Ideal (teoría del anillo)

Subgrupo aditivo de un anillo matemático que absorbe la multiplicación.

En matemáticas , y más concretamente en teoría de anillos , un ideal de anillo es un subconjunto especial de sus elementos. Los ideales generalizan ciertos subconjuntos de números enteros , como los números pares o los múltiplos de 3. La suma y resta de números pares preserva la uniformidad, y multiplicar un número par por cualquier número entero (par o impar) da como resultado un número par; estas propiedades de cierre y absorción son las propiedades definitorias de un ideal. Se puede utilizar un ideal para construir un anillo cociente de forma similar a como, en la teoría de grupos , se puede utilizar un subgrupo normal para construir un grupo cociente .

Entre los números enteros, los ideales se corresponden uno a uno con los números enteros no negativos : en este anillo, cada ideal es un ideal principal formado por los múltiplos de un único número no negativo. Sin embargo, en otros anillos, los ideales pueden no corresponder directamente a los elementos del anillo, y ciertas propiedades de los números enteros, cuando se generalizan a los anillos, se vinculan más naturalmente a los ideales que a los elementos del anillo. Por ejemplo, los ideales primos de un anillo son análogos a los números primos , y el teorema chino del resto se puede generalizar a ideales. Existe una versión de factorización prima única para los ideales de un dominio de Dedekind (un tipo de anillo importante en la teoría de números ).

El concepto relacionado, pero distinto, de ideal en la teoría del orden se deriva de la noción de ideal en la teoría de anillos. Un ideal fraccionario es una generalización de un ideal, y los ideales habituales a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.

Historia

Ernst Kummer inventó el concepto de números ideales para que sirvieran como factores "faltantes" en anillos numéricos en los que falla la factorización única; aquí la palabra "ideal" tiene el sentido de existir únicamente en la imaginación, en analogía con los objetos "ideales" en geometría, como los puntos en el infinito. ^[1] En 1876, Richard Dedekind reemplazó el concepto indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que llamó ideales, en la tercera edición del libro de Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie , al que Dedekind había añadido muchos suplementos. ^{[1] [2] [3] Posteriormente,} David Hilbert y especialmente Emmy Noether extendieron la noción más allá de los anillos numéricos hasta el establecimiento de anillos polinomiales y otros anillos conmutativos .

Definiciones

Dado un anillo R , un ideal izquierdo es un subconjunto I de R que es un subgrupo del grupo aditivo de que "absorbe la multiplicación desde la izquierda por elementos de ⁠ ⁠ "; es decir, es un ideal de izquierda si satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle (I,+)}$es un subgrupo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle (R,+)}$ ,
2. Para todos y cada uno ⁠ ⁠ , el producto está en ⁠ ⁠ . ^[4] ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle rx}$ ${\displaystyle I}$

En otras palabras, un ideal izquierdo es un submódulo izquierdo de R , considerado como un módulo izquierdo sobre sí mismo. ^[5]

Un ideal correcto se define de manera similar, con la condición reemplazada por ⁠ ⁠ . Un ideal bilateral es un ideal de izquierda que también es un ideal de derecha. ${\displaystyle rx\in I}$ ${\displaystyle xr\in I}$

Si el anillo es conmutativo , las tres definiciones son iguales, y se habla simplemente de un ideal . En el caso no conmutativo, a menudo se utiliza "ideal" en lugar de "ideal de dos caras".

Si I es un ideal de izquierda, de derecha o de dos lados, la relación

${\displaystyle x-y\in I}$

es una relación de equivalencia en R , y el conjunto de clases de equivalencia forma un módulo izquierdo, derecho o de dos lados denotado y llamado cociente de R por I . ^[6] (Esta es una generalización de la aritmética modular ). ${\displaystyle R/I}$

Si el ideal I tiene dos caras, es un anillo, ^[7] y la función ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R\to R/I}$

que asocia a cada elemento de R su clase de equivalencia es un homomorfismo de anillo sobreyectivo que tiene al ideal como núcleo . ^[8] Por el contrario, el núcleo de un homomorfismo de anillo es un ideal bilateral. Por lo tanto, los ideales bilaterales son exactamente los núcleos de los homomorfismos de anillo.

