Geodésico

Trayectoria recta sobre una superficie curva o una variedad de Riemann

Klein cuártica con 28 geodésicas (marcadas con 7 colores y 4 patrones)

En geometría , una geodésica ( /ˌdʒiː.əˈdɛsɪk,-oʊ-,-ˈdiːsɪk,-zɪk/ ) [ 1 ^] [ ^2] es una curva que representa en cierto sentido el camino más corto [ a] ( arco ⁾ entre dos puntos en una superficie , o más generalmente en una variedad de Riemann . El término también tiene significado en cualquier variedad diferenciable con una conexión . Es una generalización de la noción de " línea recta " .

El sustantivo geodésico y el adjetivo geodésico provienen de geodesia , la ciencia de medir el tamaño y la forma de la Tierra , aunque muchos de los principios subyacentes se pueden aplicar a cualquier geometría elipsoidal . En el sentido original, una geodésica era la ruta más corta entre dos puntos en la superficie de la Tierra . Para una Tierra esférica , es un segmento de un círculo máximo (ver también distancia de círculo máximo ). Desde entonces, el término se ha generalizado a espacios matemáticos más abstractos; por ejemplo, en teoría de grafos , se podría considerar una geodésica entre dos vértices /nodos de un grafo .

En una variedad o subvariedad riemanniana , las geodésicas se caracterizan por la propiedad de tener una curvatura geodésica que se desvanece . De manera más general, en presencia de una conexión afín , una geodésica se define como una curva cuyos vectores tangentes permanecen paralelos si son transportados a lo largo de ella. Aplicando esto a la conexión de Levi-Civita de una métrica riemanniana se recupera la noción anterior.

Las geodésicas son de particular importancia en la relatividad general . Las geodésicas temporales en la relatividad general describen el movimiento de partículas de prueba en caída libre .

Introducción

Un camino localmente más corto entre dos puntos dados en un espacio curvo, asumiendo que ^[a] es una variedad de Riemann , se puede definir utilizando la ecuación para la longitud de una curva (una función f desde un intervalo abierto de R hasta el espacio), y luego minimizando esta longitud entre los puntos utilizando el cálculo de variaciones . Esto tiene algunos problemas técnicos menores porque hay un espacio de dimensión infinita de diferentes formas de parametrizar el camino más corto. Es más simple restringir el conjunto de curvas a aquellas que están parametrizadas "con velocidad constante" 1, lo que significa que la distancia desde f ( s ) a f ( t ) a lo largo de la curva es igual a | s − t |. Equivalentemente, se puede utilizar una cantidad diferente, denominada energía de la curva; minimizar la energía conduce a las mismas ecuaciones para una geodésica (aquí la "velocidad constante" es una consecuencia de la minimización). ^{[ cita requerida ]} Intuitivamente, se puede entender esta segunda formulación al observar que una banda elástica estirada entre dos puntos contraerá su ancho y, al hacerlo, minimizará su energía. La forma resultante de la banda es una geodésica.

Es posible que varias curvas diferentes entre dos puntos minimicen la distancia, como sucede con dos puntos diametralmente opuestos en una esfera. En tal caso, cualquiera de estas curvas es una geodésica.

Un segmento contiguo de una geodésica es a su vez una geodésica.

En general, las geodésicas no son lo mismo que las "curvas más cortas" entre dos puntos, aunque los dos conceptos están estrechamente relacionados. La diferencia es que las geodésicas son sólo localmente la distancia más corta entre puntos, y están parametrizadas con una "velocidad constante". Recorrer el "camino largo" en un círculo máximo entre dos puntos de una esfera es una geodésica, pero no el camino más corto entre los puntos. La función del intervalo unitario en la línea de números reales hacia sí misma da el camino más corto entre 0 y 1, pero no es una geodésica porque la velocidad del movimiento correspondiente de un punto no es constante. ${\displaystyle t\to t^{2}}$

Las geodésicas se ven comúnmente en el estudio de la geometría de Riemann y, de manera más general, de la geometría métrica . En la relatividad general , las geodésicas en el espacio-tiempo describen el movimiento de partículas puntuales bajo la influencia de la gravedad únicamente. En particular, la trayectoria que sigue una roca que cae, un satélite en órbita o la forma de una órbita planetaria son todas geodésicas ^[b] en el espacio-tiempo curvo. De manera más general, el tema de la geometría sub-riemanniana trata de las trayectorias que pueden tomar los objetos cuando no son libres y su movimiento está restringido de varias maneras.

