitamente por 1 y −1, pero el grupo de racionales bajo la suma no puede generarse de manera finita. No se puede generar de forma finita ningún grupo incontable . Por ejemplo, el grupo de números reales bajo suma, . ${\displaystyle \langle G\rangle =G}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

Diferentes subconjuntos de un mismo grupo pueden generar subconjuntos. Por ejemplo, si y son números enteros con mcd ( p ,  q ) = 1 , entonces también genera el grupo de números enteros bajo la suma por identidad de Bézout . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$

Si bien es cierto que cada cociente de un grupo generado finitamente se genera finitamente (las imágenes de los generadores en el cociente dan un conjunto generador finito), no es necesario que un subgrupo de un grupo generado finitamente se genere finitamente. Por ejemplo, sea el grupo libre en dos generadores, y (que claramente se genera de forma finita, desde ), y sea el subconjunto que consta de todos los elementos de de la forma para algún número natural . es isomorfo al grupo libre en infinitos generadores contables y, por lo tanto, no puede generarse de forma finita. Sin embargo, cada subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado es en sí mismo finitamente generado. De hecho, se puede decir más: la clase de todos los grupos generados finitamente está cerrada bajo extensiones . Para ver esto, tome un conjunto generador para el subgrupo y cociente normal (generado finitamente). Luego, los generadores del subgrupo normal, junto con las preimágenes de los generadores del cociente, generan el grupo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G=\langle \{x,y\}\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle y^{n}xy^{-n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$

Ejemplos

• El grupo multiplicativo de números enteros módulo 9 , U ₉  = {1, 2, 4, 5, 7, 8} , es el grupo de todos los números enteros primos relativos a 9 bajo la multiplicación mod  9 . Tenga en cuenta que 7 no es un generador de U ₉ , ya que mientras 2 lo es, ya que
    ${\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}$
  
    ${\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$

• Por otro lado, S _n , el grupo simétrico de grado n , no es generado por ningún elemento (no es cíclico ) cuando n > 2. Sin embargo, en estos casos S _n siempre puede ser generado por dos permutaciones que se escriben en Notación de ciclo como (1 2) y (1 2 3 ...  n ) . Por ejemplo, los 6 elementos de S ₃ se pueden generar a partir de los dos generadores, (1 2) y (1 2 3), como se muestra en el lado derecho de las siguientes ecuaciones (la composición es de izquierda a derecha):

mi = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• Grupos infinitos también pueden tener grupos electrógenos finitos. El grupo aditivo de números enteros tiene 1 como grupo electrógeno. El elemento 2 no es un grupo electrógeno, ya que faltarán los números impares. El subconjunto de dos elementos {3, 5} es un conjunto generador, ya que (−5) + 3 + 3 = 1 (de hecho, cualquier par de números coprimos lo es, como consecuencia de la identidad de Bézout ).

• El grupo diédrico de un n-gón (que tiene orden 2n ) es generado por el conjunto { r , s } , donde r representa la rotación de 2π / n y s es cualquier reflexión a través de un eje de simetría. ^[1]

• El grupo cíclico de orden , y las raíces ^enésimas de la unidad son generados por un solo elemento (de hecho, estos grupos son isomorfos entre sí). ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

• Una presentación de un grupo se define como un conjunto de generadores y una colección de relaciones entre ellos, por lo que cualquiera de los ejemplos enumerados en esa página contiene ejemplos de conjuntos generadores. ^[3]

grupo libre

El grupo más general generado por un conjunto es el grupo generado libremente por . Cada grupo generado por es isomorfo a un cociente de este grupo, una característica que se utiliza en la expresión de la presentación de un grupo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

subgrupo frattini

Un tema complementario interesante es el de los no generadores . Un elemento del grupo no es generador si cada conjunto que contiene eso genera , todavía genera cuando se elimina de . En los números enteros con suma, el único no generador es 0. El conjunto de todos los no generadores forma un subgrupo de , el subgrupo de Frattini . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$

Semigrupos y monoides

Si es un semigrupo o un monoide , aún se puede utilizar la noción de conjunto generador de . es un conjunto generador de semigrupo/monoide de if es el semigrupo/monoide más pequeño que contiene . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Las definiciones de conjunto generador de un grupo que utiliza sumas finitas, dadas anteriormente, deben modificarse ligeramente cuando se trata de semigrupos o monoides. De hecho, esta definición ya no debería utilizar la noción de operación inversa. Se dice que el conjunto es un conjunto generador de semigrupos de si cada elemento de es una suma finita de elementos de . De manera similar, se dice que un conjunto es un conjunto generador monoide de si cada elemento distinto de cero de es una suma finita de elementos de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Por ejemplo, {1} es un generador monoide del conjunto de los números naturales . El conjunto {1} también es un generador de semigrupos de los números naturales positivos . Sin embargo, el número entero 0 no se puede expresar como una suma (no vacía) de unos, por lo que {1} no es un generador de semigrupo de números naturales. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{>0}}$

De manera similar, mientras que {1} es un generador de grupo del conjunto de números enteros , {1} no es un generador monoide del conjunto de números enteros. De hecho, el número entero −1 no se puede expresar como una suma finita de unos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ver también

• Conjunto generador de significados relacionados en otras estructuras.
• presentación de un grupo
• Elemento primitivo (campo finito)
• gráfico de cayley

Notas

1. Tonto, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley. pag. 25.ISBN​ 9780471452348. OCLC  248917264.
2. Dummit y Foote 2004, pág. 54
3. Dummit y Foote 2004, pág. 26

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001
• Coxeter, HSM; Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Saltador. ISBN 0-387-09212-9.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Generadores de grupo". MundoMatemático .