Grupo diedro de orden 6

Grupo no conmutativo de 6 elementos

Gráfica de Cayley con permutaciones de un triángulo

Gráfico de ciclo con matrices de permutación de 3 elementos
(Los generadores a y b son los mismos que en el gráfico de Cayley mostrado arriba).

Tabla de Cayley como tabla de multiplicación de matrices de permutación

Posiciones de los seis elementos en la tabla de Cayley.
Sólo los elementos neutros son simétricos a la diagonal principal, por lo que este grupo no es abeliano .

Tabla de Cayley como grupo lineal general (y especial ) GL(2, 2)

En matemáticas , D ₃ (a veces denotado alternativamente por D ₆ ) es el grupo diedro de grado 3 y orden 6. Es igual al grupo simétrico S ₃ . También es el grupo no abeliano más pequeño . ^[1]

Esta página ilustra muchos conceptos de grupo utilizando este grupo como ejemplo.

Grupos de simetría

El grupo diedro D ₃ es el grupo de simetría de un triángulo equilátero , es decir, es el conjunto de todas las transformaciones rígidas (reflexiones, rotaciones y combinaciones de estas) que dejan fija la forma y posición de este triángulo. En el caso de D ₃ , toda permutación posible de los vértices del triángulo constituye tal transformación, de modo que el grupo de estas simetrías es isomorfo al grupo simétrico S ₃ de todas las permutaciones de tres elementos distintos. Este no es el caso para los grupos diedros de órdenes superiores.

El grupo diedro D ₃ es isomorfo a otros dos grupos de simetría en tres dimensiones:

• uno con un eje de rotación triple y un eje de rotación doble perpendicular (por lo tanto, tres de estos): D ₃
• uno con un eje de rotación triple en un plano de reflexión (y por lo tanto también en otros dos planos de reflexión): C _3v

Permutaciones de un conjunto de tres objetos

Consideremos tres bloques de colores (rojo, verde y azul), colocados inicialmente en el orden RGB. El grupo simétrico S ₃ es entonces el grupo de todas las posibles reorganizaciones de estos bloques. Si denotamos con a la acción "intercambiar los dos primeros bloques", y con b la acción "intercambiar los dos últimos bloques", podemos escribir todas las permutaciones posibles en términos de estas dos acciones.

En forma multiplicativa, tradicionalmente escribimos xy para la acción combinada "primero haz y , luego haz x "; de modo que ab es la acción RGB ↦ RBG ↦ BRG , es decir, "toma el último bloque y muévelo hacia el frente". Si escribimos e para "deja los bloques como están" (la acción identidad), entonces podemos escribir las seis permutaciones del conjunto de tres bloques como las siguientes acciones:

• e  : RGB ↦ RGB o ()
• a  : RGB ↦ GRB o (RG)
• b  : RGB ↦ RBG o (GB)
• ab  : RGB ↦ BRG o (RGB)
• ba  : RGB ↦ GBR o (RBG)
• aba  : RGB ↦ BGR o (RB)

La notación entre paréntesis es la notación de ciclo .

Nótese que la acción aa tiene el efecto RGB ↦ GRB ↦ RGB , dejando los bloques como estaban; por lo que podemos escribir aa = e . De manera similar,

• bb = e ,
• ( aba )( aba ) = e , y
• ( ab )( ba ) = ( ba )( ab ) = mi ;

Entonces cada una de las acciones anteriores tiene una inversa.

Mediante inspección, también podemos determinar la asociatividad y el cierre (dos de los axiomas de grupo necesarios ); observe por ejemplo que

• ( ab ) a = a ( ba ) = aba , y
• ( ba ) b = b ( ab )= bab .

El grupo no es abeliano ya que, por ejemplo, ab ≠ ba . Como se construye a partir de las acciones básicas a y b , decimos que el conjunto { a , b } lo genera .

El grupo tiene presentación

${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3}=1,a^{2}=1,ara=r^{-1}\rangle }$, también escrito ${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3},a^{2},arar\rangle }$

o

${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{3}=1\rangle }$, también escrito ${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2},(ab)^{3}\rangle }$

donde a y b son permutaciones y r = ab es una permutación cíclica. Nótese que la segunda presentación significa que el grupo es un grupo de Coxeter . (De hecho, todos los grupos diedros y de simetría son grupos de Coxeter).