Nota sobre la convención

Por convención, un anillo tiene identidad multiplicativa. Pero algunos autores no requieren que un anillo tenga la identidad multiplicativa; es decir, para ellos, un anillo es un anillo . Para un rango R , un ideal izquierdo I es un sustituto con la propiedad adicional que está en I para todos y cada uno . (Los ideales derecho y bilateral se definen de manera similar). Para un anillo, un ideal I (digamos un ideal izquierdo) rara vez es un subanillo; Dado que un subanillo comparte la misma identidad multiplicativa con el anillo ambiental R , si fuera un subanillo, para cada , tenemos, es decir ,. ${\displaystyle rx}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle r=r1\in I;}$ ${\displaystyle I=R}$

La noción de ideal no implica asociatividad; por tanto, también se define un ideal para anillos no asociativos (a menudo sin la identidad multiplicativa) como el álgebra de Lie .

Ejemplos y propiedades

(En aras de la brevedad, algunos resultados se indican sólo para ideales de izquierda, pero normalmente también son válidos para ideales de derecha con los cambios de notación apropiados).

• En un anillo R , el propio conjunto R forma un ideal bilateral de R llamado ideal unitario . A menudo también se denota por, ya que es precisamente el ideal bilateral generado (ver más abajo) por la unidad ⁠ ⁠ . Además, el conjunto que consta únicamente de la identidad aditiva 0 _R forma un ideal bilateral llamado ideal cero y se denota por ⁠ ⁠ . ^{[nota 1]} Todo ideal (izquierdo, derecho o bilateral) contiene el ideal cero y está contenido en el ideal unitario. ^[9] ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle 1_{R}}$ ${\displaystyle \{0_{R}\}}$ ${\displaystyle (0)}$
• Un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) que no es el ideal unitario se llama ideal propio (ya que es un subconjunto propio ). ^[10] Nota: un ideal de izquierda es propio si y solo si no contiene un elemento unitario, ya que si es un elemento unitario, entonces para cada ⁠ ⁠ . Normalmente hay muchos ideales adecuados. De hecho, si R es un campo sesgado , entonces son sus únicos ideales y viceversa: es decir, un anillo R distinto de cero es un campo sesgado si son los únicos ideales izquierdo (o derecho). (Prueba: si es un elemento distinto de cero, entonces el ideal principal izquierdo (ver más abajo) es distinto de cero y, por lo tanto , ; es decir, para algunos distintos de cero ⁠ ⁠ . Del mismo modo, para algunos distintos de cero . Entonces .) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle (0),(1)}$ ${\displaystyle (0),(1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle Rx=(1)}$ ${\displaystyle yx=1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle zy=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$
• Los números enteros pares forman un ideal en el anillo de todos los números enteros, ya que la suma de dos números enteros pares cualesquiera es par, y el producto de cualquier número entero por un número entero par también es par; este ideal suele denotarse por ⁠ ⁠ . De manera más general, el conjunto de todos los números enteros divisibles por un número entero fijo es un ideal denotado ⁠ ⁠ . De hecho, todo ideal distinto de cero del anillo es generado por su elemento positivo más pequeño, como consecuencia de la división euclidiana , también lo es un dominio ideal principal . ^[9] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales que son divisibles por el polinomio es un ideal en el anillo de todos los polinomios de coeficientes reales ⁠ ⁠ . ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$
• Tome un anillo y un entero positivo ⁠ ⁠ . Para cada ⁠ ⁠ , el conjunto de todas las matrices con entradas en cuya fila -ésima es cero es un ideal recto en el anillo de todas las matrices con entradas en ⁠ ⁠ . No es un ideal de izquierda. De manera similar, para cada ⁠ ⁠ , el conjunto de todas las matrices cuya -ésima columna es cero es un ideal izquierdo pero no un ideal derecho. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle j}$
