Teorema del virial

Teorema de la mecánica estadística.

En mecánica estadística , el teorema del virial proporciona una ecuación general que relaciona el promedio en el tiempo de la energía cinética total de un sistema estable de partículas discretas, ligado por una fuerza conservativa (donde el trabajo realizado es independiente de la trayectoria) con la del total. energía potencial del sistema. Matemáticamente, el teorema establece que T es la energía cinética total de las N partículas, F _k representa la fuerza sobre la k -ésima partícula, que se encuentra en la posición _rk , y los corchetes angulares representan el promedio en el tiempo de la cantidad encerrada. La palabra virial para el lado derecho de la ecuación deriva de vis , la palabra latina para "fuerza" o "energía", y Rudolf Clausius le dio su definición técnica en 1870. ^[1] $${\displaystyle \left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }}$$

La importancia del teorema del virial es que permite calcular la energía cinética total promedio incluso para sistemas muy complicados que desafían una solución exacta, como los considerados en mecánica estadística ; esta energía cinética total promedio está relacionada con la temperatura del sistema mediante el teorema de equipartición . Sin embargo, el teorema del virial no depende de la noción de temperatura y se cumple incluso para sistemas que no están en equilibrio térmico . El teorema del virial se ha generalizado de varias maneras, sobre todo a una forma tensorial .

Si la fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema resulta de una energía potencial V ( r ) = αr ⁿ que es proporcional a alguna potencia n de la distancia entre partículas r , el teorema del virial toma la forma simple $${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$$

Por lo tanto, el doble de la energía cinética total promedio ⟨ T ⟩ es igual a n veces la energía potencial total promedio ⟨ V _TOT ⟩ . Mientras que V ( r ) representa la energía potencial entre dos partículas de distancia r , V _TOT representa la energía potencial total del sistema, es decir, la suma de la energía potencial V ( r ) de todos los pares de partículas del sistema. Un ejemplo común de tal sistema es una estrella mantenida unida por su propia gravedad, donde n es igual a −1.

Historia

En 1870, Rudolf Clausius pronunció la conferencia "Sobre un teorema mecánico aplicable al calor" en la Asociación de Ciencias Naturales y Médicas del Bajo Rin, tras un estudio de termodinámica de 20 años. La conferencia afirmó que la vis viva media del sistema es igual a su virial, o que la energía cinética promedio es igual a ⁠1/2⁠ la energía potencial promedio. El teorema del virial se puede obtener directamente de la identidad de Lagrange ^{[ ¿recurso movido? ]} tal como se aplica en la dinámica gravitacional clásica, cuya forma original se incluyó en el "Ensayo sobre el problema de los tres cuerpos" de Lagrange publicado en 1772. La generalización de Karl Jacobi de la identidad a N  cuerpos y a la forma actual de la identidad de Laplace se parece mucho a la Teorema del virial clásico. Sin embargo, las interpretaciones que llevaron al desarrollo de las ecuaciones fueron muy diferentes, ya que en el momento de su desarrollo, la dinámica estadística aún no había unificado los estudios separados de la termodinámica y la dinámica clásica. ^[2] El teorema fue posteriormente utilizado, popularizado, generalizado y desarrollado por James Clerk Maxwell , Lord Rayleigh , Henri Poincaré , Subrahmanyan Chandrasekhar , Enrico Fermi , Paul Ledoux , Richard Bader y Eugene Parker . Fritz Zwicky fue el primero en utilizar el teorema del virial para deducir la existencia de materia invisible, que ahora se llama materia oscura . Richard Bader demostró que la distribución de carga de un sistema total se puede dividir en sus energías cinética y potencial que obedecen al teorema del virial. ^[3] Como otro ejemplo de sus muchas aplicaciones, el teorema del virial se ha utilizado para derivar el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas .

Caso especial ilustrativo

Considere N = 2 partículas con igual masa m , sobre las que actúan fuerzas mutuamente atractivas. Supongamos que las partículas están en puntos diametralmente opuestos de una órbita circular con radio r . Las velocidades son v ₁ ( t ) y v ₂ ( t ) = − v ₁ ( t ) , que son normales a las fuerzas F ₁ ( t ) y F ₂ ( t ) = − F ₁ ( t ) . Las respectivas magnitudes se fijan en v y F. La energía cinética promedio del sistema en un intervalo de tiempo de t ₁ a t ₂ es

$${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}(t)\right|^{2}dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)dt=mv^{2}.}$$Tomando el centro de masa como origen, las partículas tienen posiciones r ₁ ( t ) y r ₂ ( t ) = − r ₁ ( t ) con magnitud fija r . Las fuerzas de atracción actúan en direcciones opuestas como posiciones, por lo que F ₁ ( t ) ⋅ r ₁ ( t ) = F ₂ ( t ) ⋅ r ₂ ( t ) = − Fr . Aplicando la fórmula de la fuerza centrípeta F = mv ² / r se obtiene: según sea necesario. Nota: Si el origen está desplazado entonces obtendríamos el mismo resultado. Esto se debe a que el producto escalar del desplazamiento con fuerzas iguales y opuestas F ₁ ( t ) , F ₂ ( t ) da como resultado una cancelación neta. $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle ,}$$

