Nombrada en honor al matemático británico del siglo XIX Arthur Cayley , una tabla de Cayley describe la estructura de un grupo finito ordenando todos los productos posibles de todos los elementos del grupo en una tabla cuadrada que recuerda a una tabla de suma o multiplicación . Muchas propiedades de un grupo (como si es abeliano o no , qué elementos son inversos de qué elementos y el tamaño y contenido del centro del grupo ) se pueden descubrir a partir de su tabla de Cayley.
Un ejemplo sencillo de una tabla de Cayley es la del grupo {1, −1} bajo la multiplicación ordinaria :
Las tablas de Cayley se presentaron por primera vez en el artículo de Cayley de 1854, "Sobre la teoría de grupos, dependiendo de la ecuación simbólica θ n = 1". En ese artículo se hacía referencia a ellas simplemente como tablas y eran meramente ilustrativas; más tarde se las conoció como tablas Cayley, en honor a su creador.
Debido a que muchas tablas de Cayley describen grupos que no son abelianos , no se garantiza que el producto ab con respecto a la operación binaria del grupo sea igual al producto ba para todos a y b en el grupo. Para evitar confusiones, la convención es que el factor que etiqueta la fila (llamado factor más cercano por Cayley) es el primero, y que el factor que etiqueta la columna (o el factor adicional ) es el segundo. Por ejemplo, la intersección de la fila a y la columna b es ab y no ba , como en el siguiente ejemplo:
La tabla de Cayley nos dice si un grupo es abeliano . Debido a que la operación de grupo de un grupo abeliano es conmutativa , un grupo es abeliano si y sólo si los valores de su tabla de Cayley son simétricos a lo largo de su eje diagonal. El grupo {1, −1} anterior y el grupo cíclico de orden 3 bajo la multiplicación ordinaria son ejemplos de grupos abelianos, y la inspección de la simetría de sus tablas de Cayley lo verifica. Por el contrario, el grupo no abeliano más pequeño, el grupo diédrico de orden 6 , no tiene una tabla de Cayley simétrica.
Debido a que la asociatividad se toma como un axioma cuando se trata de grupos, a menudo se da por sentado cuando se trata de tablas de Cayley. Sin embargo, las tablas de Cayley también pueden usarse para caracterizar el funcionamiento de un cuasigrupo , lo que no asume la asociatividad como axioma (de hecho, las tablas de Cayley pueden usarse para caracterizar el funcionamiento de cualquier magma finito ). Desafortunadamente, generalmente no es posible determinar si una operación es asociativa o no simplemente mirando su tabla de Cayley, como ocurre con la conmutatividad. Esto se debe a que la asociatividad depende de una ecuación de 3 términos, mientras que la tabla de Cayley muestra productos de 2 términos. Sin embargo, la prueba de asociatividad de Light puede determinar la asociatividad con menos esfuerzo que la fuerza bruta.
Debido a que la propiedad de cancelación es válida para grupos (e incluso para cuasigrupos), ninguna fila o columna de una tabla Cayley puede contener el mismo elemento dos veces. Por tanto, cada fila y columna de la tabla es una permutación de todos los elementos del grupo. Esto restringe en gran medida qué tablas Cayley podrían definir una operación de grupo válida.
Para ver por qué una fila o columna no puede contener el mismo elemento más de una vez, supongamos que a , x e y sean elementos de un grupo, con x e y distintos. Luego, en la fila que representa el elemento a , la columna correspondiente a x contiene el producto ax , y de manera similar la columna correspondiente a y contiene el producto ay . Si estos dos productos fueran iguales (es decir, la fila a contuviera el mismo elemento dos veces, nuestra hipótesis), entonces ax sería igual ay . Pero como se cumple la ley de cancelación, podemos concluir que si ax = ay , entonces x = y , una contradicción . Por tanto, nuestra hipótesis es incorrecta y una fila no puede contener el mismo elemento dos veces. Exactamente el mismo argumento es suficiente para probar el caso de la columna, por lo que concluimos que cada fila y columna no contiene ningún elemento más de una vez. Debido a que el grupo es finito, el principio de casillero garantiza que cada elemento del grupo estará representado en cada fila y en cada columna exactamente una vez. Así, la tabla Cayley de un grupo es un ejemplo de cuadrado latino . Una prueba alternativa y más concisa se desprende de la propiedad de cancelación . Esta propiedad implica que para cada x en el grupo, la función de una variable de yf(x,y)= xy debe ser una aplicación uno a uno. El resultado se deriva del hecho de que las aplicaciones uno a uno en conjuntos finitos son permutaciones.