• El anillo de todas las funciones continuas desde hasta debajo de la multiplicación puntual contiene el ideal de todas las funciones continuas tales que ⁠ ⁠ . ^[11] Otro ideal en está dado por aquellas funciones que desaparecen para argumentos suficientemente grandes, es decir, aquellas funciones continuas para las cuales existe un número tal que siempre que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=0}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L>0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle \vert x\vert >L}$
• Un anillo se llama anillo simple si es distinto de cero y no tiene ideales bilaterales distintos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0),(1)}$ . Por tanto, un campo sesgado es simple y un anillo conmutativo simple es un campo. El anillo de matriz sobre un campo sesgado es un anillo simple.
• Si es un homomorfismo de anillo , entonces el núcleo es un ideal bilateral de ⁠ ⁠ . ^[9] Por definición, ⁠ ⁠ y, por lo tanto, si no es el anillo cero (entonces ⁠ ⁠ ), entonces es un ideal adecuado. De manera más general, para cada ideal izquierdo I de S , la preimagen es un ideal izquierdo. Si I es un ideal izquierdo de R , entonces es un ideal izquierdo del subanillo de S : a menos que f sea sobreyectivo, no necesita ser un ideal de S ; ver también #Extensión y contracción de un ideal a continuación. ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ ${\displaystyle f(I)}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle f(I)}$
• Correspondencia ideal : dado un homomorfismo de anillo sobreyectivo ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:R\to S}$ , existe una correspondencia biyectiva que preserva el orden entre los ideales izquierdos (respectivamente derechos, de dos lados) que contienen el núcleo de y los ideales izquierdos (resp. derechos, bilaterales) de contener el núcleo de de : la correspondencia está dada por y la preimagen ⁠ ⁠ . Además, para los anillos conmutativos, esta correspondencia biyectiva se restringe a ideales primos, ideales maximales e ideales radicales (consulte la sección Tipos de ideales para conocer las definiciones de estos ideales). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I\mapsto f(I)}$ ${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$
• (Para aquellos que conocen módulos) Si M es un módulo R izquierdo y un subconjunto, entonces el aniquilador de S es un ideal izquierdo. Dados los ideales de un anillo conmutativo R , el R -aniquilador de es un ideal de R llamado cociente ideal de by y se denota por ⁠ ⁠ ; es un ejemplo de idealizador en álgebra conmutativa. ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$
• Sea una cadena ascendente de ideales de izquierda en un anillo R ; es decir, es un conjunto totalmente ordenado y para cada ⁠ ⁠ . Entonces la unión es un ideal de izquierda de R . (Nota: este hecho sigue siendo cierto incluso si R no tiene la unidad 1.) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$
• El hecho anterior junto con el lema de Zorn demuestra lo siguiente: si es un subconjunto posiblemente vacío y es un ideal de izquierda disjunto de E , entonces hay un ideal que es máximo entre los ideales que contienen y disjuntos de E. (Nuevamente, esto sigue siendo válido si el anillo R carece de la unidad 1.) Cuando , tomando y ⁠ ⁠ , en particular, existe un ideal de izquierda que es máximo entre los ideales de izquierda propios (a menudo llamado simplemente ideal de izquierda máximo); consulte el teorema de Krull para obtener más información. ${\displaystyle E\subset R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle R\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$ ${\displaystyle E=\{1\}}$
• Una unión arbitraria de ideales no tiene por qué ser un ideal, pero lo siguiente sigue siendo cierto: dado un subconjunto X posiblemente vacío de R , existe el ideal izquierdo más pequeño que contiene X , llamado ideal izquierdo generado por X y se denota por ⁠ ⁠ ${\displaystyle RX}$ . Tal ideal existe ya que es la intersección de todos los ideales de izquierda que contienen X. De manera equivalente, es el conjunto de todas las R -combinaciones lineales (finitas) izquierdas de elementos de X sobre R : ${\displaystyle RX}$

