En matemáticas, específicamente en teoría de grupos , el isoclinismo es una relación de equivalencia en grupos que generaliza el isomorfismo . El isoclinismo fue introducido por Hall (1940) para ayudar a clasificar y comprender los p-grupos , aunque es aplicable a todos los grupos. El isoclinismo también tiene consecuencias para el multiplicador de Schur y los aspectos asociados de la teoría del carácter , como se describe en Suzuki (1982, p. 256) y Conway et al. (1985, p. xxiii, cap. 6.7). La palabra "isoclinismo" proviene del griego ισοκλινης, que significa pendiente igual.
Algunos libros de texto que analizan el isoclinismo incluyen Berkovich (2008, §29) y Blackburn, Neumann y Venkataraman (2007, §21.2) y Suzuki (1986, pp. 92-95).
La clase de isoclinismo de un grupo G está determinada por los grupos G / Z ( G ) (el grupo de automorfismo interno ) y G ′ (el subgrupo conmutador ) y la función conmutadora de G / Z ( G ) × G / Z ( G ) a G ′ (tomando a , b a aba −1 b −1 ).
En otras palabras, dos grupos G 1 y G 2 son isoclínicos si hay isomorfismos de G 1 / Z ( G 1 ) a G 2 / Z ( G 2 ) y de G 1 ′ a G 2 ′ que conmutan con la función conmutadora.
Todos los grupos abelianos son isoclínicos ya que son iguales a sus centros y sus subgrupos conmutadores son siempre el subgrupo identidad. De hecho, un grupo es isoclínico a un grupo abeliano si y solo si es abeliano en sí mismo, y G es isoclínico con G × A si y solo si A es abeliano. Los grupos diedros , cuasidiédricos y cuaterniones de orden 2 n son isoclínicos para n ≥3, Berkovich (2008, p. 285) con más detalle.
El isoclinismo divide los p -grupos en familias, y los miembros más pequeños de cada familia se denominan grupos troncales . Un grupo es un grupo troncal si y solo si Z( G ) ≤ [ G , G ], es decir, si y solo si cada elemento del centro del grupo está contenido en el subgrupo derivado (también llamado subgrupo conmutador), Berkovich (2008, p. 287). Algunos resultados de enumeración sobre familias de isoclinismo se dan en Blackburn, Neumann y Venkataraman (2007, p. 226).
El isoclinismo se utiliza en la teoría de representaciones proyectivas de grupos finitos , ya que todos los grupos de cobertura de Schur de un grupo son isoclínicos, un hecho ya insinuado por Hall según Suzuki (1982, p. 256). Esto se utiliza para describir las tablas de caracteres de los grupos simples finitos (Conway et al. 1985, p. xxiii, cap. 6.7).