En geometría , un icosidodecaedro o girobirotunda pentagonal es un poliedro con veinte ( icosi ) caras triangulares y doce ( dodeca ) caras pentagonales . Un icosidodecaedro tiene 30 vértices idénticos , con dos triángulos y dos pentágonos que se unen en cada uno, y 60 aristas idénticas, cada una de las cuales separa un triángulo de un pentágono. Como tal, es uno de los sólidos de Arquímedes y, más particularmente, un poliedro cuasiregular .
Una forma de construir el icosidodecaedro es comenzar con dos rotondas pentagonales uniéndolas a sus bases. Estas rotondas cubren su base decagonal de modo que el poliedro resultante tiene 32 caras, 30 vértices y 60 aristas. Esta construcción es similar a uno de los sólidos de Johnson , la ortobirotunda pentagonal . La diferencia es que el icosidodecaedro se construye girando sus rotondas 36°, un proceso conocido como giro , que da como resultado que la cara pentagonal se conecte con la triangular. El icosidodecaedro tiene un nombre alternativo, girobirotunda pentagonal . [1] [2]
Las coordenadas cartesianas convenientes para los vértices de un icosidodecaedro con aristas unitarias vienen dadas por las permutaciones pares de: donde denota la proporción áurea . [3]
El área de superficie de un icosidodecaedro se puede determinar calculando el área de todas las caras pentagonales. El volumen de un icosidodecaedro se puede determinar cortándolo en dos rotondas pentagonales y luego sumando sus volúmenes. Por lo tanto, su área de superficie y volumen se pueden formular como: [1]
El ángulo diédrico de un icosidodecaedro entre un pentágono y un triángulo se determina calculando el ángulo de una rotonda pentagonal. [4]
Un icosidodecaedro tiene simetría icosaédrica , y su primera estelación es el compuesto de un dodecaedro y su icosaedro dual , con los vértices del icosidodecaedro ubicados en los puntos medios de los bordes de cualquiera de ellos.
El icosidodecaedro es un sólido de Arquímedes , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. [5] Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son dos triángulos equiláteros y dos pentágonos regulares, y la figura del vértice de un icosidodecaedro es . Su poliedro dual es el triacontaedro rómbico , un sólido catalán . [4]
El icosidodecaedro tiene 6 decágonos centrales . Proyectados en una esfera, definen 6 grandes círculos . Fuller (1975) utilizó estos 6 grandes círculos, junto con otros 15 y 10 en otros dos poliedros para definir sus 31 grandes círculos del icosaedro esférico . [6]
El radio largo (del centro al vértice) del icosidodecaedro está en la proporción áurea con respecto a la longitud de su borde; por lo tanto, su radio es si la longitud de su borde es 1, y su longitud de borde es si su radio es 1. [4] Sólo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluido el cuatridimensional de 600 celdas , el icosidodecaedro tridimensional y el decágono bidimensional . (El icosidodecaedro es la sección transversal ecuatorial de las 600 celdas, y el decágono es la sección transversal ecuatorial del icosidodecaedro). Estos politopos radialmente dorados se pueden construir, con sus radios, a partir de triángulos dorados que se encuentran en el centro, cada uno aporta dos radios y una arista.
El icosidodecaedro es un dodecaedro rectificado y también un icosaedro rectificado , existiendo como el truncamiento de borde completo entre estos sólidos regulares.
El icosidodecaedro contiene 12 pentágonos del dodecaedro y 20 triángulos del icosaedro :
El icosidodecaedro existe en una secuencia de simetrías de poliedros cuasiregulares y mosaicos con configuraciones de vértice (3. n ) 2 , progresando desde mosaicos de la esfera al plano euclidiano y al plano hiperbólico. Con simetría de notación orbifold de * n 32, todos estos mosaicos son construcciones de Wythoff dentro de un dominio de simetría fundamental, con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio. [7] [8]
El cubo truncado se puede convertir en un icosidodecaedro dividiendo los octágonos en dos pentágonos y dos triángulos. Tiene simetría piritoédrica .
Ocho poliedros estelares uniformes comparten la misma disposición de vértices . De estos, dos también comparten la misma disposición de bordes : el icosihemidodecaedro pequeño (que tiene las caras triangulares en común) y el dodecahemidodecaedro pequeño (que tiene las caras pentagonales en común). La disposición de los vértices también se comparte con los compuestos de cinco octaedros y de cinco tetrahemihexaedros .
En geometría de cuatro dimensiones, el icosidodecaedro aparece en las 600 celdas regulares como el corte ecuatorial que pertenece al primer paso del vértice de las 600 celdas a través del espacio 3D. En otras palabras: los 30 vértices de las 600 celdas que se encuentran a distancias de arco de 90 grados en su hiperesfera circunscrita desde un par de vértices opuestos, son los vértices de un icosidodecaedro. La figura de estructura alámbrica de 600 celdas consta de 72 decágonos regulares planos. Seis de ellos son los decágonos ecuatoriales de un par de vértices opuestos, y estos seis forman la figura alámbrica de un icosidodecaedro.
Si se proyecta estereográficamente una celda de 600 en un espacio tridimensional alrededor de cualquier vértice y todos los puntos están normalizados, las geodésicas sobre las cuales caen los bordes comprenden la subdivisión baricéntrica del icosidodecaedro .
El esqueleto de un icosidodecaedro se puede representar como el grafo de 30 vértices y 60 aristas, uno de los grafos de Arquímedes . Es cuártico , lo que significa que cada uno de sus vértices está conectado por otros cuatro vértices. [9]
El icosidodecaedro puede aparecer en forma estructural, como en la cúpula geodésica de la esfera de Hoberman .
Los icosidodecaedros se pueden encontrar en todas las células eucariotas, incluidas las células humanas, como formaciones de proteína de cubierta Sec13/31 COPII . [10]
El icosidodecaedro también puede encontrarse en la cultura popular. En el universo Star Trek , el juego de lógica vulcano Kal-Toh tiene como objetivo crear una forma con dos icosidodecaedros holográficos anidados unidos en los puntos medios de sus segmentos.
