Presentación absoluta de un grupo

En matemáticas , una presentación absoluta es un método para definir un grupo . ^[1]

Recordemos que para definir un grupo mediante una presentación se especifica un conjunto de generadores de modo que cada elemento del grupo pueda escribirse como un producto de algunos de estos generadores, y un conjunto de relaciones entre esos generadores. En símbolos: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle G\simeq \langle S\mid R\rangle .}$

Informalmente es el grupo generado por el conjunto tal que para todo . Pero aquí hay una suposición tácita de que es el grupo "más libre" tal que claramente las relaciones se satisfacen en cualquier imagen homomórfica de . Una forma de poder eliminar esta suposición tácita es especificando que ciertas palabras en no deben ser iguales a Es decir especificamos un conjunto , llamado el conjunto de irrelaciones , tal que para todo ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\neq 1}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Definición formal

Para definir una presentación absoluta de un grupo se especifica un conjunto de generadores y conjuntos y de relaciones e irrelaciones entre esos generadores. Entonces decimos que tiene presentación absoluta ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \langle S\mid R,I\rangle .}$

siempre que:

1. ${\displaystyle G}$tiene presentación ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$
2. Dado cualquier homomorfismo tal que las irrelaciones se satisfacen en , es isomorfo a . ${\displaystyle h:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h(G)}$

Una forma más algebraica, pero equivalente, de enunciar la condición 2 es:

2a. Si es un subgrupo normal no trivial de entonces ${\displaystyle N\triangleleft G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle I\cap N\neq \left\{1\right\}.}$

Observación: El concepto de presentación absoluta ha sido fructífero en campos como los grupos algebraicamente cerrados y la topología de Grigorchuk. En la literatura, en un contexto en el que se discuten presentaciones absolutas, a una presentación (en el sentido habitual de la palabra) a veces se la denomina presentación relativa , que es una instancia de retrónimo .

Ejemplo

El grupo cíclico de orden 8 tiene la presentación

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1\rangle .}$

Pero, hasta el isomorfismo hay tres grupos más que "satisfacen" la relación a saber: ${\displaystyle a^{8}=1,}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{4}=1\rangle }$

${\displaystyle \langle a\mid a^{2}=1\rangle }$y

${\displaystyle \langle a\mid a=1\rangle .}$

Sin embargo, ninguno de estos satisface la irrelación . Por lo tanto, una presentación absoluta para el grupo cíclico de orden 8 es: ${\displaystyle a^{4}\neq 1}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{4}\neq 1\rangle .}$

Forma parte de la definición de una presentación absoluta que las irrelaciones no se cumplan en ninguna imagen homomórfica adecuada del grupo. Por lo tanto:

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{2}\neq 1\rangle }$

No es una presentación absoluta para el grupo cíclico de orden 8 porque la irrelación se satisface en el grupo cíclico de orden 4. ${\displaystyle a^{2}\neq 1}$

Fondo

La noción de presentación absoluta surge del estudio de Bernhard Neumann del problema del isomorfismo para grupos algebraicamente cerrados . ^[1]

Una estrategia común para considerar si dos grupos y son isomorfos es considerar si una presentación para uno podría transformarse en una presentación para el otro. Sin embargo, los grupos algebraicamente cerrados no se generan de manera finita ni se presentan de manera recursiva , por lo que es imposible comparar sus presentaciones. Neumann consideró la siguiente estrategia alternativa: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Supongamos que sabemos que un grupo con presentación finita se puede incrustar en el grupo algebraicamente cerrado, entonces, dado otro grupo algebraicamente cerrado , podemos preguntar "¿Se puede incrustar en ?" ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid R\rangle }$ ${\displaystyle G^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H^{*}}$

Pronto se hace evidente que una presentación para un grupo no contiene suficiente información para tomar esta decisión, ya que, si bien puede haber un homomorfismo , este no tiene por qué ser una incrustación. Lo que se necesita es una especificación que "obligue" a cualquier homomorfismo que preserve esa especificación a ser una incrustación. Una presentación absoluta hace precisamente esto. ${\displaystyle h:G\rightarrow H^{*}}$ ${\displaystyle G^{*}}$

Referencias

1. B. Neumann, El problema del isomorfismo para grupos algebraicamente cerrados, en : Word Problems, Decision Problems, and the Burnside Problem in Group Theory, Ámsterdam-Londres (1973), págs. 553–562.