  ${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$

(dado que tal lapso es el ideal izquierdo más pequeño que contiene X .) ^{[nota 2]} Un ideal derecho (resp. bilateral) generado por X se define de manera similar. Para "dos lados", hay que utilizar combinaciones lineales de ambos lados; es decir,

${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,}$

• Un ideal izquierdo (o derecho, de dos caras) generado por un solo elemento x se llama ideal principal izquierdo (o derecho, de dos caras) generado por x y se denota por (resp. ⁠ ⁠ ). El ideal bilateral principal a menudo también se denota por ⁠ ⁠ . Si es un conjunto finito, entonces también se escribe como ⁠ ⁠ . ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle xR,RxR}$ ${\displaystyle RxR}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle RXR}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$
• Existe una correspondencia biyectiva entre ideales y relaciones de congruencia (relaciones de equivalencia que respetan la estructura del anillo) en el anillo: Dado un ideal de un anillo ⁠ ⁠ , sea si ⁠ ⁠ . Entonces es una relación de congruencia en ⁠ ⁠ . Por el contrario, dada una relación de congruencia en ⁠ ⁠ , sea ⁠ ⁠ . Entonces es un ideal de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y\in I}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

Tipos de ideales

Para simplificar la descripción, se supone que todos los anillos son conmutativos. El caso no conmutativo se analiza en detalle en los artículos respectivos.

Los ideales son importantes porque aparecen como núcleos de homomorfismos de anillos y permiten definir anillos de factores . Se estudian diferentes tipos de ideales porque pueden usarse para construir diferentes tipos de anillos de factores.

• Ideal máximo : Un ideal propio I se llama ideal máximo si no existe otro ideal propioJ con I un subconjunto adecuado de J. El anillo factorial de un ideal máximo es un anillo simple en general y es un campo para anillos conmutativos. ^[12]
• Ideal mínimo : Un ideal distinto de cero se llama mínimo si no contiene ningún otro ideal distinto de cero.
• Ideal primo : Un ideal propiose llama ideal primo si para cualquierayen ⁠ ⁠ , siestá en ⁠ ⁠ , entonces al menos uno deyestá en ⁠ ⁠ . El anillo factorial de un ideal primo es un anillo primo en general y es un dominio integral para anillos conmutativos. ^[13] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$
• Ideal radical o ideal semiprimo : Un ideal propio I se llama radical o semiprimo si para cualquier a en R , si un ⁿ está en I para algún n ,entonces a está en I. El anillo factorial de un ideal radical es un anillo semiprimo para anillos generales y es un anillo reducido para anillos conmutativos.
• Ideal primario : Un ideal I se llama ideal primario si para todos a y b en R , si ab está en I , entonces al menos uno de a y b ⁿ está en I para algún número natural n . Todo ideal primo es primario, pero no a la inversa. Un ideal primario semiprime es primo.
• Ideal principal : Ideal generado por un elemento. ^[14]
• Ideal generado finitamente : este tipo de ideal se genera finitamente como un módulo.
• Ideal primitivo : Un ideal primitivo de izquierda es el aniquilador de un módulo izquierdo simple .
• Ideal irreductible : Se dice que un ideal es irreductible si no puede escribirse como una intersección de ideales que lo contienen propiamente.
• Ideales comaximales : Se dice que dos ideales I , J son comaximales si para algunos y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle x+y=1}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle y\in J}$
• Ideal regular : este término tiene múltiples usos. Consulte el artículo para obtener una lista.
• Ideal nulo : Un ideal es un ideal nulo si cada uno de sus elementos es nilpotente.
• Ideal nilpotente : parte de su potencia es cero.
• Ideal de parámetro : ideal generado por un sistema de parámetros .
• Ideal perfecto : un ideal propio I en un anillo noetherianose llama ideal perfecto si su grado es igual a la dimensión proyectiva del anillo cociente asociado, ^[15] ⁠ ⁠ . Un ideal perfecto es puro . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}$
• Ideal puro : Un ideal propio I en un anillo noetherianose llama ideal puro (en altura) si la altura de I es igual a la altura de cada primo asociado P de R / I . (Esto es más fuerte que decir que R / I es equidimensional . Véase también anillo equidimensional . ${\displaystyle R}$

