Cálculo icosiano

Estructura algebraica no conmutativa

El cálculo icosiano es una estructura algebraica no conmutativa descubierta por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856. ^{[1] [2]} En términos modernos, dio una presentación grupal del grupo de rotación icosaédrica por generadores y relaciones.

El descubrimiento de Hamilton se derivó de sus intentos de encontrar un álgebra de "tripletes" o 3-tuplas que creía que reflejaría los tres ejes cartesianos . Los símbolos del cálculo icosiano pueden equipararse a movimientos entre vértices en un dodecaedro . El trabajo de Hamilton en esta área resultó indirectamente en los términos circuito hamiltoniano y camino hamiltoniano en la teoría de grafos. ^[3] También inventó el juego icosiano como un medio para ilustrar y popularizar su descubrimiento.

Definición informal

Proyección estereográfica del dodecaedro utilizada para el juego icosiano de Hamilton

El álgebra se basa en tres símbolos que son raíces de la unidad , en el sentido de que la aplicación repetida de cualquiera de ellos da como resultado el valor 1 después de un número determinado de pasos. Son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{2}&=1,\\\kappa ^{3}&=1,\\\lambda ^{5}&=1.\end{aligned}}}$

Hamilton también da otra relación entre los símbolos:

${\displaystyle \lambda =\iota \kappa .}$

(En términos modernos, este es el grupo de triángulos (2,3,5 ).

La operación es asociativa pero no conmutativa . Generan un grupo de orden 60, isomorfo al grupo de rotaciones de un icosaedro o dodecaedro regular , y por tanto al grupo alternado de grado cinco.

Aunque el álgebra existe como una construcción puramente abstracta, se puede visualizar más fácilmente en términos de operaciones sobre las aristas y los vértices de un dodecaedro. El propio Hamilton utilizó un dodecaedro aplanado como base para su juego didáctico.

Imaginemos un insecto que se arrastra a lo largo de un borde particular del dodecaedro rotulado de Hamilton en una dirección determinada, por ejemplo de a . Podemos representar este borde dirigido por . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle BC}$

Ilustración geométrica de la operación iota en el cálculo icosiano

• El símbolo icosiano equivale a cambiar de dirección en cualquier borde, por lo que el insecto se arrastra de a (siguiendo el borde dirigido ). ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle CB}$
• El símbolo icosiano equivale a rotar el recorrido actual del insecto en sentido antihorario alrededor del punto final. En nuestro ejemplo, esto significaría cambiar la dirección inicial para que se convierta en . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle DC}$
• El símbolo icosiano equivale a realizar un giro a la derecha en el punto final, pasando de a . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CD}$

Legado

El cálculo icosiano es uno de los primeros ejemplos de muchas ideas matemáticas, entre ellas:

• Presentar y estudiar un grupo por generadores y relaciones ;
• un grupo triangular , posteriormente generalizado a los grupos de Coxeter ;
• visualización de un grupo mediante un gráfico, que condujo a la teoría combinatoria de grupos y posteriormente a la teoría geométrica de grupos ;
• Circuitos hamiltonianos y caminos hamiltonianos en teoría de grafos; ^[3]
• dessin d'enfant ^{[4] [5]} - ver dessin d'enfant: historia para más detalles.

Véase también

• Icosiano

Referencias

1. William Rowan Hamilton (1856). "Memorando sobre un nuevo sistema de raíces de unidad" (PDF) . Philosophical Magazine . 12 : 446.
2. Thomas L. Hankins (1980). Sir William Rowan Hamilton . Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins. pág. 474. ISBN 0-8018-6973-0.
3. Norman L. Biggs; E. Keith Lloyd; Robin J. Wilson (1976). Teoría de grafos 1736-1936 . Oxford: Clarendon Press. pág. 239. ISBN 0-19-853901-0.
4. Jones, Gareth (1995). "Dessins d'enfants: mapas bipartitos y grupos de Galois". Seminario Lotharingien de Combinatoire . B35d : 4.
5. WR Hamilton, Carta a John T. Graves "Sobre el icosiano" (17 de octubre de 1856), Mathematical papers, vol. III, Algebra, eds. H. Halberstam y RE Ingram, Cambridge University Press, Cambridge, 1967, págs. 612–625.