Resumen de operaciones del grupo

Con los generadores a y b , definimos las abreviaturas adicionales c  := aba , d  := ab y f  := ba , de modo que a, b, c, d, e y f sean todos los elementos de este grupo. Podemos entonces resumir las operaciones de grupo en forma de tabla de Cayley :

Obsérvese que los elementos no idénticos no iguales solo conmutan si son inversos entre sí. Por lo tanto, el grupo no tiene centro , es decir, el centro del grupo consta únicamente del elemento identidad.

Clases de conjugación

Podemos distinguir fácilmente tres tipos de permutaciones de los tres bloques, las clases de conjugación del grupo:

• sin cambio (), un elemento de grupo de orden 1
• intercambiando dos bloques: (RG), (RB), (GB), tres elementos del grupo de orden 2
• una permutación cíclica de los tres bloques: (RGB), (RBG), dos elementos del grupo de orden 3

Por ejemplo, (RG) y (RB) tienen la forma ( x y ); una permutación de las letras R, G y B (es decir, (GB)) cambia la notación (RG) a (RB). Por lo tanto, si aplicamos (GB), luego (RB), y luego la inversa de (GB), que también es (GB), la permutación resultante es (RG).

Tenga en cuenta que los elementos del grupo conjugado siempre tienen el mismo orden , pero en general dos elementos del grupo que tienen el mismo orden no necesitan ser conjugados.

Subgrupos

Del teorema de Lagrange sabemos que cualquier subgrupo no trivial de un grupo de 6 elementos debe tener orden 2 o 3. De hecho las dos permutaciones cíclicas de los tres bloques, con la identidad, forman un subgrupo de orden 3, índice 2, y los intercambios de dos bloques, cada uno con la identidad, forman tres subgrupos de orden 2, índice 3. La existencia de subgrupos de orden 2 y 3 es también una consecuencia del teorema de Cauchy .

El primero mencionado es { (), (RGB), (RBG) }, el grupo alterno A ₃ .

Las clases laterales izquierdas y derechas de A ₃ coinciden (como lo hacen para cualquier subgrupo de índice 2) y consisten en A ₃ y el conjunto de tres intercambios { (RB), (RG), (BG) }.

Los cosets izquierdos de { (), (RG) } son:

• { (), (RG) }
• { (RB), (RGB)}
• { (GB), (RBG) }

Las clases laterales derechas de { (RG), () } son:

• { (RG), () }
• { (RBG), (RB)}
• { (RGB), (GB)}

Por lo tanto, A ₃ es normal y los otros tres subgrupos no triviales no lo son. El grupo cociente G / A ₃ es isomorfo con C ₂ .

${\displaystyle G=\mathrm {A} _{3}\rtimes H}$, un producto semidirecto , donde H es un subgrupo de dos elementos: () y uno de los tres swaps. Esta descomposición es también una consecuencia (caso particular) del teorema de Schur–Zassenhaus .

En términos de permutaciones los dos elementos del grupo G /A ₃ son el conjunto de permutaciones pares y el conjunto de permutaciones impares.

Si el grupo original es el generado por una rotación de 120° de un plano alrededor de un punto, y una reflexión con respecto a una línea que pasa por ese punto, entonces el grupo cociente tiene los dos elementos que pueden describirse como los subconjuntos "simplemente giran (o no hacen nada)" y "toman una imagen reflejada ".

Nótese que para el grupo de simetría de un cuadrado , una permutación desigual de vértices no corresponde a tomar una imagen especular, sino a operaciones no permitidas para rectángulos , es decir, una rotación de 90° y la aplicación de un eje de reflexión diagonal.

