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Multiplicador de Schur

En teoría matemática de grupos , el multiplicador de Schur o multiplicador de Schur es el segundo grupo de homología de un grupo G. Fue introducido por Issai Schur  (1904) en su trabajo sobre representaciones proyectivas .

Ejemplos y propiedades

El multiplicador de Schur de un grupo finito G es un grupo abeliano finito cuyo exponente divide el orden de G . Si un p -subgrupo de Sylow de G es cíclico para algún p , entonces el orden de no es divisible por p . En particular, si todos los p -subgrupos de Sylow de G son cíclicos, entonces es trivial.

Por ejemplo, el multiplicador de Schur del grupo no abeliano de orden 6 es el grupo trivial, ya que cada subgrupo de Sylow es cíclico. El multiplicador de Schur del grupo abeliano elemental de orden 16 es un grupo abeliano elemental de orden 64, lo que demuestra que el multiplicador puede ser estrictamente mayor que el propio grupo. El multiplicador de Schur del grupo de cuaterniones es trivial, pero el multiplicador de Schur de los 2-grupos diedros tiene orden 2.

Los multiplicadores de Schur de los grupos finitos simples se dan en la lista de grupos finitos simples . Los grupos de recubrimiento de los grupos alternantes y simétricos son de considerable interés reciente.

Relación con las representaciones proyectivas

Una representación proyectiva de G puede retrotraerse a una representación lineal de una extensión central C de G.

La motivación original de Schur para estudiar el multiplicador fue clasificar las representaciones proyectivas de un grupo, y la formulación moderna de su definición es el segundo grupo de cohomología . Una representación proyectiva es muy similar a una representación de grupo , excepto que en lugar de un homomorfismo en el grupo lineal general , se toma un homomorfismo en el grupo lineal general proyectivo . En otras palabras, una representación proyectiva es una representación módulo el centro .

Schur  (1904, 1907) demostró que cada grupo finito G tiene asociado al menos un grupo finito C , llamado cubierta de Schur , con la propiedad de que toda representación proyectiva de G puede ser elevada a una representación ordinaria de C . La cubierta de Schur también se conoce como grupo de recubrimiento o Darstellungsgruppe . Las cubiertas de Schur de los grupos finitos simples son conocidas, y cada una es un ejemplo de un grupo cuasisimple . La cubierta de Schur de un grupo perfecto está unívocamente determinada hasta el isomorfismo, pero la cubierta de Schur de un grupo finito general solo está determinada hasta el isoclinismo .

Relación con las extensiones centrales

El estudio de dichos grupos de cobertura condujo naturalmente al estudio de las extensiones centrales y del tallo .

Una extensión central de un grupo G es una extensión

donde es un subgrupo del centro de C .

Una extensión del tallo de un grupo G es una extensión

donde es un subgrupo de la intersección del centro de C y el subgrupo derivado de C ; esto es más restrictivo que central. [1]

Si el grupo G es finito y se consideran solo extensiones de raíz, entonces hay un tamaño máximo para dicho grupo C , y para cada C de ese tamaño el subgrupo K es isomorfo al multiplicador de Schur de G . Si el grupo finito G es además perfecto , entonces C es único hasta el isomorfismo y es en sí mismo perfecto. Tales C a menudo se denominan extensiones centrales perfectas universales de G , o grupo de recubrimiento (ya que es un análogo discreto del espacio de recubrimiento universal en topología). Si el grupo finito G no es perfecto, entonces sus grupos de recubrimiento de Schur (todos esos C de orden máximo) son solo isoclínicos .

También se le llama más brevemente extensión central universal , pero tenga en cuenta que no existe una extensión central más grande, ya que el producto directo de G y un grupo abeliano forman una extensión central de G de tamaño arbitrario.

Las extensiones de tallo tienen la agradable propiedad de que cualquier elevación de un conjunto generador de G es un conjunto generador de C . Si el grupo G se presenta en términos de un grupo libre F en un conjunto de generadores, y un subgrupo normal R generado por un conjunto de relaciones en los generadores, de modo que , entonces el grupo de recubrimiento en sí puede presentarse en términos de F pero con un subgrupo normal más pequeño S , es decir, . Dado que las relaciones de G especifican elementos de K cuando se consideran como parte de C , uno debe tener .

