En geometría , una hipocicloide es una curva plana especial generada por el trazo de un punto fijo en un círculo pequeño que rueda dentro de un círculo más grande. A medida que aumenta el radio del círculo más grande, la hipocicloide se vuelve más parecida a la cicloide creada al girar un círculo sobre una línea.
El hipocicloide de dos cúspides llamado par Tusi fue descrito por primera vez por el astrónomo y matemático persa del siglo XIII Nasir al-Din al-Tusi en Tahrir al-Majisti (Comentario al Almagesto) . [1] [2] El pintor alemán y teórico del Renacimiento alemán Alberto Durero describió las epitrocoides en 1525, y más tarde Roemer y Bernoulli se concentraron en algunas hipocicloides específicas, como el astroide, en 1674 y 1691, respectivamente. [3]
Si el círculo más pequeño tiene radio r y el círculo más grande tiene radio R = kr , entonces las ecuaciones paramétricas para la curva se pueden dar mediante: o bien:
Si k es un entero, entonces la curva es cerrada y tiene k cúspides (es decir, esquinas agudas, donde la curva no es diferenciable ). Especialmente para k = 2 la curva es una línea recta y los círculos se denominan par de Tusi. Nasir al-Din al-Tusi fue el primero en describir estas hipocicloides y sus aplicaciones a la impresión de alta velocidad . [4] [5]
Si k es un número racional , digamos k = p / q expresado en términos más simples, entonces la curva tiene p cúspides.
Si k es un número irracional , entonces la curva nunca se cierra y llena el espacio entre el círculo más grande y un círculo de radio R − 2 r .
Cada hipocicloide (para cualquier valor de r ) es una braquistócrona para el potencial gravitacional dentro de una esfera homogénea de radio R. [6 ]
El área encerrada por una hipocicloide viene dada por: [3] [7]
La longitud de arco de un hipocicloide viene dada por: [7]
El hipocicloide es un tipo especial de hipotrocoide , que es un tipo particular de ruleta .
Un hipocicloide con tres cúspides se conoce como deltoides .
Una curva hipocicloide con cuatro cúspides se conoce como astroide .
El hipocicloide con dos "cúspides" es un caso degenerado pero aún muy interesante, conocido como el par de Tusi .
Cualquier hipocicloide con un valor entero de k y, por lo tanto, k cúspides, puede moverse cómodamente dentro de otro hipocicloide con k +1 cúspides, de modo que las puntas del hipocicloide más pequeño siempre estarán en contacto con el más grande. Este movimiento parece un 'rodamiento', aunque técnicamente no lo es en el sentido de la mecánica clásica, ya que implica deslizamiento.
Las formas hipocicloides pueden relacionarse con grupos unitarios especiales , denominados SU( k ), que consisten en matrices unitarias k × k con determinante 1. Por ejemplo, los valores permitidos de la suma de las entradas diagonales para una matriz en SU(3), son precisamente los puntos en el plano complejo que se encuentran dentro de una hipocicloide de tres cúspides (un deltoide). De la misma manera, la suma de las entradas diagonales de las matrices SU(4) da como resultado puntos dentro de una astroide, y así sucesivamente.
Gracias a este resultado, se puede utilizar el hecho de que SU( k ) encaja dentro de SU( k+1 ) como un subgrupo para demostrar que un epicicloide con k cúspides se mueve cómodamente dentro de uno con k +1 cúspides. [8] [9]
La evoluta de un hipocicloide es una versión ampliada del propio hipocicloide, mientras que la involuta de un hipocicloide es una copia reducida de sí mismo. [10]
El pedal de un hipocicloide con polo en el centro del hipocicloide es una curva en forma de rosa .
La isóptica de un hipocicloide es un hipocicloide.
Con el juguete Spirograph se pueden dibujar curvas similares a las hipocicloides . En concreto, el Spirograph puede dibujar hipotrocoides y epitrocoides .
El logo de los Pittsburgh Steelers , que se basa en el Steelmark , incluye tres astroides (hipocicloides de cuatro cúspides ). En su columna semanal de NFL.com "Tuesday Morning Quarterback", Gregg Easterbrook a menudo se refiere a los Steelers como los Hipocicloides. El equipo de fútbol chileno CD Huachipato basó su escudo en el logo de los Steelers y, como tal, presenta hipocicloides.
La primera temporada de The Price Is Right de Drew Carey presenta astroides en las tres puertas principales, una etiqueta gigante con el precio y el área del plato giratorio. Los astroides en las puertas y el plato giratorio se eliminaron cuando el programa cambió a transmisiones en alta definición a partir de 2008, y solo el accesorio de la etiqueta gigante con el precio todavía los presenta hoy. [11]
Las primeras experiencias demostraron que el mecanismo hipocicloidal no era estructuralmente adecuado para transmitir las grandes fuerzas desarrolladas por el pistón de una máquina de vapor. Pero el mecanismo había demostrado su capacidad para convertir el movimiento lineal en movimiento rotatorio y, por lo tanto, encontró aplicaciones alternativas de baja carga, como el accionamiento de máquinas de impresión y máquinas de coser.
G. Cardano fue el primero en describir aplicaciones de hipocicloides en la tecnología de imprenta de alta velocidad (1570).
el centro de la bandera hay una estrella, técnicamente una hipocicloide, que representa la ciudad en la confluencia de los dos ríos.