Productos semidirectos

${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\rtimes _{\varphi }\mathrm {C} _{2}}$es si tanto φ (0) como φ (1) son la identidad. El producto semidirecto es isomorfo al grupo diedro de orden 6 si φ (0) es la identidad y φ (1) es el automorfismo no trivial de C ₃ , que invierte los elementos. ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\times \mathrm {C} _{2}}$

Así obtenemos:

( n ₁ , 0) * ( n ₂ , h ₂ ) = ( n ₁ + n ₂ , h ₂ )

( n ₁ , 1) * ( n ₂ , h ₂ ) = ( n ₁ − n ₂ , 1 + h ₂ )

para todos n ₁ , n ₂ en C ₃ y h ₂ en C ₂ . Más concisamente,

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$

para todos n ₁ , n ₂ en C ₃ y h ₁ , h ₂ en C ₂ .

En una tabla Cayley:

Tenga en cuenta que, para el segundo dígito, tenemos básicamente una tabla de 2×2, con valores iguales de 3×3 para cada una de estas 4 celdas. Para el primer dígito, la mitad izquierda de la tabla es la misma que la mitad derecha, pero la mitad superior es diferente de la mitad inferior.

Para el producto directo la tabla es la misma excepto que los primeros dígitos de la mitad inferior de la tabla son los mismos que en la mitad superior.

Acción grupal

Consideremos D ₃ en sentido geométrico, como un grupo de simetría de isometrías del plano, y consideremos la acción grupal correspondiente sobre un conjunto de 30 puntos espaciados uniformemente en un círculo, numerados del 0 al 29, con 0 en uno de los ejes de reflexión.

Esta sección ilustra los conceptos de acción grupal para este caso.

La acción de G sobre X se llama

• transitiva si para cualesquiera dos x , y en X existe una g en G tal que g · x = y ; este no es el caso
• fiel (o eficaz ) si para dos g , h cualesquiera en G existe una x en X tal que g · x ≠ h · x ; este es el caso, porque, excepto por la identidad, los grupos de simetría no contienen elementos que "no hagan nada"
• libre si para dos g diferentes , h en G y todos los x en X tenemos g · x ≠ h · x ; este no es el caso porque hay reflexiones

Órbitas y estabilizadores

Las órbitas de 30 puntos espaciados uniformemente en un círculo bajo la acción grupal de D ₃

La órbita de un punto x en X es el conjunto de elementos de X al que x puede ser movido por los elementos de G . La órbita de x se denota por Gx :

${\displaystyle Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}}$

Las órbitas son {0, 10, 20}, {1, 9, 11, 19, 21, 29}, {2, 8, 12, 18, 22, 28}, {3, 7, 13, 17, 23, 27}, {4, 6, 14, 16, 24, 26} y {5, 15, 25}. Los puntos dentro de una órbita son "equivalentes". Si se aplica un grupo de simetría a un patrón, entonces dentro de cada órbita el color es el mismo.

El conjunto de todas las órbitas de X bajo la acción de G se escribe como X / G .

Si Y es un subconjunto de X , escribimos GY para el conjunto { g · y  : y ∈ Y y g ∈ G }. Llamamos al subconjunto Y invariante bajo G si GY = Y (que es equivalente a GY ⊆ Y ) . En ese caso, G también opera sobre Y. El subconjunto Y se llama fijo bajo G si g · y = y para todo g en G y todo y en Y . La unión de, por ejemplo, dos órbitas es invariante bajo G , pero no fija.

Para cada x en X , definimos el subgrupo estabilizador de x (también llamado grupo de isotropía o grupo pequeño ) como el conjunto de todos los elementos en G que fijan x :

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}}$

Si x es un punto de reflexión (0, 5, 10, 15, 20 o 25) , su estabilizador es el grupo de orden dos que contiene la identidad y la reflexión en x . En otros casos, el estabilizador es el grupo trivial.

Para una x fija en X , considere la función de G a X dada por g ↦ g · x . La imagen de esta función es la órbita de x y la coimagen es el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de G _x . El teorema del cociente estándar de la teoría de conjuntos da entonces una biyección natural entre G / G _x y Gx . Específicamente, la biyección está dada por hG _x ↦ h · x . Este resultado se conoce como el teorema del estabilizador de órbita . En los dos casos de una órbita pequeña, el estabilizador no es trivial.

