Presentación de un monoide

En álgebra , una presentación de un monoide (o una presentación de un semigrupo ) es una descripción de un monoide (o un semigrupo ) en términos de un conjunto Σ de generadores y un conjunto de relaciones sobre el monoide libre Σ ^∗ (o el semigrupo libre Σ ⁺ ) generado por Σ . El monoide se presenta entonces como el cociente del monoide libre (o el semigrupo libre) por estas relaciones. Esto es un análogo de una presentación de grupo en la teoría de grupos .

Como estructura matemática, una presentación monoide es idéntica a un sistema de reescritura de cadenas (también conocido como sistema semi-Thue). Todo monoide puede ser presentado por un sistema semi-Thue (posiblemente sobre un alfabeto infinito). ^[1]

No debe confundirse una presentación con una representación .

Construcción

Las relaciones se dan como una relación binaria (finita) R en Σ ^∗ . Para formar el monoide cociente, estas relaciones se extienden a congruencias monoides de la siguiente manera:

Primero, se toma el cierre simétrico R ∪ R ⁻¹ de R . Esto se extiende luego a una relación simétrica E ⊂ Σ ^∗ × Σ ^∗ definiendo x ~ _E y si y solo si x = sut e y = svt para algunas cadenas u , v , s , t ∈ Σ ^∗ con ( u , v ) ∈ R ∪ R ⁻¹ . Finalmente, se toma el cierre reflexivo y transitivo de E , que entonces es una congruencia monoide.

En la situación típica, la relación R se da simplemente como un conjunto de ecuaciones, de modo que . Así, por ejemplo, ${\displaystyle R=\{u_{1}=v_{1},\ldots ,u_{n}=v_{n}\}}$

${\displaystyle \langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle }$

es la presentación ecuacional para el monoide bicíclico , y

${\displaystyle \langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle }$

es el monoide pláctico de grado 2 (tiene orden infinito). Los elementos de este monoide pláctico pueden escribirse como para los números enteros i , j , k , ya que las relaciones muestran que ba conmuta tanto con a como con b . ${\displaystyle a^{i}b^{j}(ba)^{k}}$

Monoides y semigrupos inversos

Las presentaciones de monoides inversos y semigrupos se pueden definir de manera similar utilizando un par

${\displaystyle (X;T)}$

dónde

${\displaystyle (X\cup X^{-1})^{*}}$

es el monoide libre con involución en , y ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T\subseteq (X\cup X^{-1})^{*}\times (X\cup X^{-1})^{*}}$

es una relación binaria entre palabras. Denotamos por (respectivamente ) la relación de equivalencia (respectivamente, la congruencia ) generada por T . ${\displaystyle T^{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle T^{\mathrm {c} }}$

Usamos este par de objetos para definir un monoide inverso

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle .}$

Sea la congruencia de Wagner en , definimos el monoide inverso ${\displaystyle \rho _{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle }$

presentado por como ${\displaystyle (X;T)}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle =(X\cup X^{-1})^{*}/(T\cup \rho _{X})^{\mathrm {c} }.}$

En la discusión anterior, si reemplazamos en todas partes con obtenemos una presentación (para un semigrupo inverso) y un semigrupo inverso presentado por . ${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{*}}$ ${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{+}}$ ${\displaystyle (X;T)}$ ${\displaystyle \mathrm {Inv} \langle X|T\rangle }$ ${\displaystyle (X;T)}$

Un ejemplo trivial pero importante es el monoide inverso libre (o semigrupo inverso libre ) en , que usualmente se denota por (respectivamente ) y se define por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)=\mathrm {Inv} ^{1}\langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{*}/\rho _{X},}$

o

${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)=\mathrm {Inv} \langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{+}/\rho _{X}.}$

Notas

1. Book y Otto, Teorema 7.1.7, pág. 149

Referencias

• John M. Howie, Fundamentos de la teoría de semigrupos (1995), Clarendon Press, Oxford ISBN  0-19-851194-9
• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de corona y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 . 
• Ronald V. Book y Friedrich Otto, String-rewriting Systems , Springer, 1993, ISBN 0-387-97965-4 , capítulo 7, "Propiedades algebraicas"