Este artículo presenta el formalismo matemático involucrado en la definición, el hallazgo y la prueba de la existencia de geodésicas, en el caso de variedades de Riemann . El artículo Conexión de Levi-Civita analiza el caso más general de una variedad pseudo-riemanniana y geodésica (relatividad general) analiza el caso especial de la relatividad general con mayor detalle.

Ejemplos

Una geodésica sobre un elipsoide triaxial .

Si un insecto se coloca sobre una superficie y camina continuamente "hacia adelante", por definición trazará una geodésica.

Los ejemplos más conocidos son las líneas rectas en la geometría euclidiana . En una esfera , las imágenes de las geodésicas son los círculos máximos . El camino más corto desde el punto A al punto B en una esfera está dado por el arco más corto del círculo máximo que pasa por A y B. Si A y B son puntos antípodas , entonces hay infinitos caminos más cortos entre ellos. Las geodésicas en un elipsoide se comportan de una manera más complicada que en una esfera; en particular, no son cerradas en general (ver figura).

Triángulos

Un triángulo geodésico en la esfera.

Un triángulo geodésico se forma mediante las geodésicas que unen cada par de tres puntos de una superficie dada. En la esfera, las geodésicas son arcos de círculo máximo que forman un triángulo esférico .

Triángulos geodésicos en espacios de curvatura positiva (arriba), negativa (medio) y cero (abajo).

Geometría métrica

En geometría métrica , una geodésica es una curva que es en todas partes localmente un minimizador de distancias . Más precisamente, una curva γ  : I → M desde un intervalo I de los reales hasta el espacio métrico M es una geodésica si existe una constante v ≥ 0 tal que para cualquier t ∈ I existe un entorno J de t en I tal que para cualquier t ₁ ,  t ₂ ∈ J tenemos

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Esto generaliza la noción de geodésica para variedades de Riemann. Sin embargo, en geometría métrica la geodésica considerada a menudo está equipada con parametrización natural , es decir, en la identidad anterior v  = 1 y

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Si la última igualdad se satisface para todo t ₁ , t ₂ ∈ I , la geodésica se denomina geodésica minimizadora o camino más corto .

En general, un espacio métrico puede no tener geodésicas, excepto curvas constantes. En el otro extremo, dos puntos cualesquiera en un espacio métrico de longitud están unidos por una secuencia minimizadora de caminos rectificables , aunque esta secuencia minimizadora no necesita converger a una geodésica.

Geometría de Riemann

En una variedad riemanniana M con tensor métrico g , la longitud L de una curva continuamente diferenciable γ : [ a , b ] →  M está definida por

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

La distancia d ( p ,  q ) entre dos puntos p y q de M se define como el ínfimo de la longitud tomada sobre todas las curvas continuas, diferenciables por partes γ : [ a , b ] →  M tales que γ( a ) =  p y γ( b ) =  q . En geometría de Riemann, todas las geodésicas son caminos que minimizan localmente la distancia, pero lo inverso no es cierto. De hecho, solo los caminos que minimizan localmente la distancia y están parametrizados proporcionalmente a la longitud del arco son geodésicas. Otra forma equivalente de definir geodésicas en una variedad de Riemann es definirlas como los mínimos de la siguiente acción o función de energía

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

Todos los mínimos de E son también mínimos de L , pero L es un conjunto más grande ya que las trayectorias que son mínimos de L pueden volver a parametrizarse arbitrariamente (sin cambiar su longitud), mientras que los mínimos de E no. Para una curva por partes (más generalmente, una curva), la desigualdad de Cauchy-Schwarz da ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle W^{1,2}}$

