presentación de un grupo

Especificación de un grupo matemático mediante generadores y relaciones.

En matemáticas , una presentación es un método para especificar un grupo . Una presentación de un grupo G comprende un conjunto S de generadores (de modo que cada elemento del grupo puede escribirse como un producto de potencias de algunos de estos generadores) y un conjunto R de relaciones entre esos generadores. Entonces decimos que G tiene presentación.

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

Informalmente, G tiene la presentación anterior si es el "grupo más libre" generado por S sujeto únicamente a las relaciones R. Formalmente, se dice que el grupo G tiene la presentación anterior si es isomorfo al cociente de un grupo libre en S por el subgrupo normal generado por las relaciones R.

Como ejemplo simple, el grupo cíclico de orden n tiene la presentación

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle ,}$

donde 1 es la identidad del grupo. Esto puede escribirse de manera equivalente como

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle ,}$

gracias a la convención de que los términos que no incluyen un signo igual se consideran iguales a la identidad del grupo. Estos términos se denominan reladores , para distinguirlos de las relaciones que sí incluyen un signo igual.

Cada grupo tiene una presentación y, de hecho, muchas presentaciones diferentes; Una presentación suele ser la forma más compacta de describir la estructura del grupo.

Un concepto estrechamente relacionado pero diferente es el de presentación absoluta de un grupo .

Fondo

Un grupo libre en un conjunto S es un grupo donde cada elemento puede describirse de forma única como un producto de longitud finita de la forma:

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

donde los s _i son elementos de S, los s _i adyacentes son distintos y los a _i son números enteros distintos de cero (pero n puede ser cero). En términos menos formales, el grupo consta de palabras en los generadores y sus inversos , sujeto únicamente a cancelar un generador con una aparición adyacente de su inverso.

Si G es cualquier grupo y S es un subconjunto generador de G , entonces cada elemento de G también tiene la forma anterior; pero en general, estos productos no describirán de forma única un elemento de G.

Por ejemplo, el grupo diédrico D ₈ de orden dieciséis puede generarse mediante una rotación, r , de orden 8; y un giro, f , de orden 2; y ciertamente cualquier elemento de D ₈ es un producto de r ' s y f ' s.

Sin embargo, tenemos, por ejemplo, rfr = f ⁻¹ , r ⁷ = r ⁻¹ , etc., por lo que dichos productos no son únicos en D ₈ . Cada una de estas equivalencias de productos se puede expresar como una igualdad a la identidad, como por ejemplo

rfrf = 1 ,

r ⁸ = 1 , o

f ^{‍ 2} = 1 .

De manera informal, podemos considerar estos productos del lado izquierdo como elementos del grupo libre F = ⟨ r , f ⟩ , y podemos considerar el subgrupo R de F que se genera por estas cadenas; cada uno de los cuales también sería equivalente a 1 cuando se consideran productos en D ₈ .

Si entonces dejamos que N sea el subgrupo de F generado por todos los conjugados x ⁻¹ Rx de R , entonces se deduce por definición que cada elemento de N es un producto finito x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ ... x _m ⁻¹ r _m x _m de miembros de tales conjugados. De ello se deduce que cada elemento de N , cuando se considera como un producto en D ₈ , también se evaluará como 1; y por tanto que N es un subgrupo normal de F . Por tanto, D ₈ es isomorfo al grupo cociente F / N . Entonces decimos que D ₈ tiene presentación.

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .}$

Aquí el conjunto de generadores es S = { r , f  }, y el conjunto de relaciones es R = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1} . A menudo vemos R abreviada, dando la presentación

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle .}$

Una forma aún más corta elimina los signos de igualdad e identidad, para enumerar solo el conjunto de reladores, que es { r ⁸ , f ² , ( rf ) ² } . Hacer esto da la presentación.

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .}$

Las tres presentaciones son equivalentes.

Notación

Aunque la notación ⟨ S | R ⟩ usado en este artículo para una presentación es ahora el más común; los escritores anteriores usaron diferentes variaciones en el mismo formato. Dichas anotaciones incluyen las siguientes: ^{[ cita necesaria ]}

• ⟨ S | R ⟩
• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

Definición

Sea S un conjunto y sea F _S el grupo libre de S . Sea R un conjunto de palabras en S , por lo que R naturalmente da un subconjunto de . Para formar un grupo con presentación , se toma el cociente de por el subgrupo normal más pequeño que contiene cada elemento de R. (Este subgrupo se llama cierre normal N de R en ). Luego, el grupo se define como el grupo cociente ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

Los elementos de S se llaman generadores de y los elementos de R se llaman reladores . Se dice que un grupo G tiene la presentación si G es isomorfo a . ^[1] ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