Otros dos términos importantes que utilizan "ideal" no siempre son ideales de su anillo. Consulte sus respectivos artículos para obtener más detalles:

• Ideal fraccional : generalmente se define cuando R es un dominio conmutativo concampo cociente K. A pesar de sus nombres, los ideales fraccionarios son R submódulos de K con una propiedad especial. Si el ideal fraccionario está contenido enteramente en R , entonces es verdaderamente un idealde R.
• Ideal invertible : Normalmente un ideal invertible A se define como un ideal fraccionario para elcual existe otro ideal fraccionario B tal que AB = BA = R. Algunos autores también pueden aplicar el "ideal invertible" a los ideales de anillo ordinarios A y B con AB = BA = R en anillos distintos de los dominios.

Operaciones ideales

La suma y el producto de ideales se definen de la siguiente manera. Para y ⁠ ⁠ , ideales izquierdos (o derechos) de un anillo R , su suma es ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

que es un ideal de izquierda (o de derecha) y, si son bilaterales, ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

es decir, el producto es el ideal generado por todos los productos de la forma ab con a in y b in ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Tenga en cuenta que el ideal izquierdo (o derecho) más pequeño que contiene tanto y (o la unión ⁠ ⁠ ), mientras que el producto está contenido en la intersección de y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

La ley distributiva es válida para ideales bilaterales ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$ ,

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$ ,
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$ .

Si un producto se reemplaza por una intersección, se cumple una ley distributiva parcial:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

donde la igualdad se cumple si contiene o . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Observación : La suma y la intersección de ideales es nuevamente un ideal; Con estas dos operaciones de unión y encuentro, el conjunto de todos los ideales de un anillo dado forma una red modular completa . La red no es, en general, una red distributiva . Las tres operaciones de intersección, suma (o unión) y producto convierten el conjunto de ideales de un anillo conmutativo en un cuantal .

Si son ideales de un anillo conmutativo R , entonces en los dos casos siguientes (al menos) ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es generado por elementos que forman un módulo de secuencia regular ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ .

(De manera más general, la diferencia entre un producto y una intersección de ideales se mide mediante el functor Tor : ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ . ^[16] )

Un dominio integral se llama dominio de Dedekind si para cada par de ideales existe un ideal tal que ⁠ ⁠ . ^[17] Luego se puede demostrar que cada ideal distinto de cero de un dominio de Dedekind puede escribirse de forma única como un producto de ideales máximos, una generalización del teorema fundamental de la aritmética . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$

Ejemplos de operaciones ideales

en tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

puesto que es el conjunto de números enteros que son divisibles por ambos y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (n)\cap (m)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Deja y deja ⁠ ⁠ . Entonces, ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$y ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$mientras ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$

En el primer cálculo, vemos el patrón general para tomar la suma de dos ideales finitamente generados, es el ideal generado por la unión de sus generadores. En los últimos tres observamos que los productos y las intersecciones concuerdan siempre que los dos ideales se cruzan en el ideal cero. Estos cálculos se pueden verificar usando Macaulay2 . ^{[18] [19] [20]}

radical de un anillo

Los ideales aparecen de forma natural en el estudio de los módulos, especialmente en forma de radical.

Por simplicidad, trabajamos con anillos conmutativos pero, con algunos cambios, los resultados también son válidos para anillos no conmutativos.