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )}$

con igualdad si y solo si es igual a una ae constante; el camino debe recorrerse a velocidad constante. Sucede que los minimizadores de también minimizan , porque resultan estar parametrizados de manera afín, y la desigualdad es una igualdad. La utilidad de este enfoque es que el problema de buscar minimizadores de E es un problema variacional más robusto. De hecho, E es una "función convexa" de , de modo que dentro de cada clase de isotopía de "funciones razonables", uno debería esperar la existencia, unicidad y regularidad de minimizadores. En contraste, los "minimizadores" del funcional generalmente no son muy regulares, porque se permiten reparametrizaciones arbitrarias. ${\displaystyle g(\gamma ',\gamma ')}$ ${\displaystyle E(\gamma )}$ ${\displaystyle L(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle L(\gamma )}$

Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para la función E se dan entonces en coordenadas locales mediante

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

¿Dónde están los símbolos de Christoffel de la métrica? Esta es la ecuación geodésica , que se analiza a continuación. ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

Cálculo de variaciones

Se pueden aplicar técnicas del cálculo clásico de variaciones para examinar la función de energía E . La primera variación de energía se define en coordenadas locales por

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}$

Los puntos críticos de la primera variante son precisamente las geodésicas. La segunda variante está definida por

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

En un sentido apropiado, los ceros de la segunda variación a lo largo de una geodésica γ surgen a lo largo de los campos de Jacobi . Por lo tanto, los campos de Jacobi se consideran variaciones a través de geodésicas.

Aplicando técnicas variacionales de la mecánica clásica , también se pueden considerar las geodésicas como flujos hamiltonianos . Son soluciones de las ecuaciones de Hamilton asociadas , con la métrica (pseudo)riemanniana tomada como hamiltoniana .

Geodésicas afines

Una geodésica en una variedad suave M con una conexión afín ∇ se define como una curva γ( t ) tal que el transporte paralelo a lo largo de la curva preserva el vector tangente a la curva, por lo que

en cada punto de la curva, donde es la derivada con respecto a . Más precisamente, para definir la derivada covariante de es necesario primero extender a un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto . Sin embargo, el valor resultante de ( 1 ) es independiente de la elección de la extensión. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

Usando coordenadas locales en M , podemos escribir la ecuación geodésica (usando la convención de suma ) como

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

donde son las coordenadas de la curva γ( t ) y son los símbolos de Christoffel de la conexión ∇. Esta es una ecuación diferencial ordinaria para las coordenadas. Tiene una solución única, dada una posición inicial y una velocidad inicial. Por lo tanto, desde el punto de vista de la mecánica clásica , las geodésicas pueden considerarse como trayectorias de partículas libres en una variedad. De hecho, la ecuación significa que el vector de aceleración de la curva no tiene componentes en la dirección de la superficie (y, por lo tanto, es perpendicular al plano tangente de la superficie en cada punto de la curva). Entonces, el movimiento está completamente determinado por la flexión de la superficie. Esta es también la idea de la relatividad general donde las partículas se mueven en geodésicas y la flexión es causada por la gravedad. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

Existencia y singularidad

El teorema de existencia local y unicidad para geodésicas establece que las geodésicas en una variedad suave con una conexión afín existen y son únicas. Más precisamente:

Para cualquier punto p en M y para cualquier vector V en T _p M (el espacio tangente a M en p ) existe una geodésica única  : I → M tal que ${\displaystyle \gamma \,}$

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$y

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

donde I es un intervalo abierto máximo en R que contiene 0.

La prueba de este teorema se desprende de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , al observar que la ecuación geodésica es una EDO de segundo orden. La existencia y unicidad se desprenden entonces del teorema de Picard-Lindelöf para las soluciones de EDO con condiciones iniciales prescritas. γ depende suavemente tanto de p como  de V .

En general, I puede no ser todo R como por ejemplo para un disco abierto en R ² . Cualquier γ se extiende a todo ℝ si y solo si M es geodésicamente completo .