Es una práctica común escribir reladores en la forma donde xey son palabras en S. Lo que esto significa es que . Esto tiene el significado intuitivo de que se supone que las imágenes de xey son iguales en el grupo del cociente. Así, por ejemplo, r ⁿ en la lista de reladores es equivalente a . ^[1] ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle y^{-1}x\in R}$ ${\displaystyle r^{n}=1}$

Para un grupo finito G , es posible construir una presentación de G a partir de la tabla de multiplicar de grupos , de la siguiente manera. Tome S como el conjunto de elementos de G y R como todas las palabras de la forma , donde es una entrada en la tabla de multiplicar. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$ ${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$

Definición alternativa

La definición de presentación en grupo podrá, alternativamente, reformularse en términos de clases de equivalencia de palabras del alfabeto . En esta perspectiva, declaramos que dos palabras son equivalentes si es posible pasar de una a otra mediante una secuencia de movimientos, donde cada movimiento consiste en sumar o quitar un par consecutivo o para alguna x en S , o sumando o eliminar una copia consecutiva de un relator. Los elementos del grupo son las clases de equivalencia y la operación del grupo es la concatenación. ^[1] ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ ${\displaystyle xx^{-1}}$ ${\displaystyle x^{-1}x}$

Este punto de vista es particularmente común en el campo de la teoría combinatoria de grupos .

Grupos finitamente presentados

Se dice que una presentación es finitamente generada si S es finita y finitamente relacionada si R es finita. Si ambos son finitos se dice que es una presentación finita . Un grupo es finitamente generado (respectivamente finitamente relacionado ,presentado finitamente ) si tiene una presentación que se genera finitamente (respectivamente, finitamente relacionada, una presentación finita). Un grupo que tiene una presentación finita con una sola relación se llamagrupo de un solo relator.

Grupos presentados recursivamente

Si S está indexado por un conjunto I que consta de todos los números naturales N o un subconjunto finito de ellos, entonces es fácil configurar una codificación uno a uno simple (o numeración de Gödel ) f  : F _S → N del grupo libre en S a los números naturales, de modo que podamos encontrar algoritmos que, dada f ( w ), calculen w , y viceversa. Entonces podemos llamar recursivo a un subconjunto U de F _S (respectivamente enumerable recursivamente ) si f ( U ) es recursivo (respectivamente enumerable recursivamente). Si S está indexado como se indicó anteriormente y R es enumerable de forma recursiva, entonces la presentación es una presentación recursiva y el grupo correspondiente se presenta de forma recursiva . Este uso puede parecer extraño, pero es posible demostrar que si un grupo tiene una presentación con R recursivamente enumerable entonces tiene otra con R recursivo.

Every finitely presented group is recursively presented, but there are recursively presented groups that cannot be finitely presented. However a theorem of Graham Higman states that a finitely generated group has a recursive presentation if and only if it can be embedded in a finitely presented group.^[2] From this we can deduce that there are (up to isomorphism) only countably many finitely generated recursively presented groups. Bernhard Neumann has shown that there are uncountably many non-isomorphic two generator groups. Therefore, there are finitely generated groups that cannot be recursively presented.

History

One of the earliest presentations of a group by generators and relations was given by the Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1856, in his icosian calculus – a presentation of the icosahedral group.^[3]The first systematic study was given by Walther von Dyck, student of Felix Klein, in the early 1880s, laying the foundations for combinatorial group theory.^[4]

Examples

The following table lists some examples of presentations for commonly studied groups. Note that in each case there are many other presentations that are possible. The presentation listed is not necessarily the most efficient one possible.

Un ejemplo de un grupo generado finitamente que no se presenta finitamente es el producto corona del grupo de números enteros consigo mismo. ${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$

Algunos teoremas

Teorema. Cada grupo tiene una presentación.

Para ver esto, dado un grupo G , considere el grupo libre F _G en G. Por propiedad universal de los grupos libres, existe un homomorfismo de grupo único φ : F _G → G cuya restricción a G es el mapa de identidad. Sea K el núcleo de este homomorfismo. Entonces K es normal en F _G , por lo tanto es igual a su cierre normal, entonces ⟨ G | K ⟩ = F _GRAMO / K . Dado que el mapa de identidad es sobreyectivo, φ también lo es, por lo que según el primer teorema del isomorfismo , ⟨ G | K ⟩ ≅ estoy( φ ) = GRAMO . Esta presentación puede resultar muy ineficiente si tanto G como K son mucho mayores de lo necesario.

Corolario. Todo grupo finito tiene una presentación finita.