De hecho, si G es perfecto, esto es todo lo que se necesita: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] y M( G ) ≅ KR /[ F , R ]. Debido a esta simplicidad, exposiciones como (Aschbacher 2000, §33) manejan primero el caso perfecto. El caso general para el multiplicador de Schur es similar pero asegura que la extensión es una extensión de raíz restringiendo al subgrupo derivado de F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Todos estos son resultados ligeramente posteriores de Schur, quien también dio una serie de criterios útiles para calcularlos de manera más explícita.

Relación con presentaciones eficientes

En la teoría de grupos combinatorios , un grupo a menudo se origina a partir de una presentación . Un tema importante en esta área de las matemáticas es estudiar presentaciones con la menor cantidad posible de relaciones, como grupos de un solo relator como los grupos de Baumslag-Solitar . Estos grupos son grupos infinitos con dos generadores y una relación, y un antiguo resultado de Schreier muestra que en cualquier presentación con más generadores que relaciones, el grupo resultante es infinito. El caso límite es, por lo tanto, bastante interesante: se dice que los grupos finitos con el mismo número de generadores que relaciones tienen una deficiencia cero. Para que un grupo tenga deficiencia cero, el grupo debe tener un multiplicador de Schur trivial porque el número mínimo de generadores del multiplicador de Schur siempre es menor o igual a la diferencia entre el número de relaciones y el número de generadores, que es la deficiencia negativa. Un grupo eficiente es uno en el que el multiplicador de Schur requiere este número de generadores. [2]

Un tema de investigación bastante reciente es encontrar presentaciones eficientes para todos los grupos finitos simples con multiplicadores de Schur triviales. Estas presentaciones son, en cierto sentido, agradables porque suelen ser breves, pero son difíciles de encontrar y de trabajar con ellas porque no son adecuadas para métodos estándar como la enumeración de clases laterales .

Relación con la topología

En topología , los grupos pueden describirse a menudo como grupos finitos y una cuestión fundamental es calcular su homología integral . En particular, la segunda homología juega un papel especial y esto llevó a Heinz Hopf a encontrar un método eficaz para calcularla. El método de (Hopf 1942) también se conoce como fórmula de homología integral de Hopf y es idéntico a la fórmula de Schur para el multiplicador de Schur de un grupo finito:

donde y F es un grupo libre. La misma fórmula también se cumple cuando G es un grupo perfecto. [3]

El reconocimiento de que estas fórmulas eran las mismas llevó a Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a la creación de la cohomología de grupos . En general,

donde la estrella denota el grupo dual algebraico. Además, cuando G es finito, hay un isomorfismo antinatural .

La fórmula de Hopf se ha generalizado a dimensiones superiores. Para consultar un enfoque y referencias, consulte el artículo de Everaert, Gran y Van der Linden que se incluye a continuación.

Un grupo perfecto es aquel cuya primera homología integral se anula. Un grupo superperfecto es aquel cuyos dos primeros grupos de homología integral se anulan. Las coberturas de Schur de los grupos perfectos finitos son superperfectas. Un grupo acíclico es un grupo cuya homología integral reducida se anula por completo.

Aplicaciones

El segundo grupo K algebraico K 2 ( R ) de un anillo conmutativo R puede identificarse con el segundo grupo de homología H 2 ( E ( R ), Z ) del grupo E ( R ) de matrices elementales (infinitas) con entradas en R . [4]

Véase también

Las referencias de Clair Miller dan otra visión del Multiplicador de Schur como el núcleo de un morfismo κ: G ∧ G → G inducido por el mapa del conmutador.

Notas

  1. ^ Rotman 1994, pág. 553
  2. ^ Johnson y Robertson 1979, págs. 275-289
  3. ^ Rosenberg 1994, Teoremas 4.1.3, 4.1.19
  4. ^ Rosenberg 1994, Corolario 4.2.10

Referencias