Flujo geodésico

El flujo geodésico es una acción R local sobre el fibrado tangente TM de una variedad M definida de la siguiente manera

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

donde t  ∈  R , V  ∈  TM y denota la geodésica con datos iniciales . Por lo tanto, es el mapa exponencial del vector tV . Una órbita cerrada del flujo geodésico corresponde a una geodésica cerrada en  M . ${\displaystyle \gamma _{V}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$ ${\displaystyle G^{t}(V)=\exp(tV)}$

En una variedad (pseudo)riemanniana, el flujo geodésico se identifica con un flujo hamiltoniano en el fibrado cotangente. El hamiltoniano viene dado entonces por la inversa de la métrica (pseudo)riemanniana, evaluada frente a la forma única canónica . En particular, el flujo conserva la métrica (pseudo)riemanniana , es decir ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

En particular, cuando V es un vector unitario, la velocidad unitaria permanece constante, por lo que el flujo geodésico es tangente al fibrado tangente unitario . El teorema de Liouville implica la invariancia de una medida cinemática en el fibrado tangente unitario. ${\displaystyle \gamma _{V}}$

Pulverización geodésica

El flujo geodésico define una familia de curvas en el fibrado tangente . Las derivadas de estas curvas definen un campo vectorial en el espacio total del fibrado tangente, conocido como rociado geodésico .

Más precisamente, una conexión afín da lugar a una división del fibrado doble tangente TT M en fibrados horizontales y verticales :

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

La pulverización geodésica es el único campo vectorial horizontal W que satisface

${\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}$

en cada punto v  ∈ T M ; aquí π _∗  : TT ​​M  → T M denota el empuje hacia delante (diferencial) a lo largo de la proyección π  : T M  →  M asociada al fibrado tangente.

De manera más general, la misma construcción permite construir un campo vectorial para cualquier conexión de Ehresmann en el fibrado tangente. Para que el campo vectorial resultante sea un spray (en el fibrado tangente eliminado T M  \ {0}) es suficiente que la conexión sea equivariante bajo reescalamientos positivos: no necesita ser lineal. Es decir, (cf. Conexión de Ehresmann#Fibrados vectoriales y derivadas covariantes ) es suficiente que la distribución horizontal satisfaga

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

para cada X  ∈ T M  \ {0} y λ > 0. Aquí d ( S _λ ) es el empuje hacia adelante a lo largo de la homotecia escalar . Un caso particular de una conexión no lineal que surge de esta manera es el asociado a una variedad de Finsler . ${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$

Geodésicas afines y proyectivas

La ecuación ( 1 ) es invariante bajo reparametrizaciones afines; es decir, parametrizaciones de la forma

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

donde a y b son números reales constantes. Por lo tanto, además de especificar una cierta clase de curvas embebidas, la ecuación geodésica también determina una clase preferida de parametrizaciones en cada una de las curvas. En consecuencia, las soluciones de ( 1 ) se denominan geodésicas con parámetro afín .

Una conexión afín está determinada por su familia de geodésicas parametrizadas afínmente, hasta la torsión (Spivak 1999, Capítulo 6, Apéndice I). La torsión en sí misma, de hecho, no afecta a la familia de geodésicas, ya que la ecuación geodésica depende solo de la parte simétrica de la conexión. Más precisamente, si son dos conexiones tales que el tensor de diferencia ${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

es antisimétrico , entonces y tienen las mismas geodésicas, con las mismas parametrizaciones afines. Además, existe una conexión única que tiene las mismas geodésicas que , pero con torsión que se desvanece. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ ${\displaystyle \nabla }$

Las geodésicas sin una parametrización particular se describen mediante una conexión proyectiva .

Métodos computacionales

^{Mitchell, [3]} Kimmel, ^[4] Crane, ^[5] y otros han propuesto solucionadores eficientes para el problema geodésico mínimo en superficies .

Prueba de cinta

Una "prueba" de cinta es una forma de encontrar una geodésica en una superficie física. ^[6] La idea es colocar un trozo de papel alrededor de una línea recta (una cinta) sobre una superficie curva lo más cerca posible sin estirar ni aplastar la cinta (sin cambiar su geometría interna).

Por ejemplo, cuando se enrolla una cinta alrededor de un cono, la cinta no quedaría sobre la superficie del cono, sino que sobresaldría, de modo que el círculo no sería una geodésica sobre el cono. Si se ajusta la cinta de modo que todas sus partes toquen la superficie del cono, daría una aproximación a una geodésica.