Debido a la estructura de los grupos, muy a menudo es posible "rellenar" las tablas de Cayley a las que les faltan elementos, incluso sin tener una caracterización completa de la operación del grupo en cuestión. Por ejemplo, debido a que cada fila y columna debe contener todos los elementos del grupo, si se contabilizan todos los elementos excepto uno y hay un espacio en blanco, sin saber nada más sobre el grupo, es posible concluir que el elemento no contabilizado debe ocupar el espacio en blanco restante. Resulta que esta y otras observaciones sobre grupos en general nos permiten construir las tablas de Cayley de grupos sabiendo muy poco sobre el grupo en cuestión. Sin embargo, una tabla de Cayley construida utilizando el método siguiente puede no cumplir con el requisito de asociatividad de un grupo y, por lo tanto, representar un cuasigrupo.
Los inversos se identifican mediante elementos de identidad en la tabla. Debido a que en cualquier grupo, incluso en un grupo no abeliano, cada elemento conmuta con su propio inverso, se deduce que la distribución de elementos de identidad en la tabla de Cayley será simétrica a lo largo de la diagonal de la tabla. Los que se encuentran en la diagonal son su propio inverso único.
Debido a que el orden de las filas y columnas de una tabla de Cayley es de hecho arbitrario, es conveniente ordenarlas de la siguiente manera: comenzando con el elemento identidad del grupo, que siempre es su propio inverso, enumere primero todos los elementos que son su propio inverso. propia inversa, seguida de pares de inversas enumeradas una al lado de la otra.
Entonces, para un grupo finito de un orden particular, es fácil caracterizar su "esqueleto de identidad", llamado así porque los elementos de identidad en la tabla de Cayley construida de la manera descrita en el párrafo anterior están agrupados alrededor de la diagonal principal; yacen directamente sobre él, o están uno fuera de él.
Es relativamente trivial demostrar que grupos con diferentes esqueletos de identidad no pueden ser isomórficos , aunque lo contrario no es cierto (por ejemplo, el grupo cíclico C 8 y el grupo cuaternión Q no son isomorfos pero tienen el mismo esqueleto de identidad).
También ocurre que no todos los esqueletos de identidad corresponden a grupos reales. Por ejemplo, no existe un grupo de seis elementos en el que todos los elementos tengan sus propios inversos.
La forma estándar de una tabla Cayley tiene el mismo orden de los elementos en las filas que el orden de las columnas. Otra forma es ordenar los elementos de las columnas de modo que la enésima columna corresponda a la inversa del elemento de la enésima fila. En nuestro ejemplo de D 3 , solo necesitamos cambiar las dos últimas columnas, ya que f y d son los únicos elementos que no son sus propios inversos, sino inversos entre sí.
Este ejemplo particular nos permite crear seis matrices de permutación (todos los elementos 1 o 0, exactamente un 1 en cada fila y columna). La matriz de 6x6 que representa un elemento tendrá un 1 en cada posición que tenga la letra del elemento en la tabla de Cayley y un cero en cualquier otra posición, la función delta de Kronecker para ese símbolo. (Tenga en cuenta que e está en todas las posiciones de la diagonal principal, lo que nos da la matriz identidad para matrices de 6x6 en este caso, como era de esperar). Aquí está la matriz que representa nuestro elemento a , por ejemplo.
Esto nos muestra directamente que cualquier grupo de orden n es un subgrupo del grupo de permutación S n , orden n !.
Las propiedades anteriores dependen de algunos axiomas válidos para grupos. Es natural considerar las tablas de Cayley para otras estructuras algebraicas, como semigrupos , cuasigrupos y magmas , pero algunas de las propiedades anteriores no se cumplen.