Se pueden tomar los elementos del grupo como generadores y la tabla de Cayley como relaciones.

Teorema de Novikov-Boone

La solución negativa al problema verbal para grupos establece que hay una presentación finita ⟨ S | R ⟩ para el cual no existe ningún algoritmo que, dadas dos palabras u , v , decida si u y v describen el mismo elemento en el grupo. Esto fue demostrado por Pyotr Novikov en 1955 ^{[5] y} William Boone obtuvo una prueba diferente en 1958. ^[6]

Construcciones

Supongamos que G tiene presentación ⟨ S | R ⟩ y H tiene presentación ⟨ T | Q ⟩ siendo S y T disjuntos. Entonces

• el producto libre G ∗ H tiene presentación ⟨ S , T | R , Q ⟩ y
• el producto directo G × H tiene presentación ⟨ S , T | R , Q , [ S , T ]⟩ , donde [ S , T ] significa que cada elemento de S conmuta con cada elemento de T (cf. conmutador ).

Deficiencia

La deficiencia de una presentación finita ⟨ S | R ⟩ es solo | S | − | R | y la deficiencia de un grupo G presentado finitamente , denotado def( G ), es el máximo de la deficiencia en todas las presentaciones de G . La deficiencia de un grupo finito no es positiva. El multiplicador de Schur de un grupo finito G puede generarse mediante generadores −def( G ), y G es eficiente si se requiere este número. ^[7]

Teoría de grupos geométricos

Una presentación de un grupo determina una geometría, en el sentido de la teoría geométrica de grupos : uno tiene el gráfico de Cayley , que tiene una métrica , llamada la palabra métrica . Se trata también de dos órdenes resultantes, el orden débil y el orden de Bruhat , y los correspondientes diagramas de Hasse . Un ejemplo importante lo encontramos en los grupos Coxeter .

Además, algunas propiedades de este gráfico (la geometría aproximada ) son intrínsecas, es decir, independientes de la elección de los generadores.

Ver también

• Transformación de Nielsen
• Transformación de Tietze
• Presentación de un módulo
• Presentación de un monoide

Notas

1. Peifer, David (1997). "Una introducción a la teoría combinatoria de grupos y el problema verbal". Revista Matemáticas . 70 (1): 3–10. doi :10.1080/0025570X.1997.11996491.
2. Higman, G. (8 de agosto de 1961). "Subgrupos de grupos presentados finitamente". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 262 (1311): 455–475. Código bibliográfico : 1961RSPSA.262..455H. doi :10.1098/rspa.1961.0132. ISSN  0080-4630. S2CID  120100270.
3. Señor William Rowan Hamilton (1856). «Memorando sobre un nuevo Sistema de Raíces de Unidad» (PDF) . Revista Filosófica . 12 : 446. Archivado (PDF) desde el original el 26 de junio de 2003.
4. Stillwell, John (2002). Las matemáticas y su historia . Saltador. pag. 374.ISBN​ 978-0-387-95336-6.
5. Novikov, Pyotr S. (1955), "Sobre la insolubilidad algorítmica del problema verbal en la teoría de grupos", Actas del Instituto Steklov de Matemáticas (en ruso), 44 : 1–143, Zbl  0068.01301
6. Boone, William W. (1958), "El problema verbal" (PDF) , Actas de la Academia Nacional de Ciencias , 44 (10): 1061–1065, Bibcode : 1958PNAS...44.1061B, doi : 10.1073/pnas .44.10.1061 , PMC 528693 , PMID  16590307, ​​Zbl  0086.24701, archivado (PDF) desde el original el 24 de septiembre de 2015 
7. Johnson, DL; Robertson, EL (1979). "Grupos finitos de deficiencia cero". En Wall, CTC (ed.). Teoría de grupos homológicos . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 36. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 275–289. ISBN 0-521-22729-1. Zbl  0423.20029.

Referencias

• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.― Esta útil referencia tiene tablas de presentación de todos los pequeños grupos finitos, los grupos de reflexión, etc.
• Johnson, DL (1997). Presentaciones de Grupos (2ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-58542-2.― Método de Schreier, método de Nielsen, presentaciones libres, subgrupos y extensiones HNN, teorema de Golod-Shafarevich , etc.
• Sims, Charles C. (1994). Computación con grupos presentados finitamente (1ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-13507-8.― algoritmos fundamentales de la informática teórica, la teoría computacional de números y el álgebra conmutativa computacional, etc.

enlaces externos

• de Cornulier, Yves. "Presentación de grupo". MundoMatemático .
• Grupos pequeños y sus presentaciones sobre GroupNames