Sea R un anillo conmutativo. Por definición, un ideal primitivo de R es el aniquilador de un módulo R simple (distinto de cero) . El radical Jacobson de R es la intersección de todos los ideales primitivos. De manera equivalente, ${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

De hecho, si es un módulo simple y x es un elemento distinto de cero en M , entonces y , es decir, es un ideal máximo. Por el contrario, si es un ideal máximo, entonces es el aniquilador del módulo R simple ⁠ ⁠ . También hay otra caracterización (la prueba no es difícil): ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Rx=M}$ ${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

Para un anillo no necesariamente conmutativo, es un hecho general que es un elemento unitario si y sólo si es (ver enlace) y por lo tanto esta última caracterización muestra que el radical se puede definir tanto en términos de ideales primitivos de izquierda como de derecha. . ${\displaystyle 1-yx}$ ${\displaystyle 1-xy}$

El siguiente hecho simple pero importante ( lema de Nakayama ) está incluido en la definición de un radical de Jacobson: si M es un módulo tal que ⁠ ⁠ ${\displaystyle JM=M}$ , entonces M no admite un submódulo máximo , ya que si hay un submódulo máximo ⁠ ⁠ ${\displaystyle L\subsetneq M}$ , y por tanto ⁠ ⁠ , una contradicción. Dado que un módulo generado finitamente distinto de cero admite un submódulo máximo, en particular, se tiene: ${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$ ${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$

Si y M se genera de forma finita, entonces ⁠ ⁠ . ${\displaystyle JM=M}$ ${\displaystyle M=0}$

Un ideal máximo es un ideal primo y por eso se tiene

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

donde la intersección de la izquierda se llama radical nil de R. Resulta que también lo es el conjunto de elementos nilpotentes de R . ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$

Si R es un anillo artiniano , entonces es nilpotente y ⁠ ⁠ . (Prueba: primero observe que DCC implica para algunos n . Si (DCC) es un ideal propiamente mínimo sobre este último, entonces . Es decir, ⁠ ⁠ , una contradicción.) ${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$ ${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$ ${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$ ${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$

Extensión y contracción de un ideal.

Sean A y B dos anillos conmutativos , y sea f  : A → B un homomorfismo de anillo . Si es un ideal en A , entonces no necesita ser un ideal en B (por ejemplo, tome f como la inclusión del anillo de números enteros Z en el campo de los racionales Q ). La extensión de en B se define como el ideal en B generado por ⁠ ⁠ . Explícitamente, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}}$

Si es un ideal de B , entonces siempre es un ideal de A , llamado contracción de a A . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Suponiendo que f  : A → B es un homomorfismo de anillo, es un ideal en A , es un ideal en B , entonces: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$es primo en B es primo en A . ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}}$

Es falso, en general, que ser primo (o máximo) en A implique que sea primo (o máximo) en B. Muchos ejemplos clásicos de esto provienen de la teoría algebraica de números. Por ejemplo, incrustar ⁠ ⁠ . En , el elemento 2 se factoriza donde (se puede demostrar) ninguno de los dos son unidades en B . Entonces no es primo en B (y por lo tanto tampoco es máximo). De hecho, muestra que ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ y por lo tanto ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$ ${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$ ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$ ${\displaystyle 1+i,1-i}$ ${\displaystyle (2)^{e}}$ ${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$ ${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$ ${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$ ${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$

Por otro lado, si f es sobreyectiva y entonces: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}}$ .
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal primo en A es un ideal primo en B . ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal máximo en A es un ideal máximo en B . ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$

Observación : Sea K una extensión de campo de L y sean B y A los anillos de números enteros de K y L , respectivamente. Entonces B es una extensión integral de A , y dejamos que f sea el mapa de inclusión de A a B. El comportamiento de un ideal primo de A bajo extensión es uno de los problemas centrales de la teoría algebraica de números . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$