Matemáticamente, la prueba de la cinta se puede formular como la búsqueda de una aplicación de un vecindario de una línea en un plano en una superficie de modo que la aplicación "no cambie mucho las distancias alrededor"; es decir, a la distancia desde tenemos donde y son métricas en y . ${\displaystyle f:N(\ell )\to S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle g_{N}}$ ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

Aplicaciones

Las geodésicas sirven como base para calcular:

• fuselajes geodésicos; ver fuselaje geodésico o fuselaje geodésico
• Estructuras geodésicas, por ejemplo, domos geodésicos .
• distancias horizontales sobre o cerca de la Tierra; ver geodésicas de la Tierra
• mapeo de imágenes sobre superficies, para renderizado; ver mapeo UV
• Planificación del movimiento del robot (por ejemplo, al pintar piezas de un automóvil); consulte el problema de la ruta más corta
• Corrección de la ruta geodésica más corta (GSP) sobre la reconstrucción de la superficie de Poisson (por ejemplo, en odontología digital ); sin GSP, la reconstrucción a menudo da como resultado autointersecciones dentro de la superficie

Véase también

• Introducción a las matemáticas de la relatividad general
• Relación de Clairaut  – Fórmula en geometría diferencial clásicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Curva diferenciable  – Estudio de las curvas desde un punto de vista diferencial
• Geometría diferencial de superficies
• Círculo geodésico
• Teorema de Hopf-Rinow  : proporciona afirmaciones equivalentes sobre la completitud geodésica de las variedades de Riemann.
• Métrica intrínseca  : concepto en geometría/topología
• Línea isótropa  : línea a lo largo de la cual una forma cuadrática aplicada al desplazamiento de dos puntos cualesquiera es cero
• Campo de Jacobi
• Teoría de Morse  : analiza la topología de una variedad estudiando funciones diferenciables en esa variedad.
• Superficie de Zoll  : superficie homeomorfa de una esfera
• El problema de la araña y la mosca  – Problema de la geodésica recreativa

Notas

1. Para una variedad pseudo-riemanniana , por ejemplo, una variedad lorentziana , la definición es más complicada.
2. La ruta es un máximo local del intervalo k en lugar de un mínimo local.

Referencias

1. "geodésico". Diccionario de inglés Lexico UK . Oxford University Press . Archivado desde el original el 16 de marzo de 2020.
2. "geodésico". Diccionario Merriam-Webster.com . Merriam-Webster.
3. Mitchell, J.; Mount, D.; Papadimitriou, C. (1987). "El problema geodésico discreto". Revista SIAM de informática . 16 (4): 647–668. doi :10.1137/0216045.
4. Kimmel, R.; Sethian, JA (1998). "Computing Geodesic Paths on Manifolds" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 95 (15): 8431–8435. Bibcode :1998PNAS...95.8431K. doi : 10.1073/pnas.95.15.8431 . PMC 21092 . PMID  9671694. Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09. 
5. Crane, K.; Weischedel, C.; Wardetzky, M. (2017). "El método del calor para el cálculo de distancias". Comunicaciones de la ACM . 60 (11): 90–99. doi :10.1145/3131280. S2CID  7078650.
6. Michael Stevens (2 de noviembre de 2017), [1] .

• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (volumen 2) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3

Lectura adicional

• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), Introducción a la relatividad general (2.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8. Véase el capítulo 2 .
• Abraham, Ralph H. ; Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1. Véase la sección 2.7 .
• Jost, Jürgen (2002), Geometría riemanniana y análisis geométrico , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. Véase la sección 1.4 .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 (nueva edición), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975), Teoría clásica de campos , Oxford: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9. Véase la sección 87 .
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Ortín, Tomás (2004), Gravedad y cuerdas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Tenga en cuenta especialmente las páginas 7 y 10.
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "Línea geodésica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. Véase el capítulo 3 .

Enlaces externos

• Geodésica revisitada: introducción a la geodésica que incluye dos formas de derivación de la ecuación geodésica con aplicaciones en geometría (geodésica en una esfera y en un toro ), mecánica ( braquistócrona ) y óptica (haz de luz en un medio no homogéneo).
• Subvariedad totalmente geodésica en el Atlas de variedades