Si dos elementos x e y pertenecen a la misma órbita, entonces sus subgrupos estabilizadores, G _x y G _y , son isomorfos . Más precisamente: si y = g · x , entonces G _y = gG _x g ⁻¹ . En el ejemplo esto se aplica, por ejemplo, para 5 y 25, ambos puntos de reflexión. La reflexión sobre 25 corresponde a una rotación de 10, la reflexión sobre 5 y la rotación de −10.

Un resultado estrechamente relacionado con el teorema del estabilizador de órbita es el lema de Burnside :

${\displaystyle \left|X/G\right|={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\left|X^{g}\right|}$

donde X ^g es el conjunto de puntos fijados por g . Es decir, el número de órbitas es igual al número medio de puntos fijados por elemento del grupo.

Para la identidad, los 30 puntos son fijos, para las dos rotaciones, ninguno, y para las tres reflexiones, dos cada una: {0, 15}, {5, 20} y {10, 25}. Por lo tanto, la media es seis, el número de órbitas.

Teoría de la representación

Hasta el isomorfismo, este grupo tiene tres representaciones unitarias complejas irreducibles, que llamaremos (la representación trivial), y , donde el subíndice indica la dimensión. Por su definición como un grupo de permutación sobre el conjunto con tres elementos, el grupo tiene una representación en permutando las entradas del vector, la representación fundamental. Esta representación no es irreducible, ya que se descompone como una suma directa de y . aparece como el subespacio de vectores de la forma y es la representación sobre su complemento ortogonal, que son vectores de la forma . La representación unidimensional no trivial surge a través de la gradación de grupos: La acción es la multiplicación por el signo de la permutación del elemento del grupo. Todo grupo finito tiene tal representación ya que es un subgrupo de un grupo cíclico por su acción regular. Contando las dimensiones cuadradas de las representaciones ( , el orden del grupo), vemos que estas deben ser todas las representaciones irreducibles. ^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},-\lambda _{1}-\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

Una representación lineal irreducible bidimensional produce una representación proyectiva unidimensional (es decir, una acción sobre la línea proyectiva , una incrustación en el grupo de Möbius PGL(2, C ) ), como transformadas elípticas . Esto se puede representar mediante matrices con entradas 0 y ±1 (aquí escritas como transformaciones lineales fraccionarias ), conocidas como el grupo anarmónico :

• Orden 1: ${\displaystyle z}$
• Orden 2: ${\displaystyle 1-z,1/z,z/(z-1)}$
• Orden 3: ${\displaystyle (z-1)/z,1/(1-z)}$

y por lo tanto desciende a una representación sobre cualquier cuerpo, que es siempre fiel/inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran solo por un signo). Sobre el cuerpo con dos elementos, la línea proyectiva tiene solo 3 puntos, y este es entonces el isomorfismo excepcional En la característica 3, esta incrustación estabiliza el punto ya que (en la característica mayor que 3 estos puntos son distintos y permutados, y son la órbita de la razón cruzada armónica ). Sobre el cuerpo con tres elementos, la línea proyectiva tiene 4 elementos, y como PGL(2, 3) es isomorfo al grupo simétrico en 4 elementos, S ₄ , la incrustación resultante es igual al estabilizador del punto . ${\displaystyle S_{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2).}$ ${\displaystyle -1=[-1:1],}$ ${\displaystyle 2=1/2=-1}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$ ${\displaystyle -1}$

Véase también

• Grupo diedro de orden 8

Referencias

1. Kubo, Jisuke (2008), "El grupo diedro como grupo familiar", Teoría cuántica de campos y más allá , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, págs. 46-63, doi :10.1142/9789812833556_0004, MR  2588575. Para la identificación de D ₃ con S ₃ , y la observación de que este grupo es el grupo no abeliano más pequeño posible, véase la pág. 49.
2. Weisstein, Eric W. "Grupo diedro D3". MathWorld .

• Fraleigh, John B. (1993), Un primer curso de álgebra abstracta (5ª ed.), Addison-Wesley, págs. 93–94, ISBN 978-0-201-53467-2

Enlaces externos

• http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroupD3.html
• https://groupprops.subwiki.org/wiki/Nonabelian_group_of_order_6/Symmetric_group:S3