A veces resulta útil lo siguiente: ^[21] un ideal primo es una contracción de un ideal primo si y sólo si ⁠ ⁠ . (Prueba: Suponiendo esto último, nota se cruza con ⁠ ⁠ , una contradicción. Ahora, los ideales primos de corresponden a aquellos en B que son disjuntos de ⁠ ⁠ . Por lo tanto, hay un ideal primo de B , disjunto de ⁠ ⁠ , tal que es un ideal máximo que contiene ⁠ ⁠ . Luego se comprueba que se encuentra sobre ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Generalizaciones

Los ideales se pueden generalizar a cualquier objeto monoide ⁠ ⁠ ${\displaystyle (R,\otimes )}$ , donde está el objeto donde se ha olvidado la estructura monoide . Un ideal izquierdo de es un subobjeto que "absorbe la multiplicación de la izquierda por elementos de ⁠ ⁠ "; es decir, es un ideal de izquierda si satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle I}$es un subobjeto de ${\displaystyle R}$
2. Para todos y cada uno ⁠ ⁠ , el producto está en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$ ${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$ ${\displaystyle r\otimes x}$ ${\displaystyle (I,\otimes )}$

Un ideal correcto se define con la condición " ⁠ ⁠ ${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$ " reemplazada por "' ⁠ ⁠ ${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$ ". Un ideal bilateral es un ideal de izquierda que también es un ideal de derecha y, a veces, se le llama simplemente ideal. Cuando es un objeto monoide conmutativo respectivamente, las definiciones de ideal izquierdo, derecho e ideal de dos lados coinciden, y el término ideal se usa solo. ${\displaystyle R}$

Un ideal también puede considerarse como un tipo específico de módulo R. Si lo consideramos como un módulo izquierdo (por multiplicación por la izquierda), entonces un ideal izquierdo es en realidad solo un submódulo izquierdo de ⁠ ⁠ . En otras palabras, es un ideal izquierdo (derecho) de si y solo si es un módulo izquierdo (derecho) que es un subconjunto de ⁠ ⁠ . es un ideal bilateral si es un sub- bimódulo de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplo: si dejamos ⁠ ⁠ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ , un ideal de es un grupo abeliano que es un subconjunto de ⁠ ⁠ , es decir, para algunos ⁠ ⁠ . Entonces estos dan todos los ideales de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ver también

• Aritmética modular
• Teorema del isomorfismo de Noether
• Teorema del ideal primo booleano
• teoría ideal
• Ideal (teoría del orden)
• norma ideal
• División de ideales primarios en extensiones de Galois
• Gavilla ideal

Notas

1. Algunos autores llaman a los ideales cero y unitario de un anillo R los ideales triviales de R.
2. Si R no tiene una unidad, entonces las descripciones internas anteriores deben modificarse ligeramente. Además de las sumas finitas de productos de cosas en X con cosas en R , debemos permitir la suma de n sumas de la forma x + x + ... + x , y n sumas de la forma (− x ) + (− x ) + ... + (− x ) para cada x en X y cada n en los números naturales. Cuando R tiene una unidad, este requisito adicional se vuelve superfluo.

Referencias

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4. Dummit y Foote 2004, pág. 242
5. Dummit & Foote 2004, § 10.1., Ejemplos (1).
6. Dummit & Foote 2004, § 10.1., Proposición 3.
7. Dummit y Foote 2004, cap. 7, Proposición 6.
8. Dummit y Foote 2004, cap. 7, Teorema 7.
9. Dummit y Foote (2004), pág. 243.
10. Lang 2005, sección III.2
11. Dummit y Foote (2004), pág. 244.
12. Porque los anillos conmutativos simples son campos. Véase Lam (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos. pag. 39.
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Enlaces externos

• Levinson, Jake (14 de julio de 2014). "¿La interpretación geométrica para la extensión de ideales?". Intercambio de pila .