Declaración y derivación

Aunque el teorema del virial depende de promediar las energías cinética y potencial totales, la presentación aquí pospone el promediado para el último paso.

Para una colección de N partículas puntuales, el momento escalar de inercia I con respecto al origen se define mediante la ecuación donde m _k y r _k representan la masa y la posición de la k ésima partícula. rk ₌ | rk |_​ es la magnitud del vector de posición. El escalar G está definido por la ecuación donde p _k es el vector de momento de la k ésima partícula. ^[4] Suponiendo que las masas son constantes, G es la mitad de la derivada temporal de este momento de inercia. A su vez, la derivada temporal de G se puede escribir donde m _k es la masa de la k ésima partícula, F _k = ⁠ $${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}}$$ $${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\end{aligned}}}$$dpk​_​/dt⁠ es la fuerza neta sobre esa partícula, y T es la energía cinética total del sistema según v _k = ⁠beber​_​/dt⁠ velocidad de cada partícula $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$$

Conexión con la energía potencial entre partículas.

La fuerza total F _k sobre la partícula k es la suma de todas las fuerzas de las otras partículas j en el sistema donde F _jk es la fuerza aplicada por la partícula j sobre la partícula k . Por lo tanto, el virial se puede escribir $${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\,.}$$

Como ninguna partícula actúa sobre sí misma (es decir, F _jj = 0 para 1 ≤ j ≤ N ), dividimos la suma en términos por debajo y por encima de esta diagonal y los sumamos en pares: donde hemos asumido que la tercera ley del movimiento de Newton se cumple, es decir, F _jk = − F _kj (reacción igual y opuesta). $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\end{aligned}}}$$

A menudo sucede que las fuerzas pueden derivarse de una energía potencial Vjk que es función únicamente de la distancia _{rjk entre} las partículas puntuales j y k . Como la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial, en este caso tenemos

$${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}$$

que es igual y opuesto a F _kj = −∇ _{r j} V _kj = −∇ _{r j} V _jk , la fuerza aplicada por la partícula k sobre la partícula j , como puede confirmarse mediante cálculo explícito. Por eso,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{aligned}}}$$

Así, tenemos $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.}$$

Caso especial de fuerzas de ley de potencias.

En un caso especial común, la energía potencial V entre dos partículas es proporcional a una potencia n de su distancia r _ij donde el coeficiente α y el exponente n son constantes. En tales casos, el virial viene dado por la ecuación donde V _TOT es la energía potencial total del sistema. $${\displaystyle V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV_{jk}={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V_{jk}\,.}$$

Así, tenemos $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}\,.}$$

Para los sistemas gravitantes, el exponente n es igual a −1, lo que da la identidad de Lagrange que fue derivada por Joseph-Louis Lagrange y ampliada por Carl Jacobi . $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}}$$

Promedio de tiempo

El promedio de esta derivada durante un período de tiempo, τ , se define a partir del cual obtenemos la ecuación exacta $${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$$ $${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

El teorema del virial establece que si ⟨ ⁠dG/dt⁠ ⟩ _τ = 0, entonces $${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

Hay muchas razones por las que el promedio de la derivada temporal podría desaparecer, ⟨ ⁠dG/dt⁠ ⟩ _τ = 0. Una razón que se cita con frecuencia se aplica a los sistemas ligados de forma estable, es decir, sistemas que permanecen unidos para siempre y cuyos parámetros son finitos. En ese caso, las velocidades y coordenadas de las partículas del sistema tienen límites superior e inferior de modo que G ^ligado , está acotado entre dos extremos, G _min y G _max , y la media va a cero en el límite del infinitoτ:

$${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$$

Incluso si el promedio de la derivada temporal de G es sólo aproximadamente cero, el teorema del virial se cumple con el mismo grado de aproximación.

Para fuerzas de ley potencial con exponente n , la ecuación general es válida:

$${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

Para la atracción gravitacional , n es igual a −1 y la energía cinética promedio es igual a la mitad de la energía potencial negativa promedio $${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

Este resultado general es útil para sistemas gravitantes complejos como sistemas solares o galaxias .

Una aplicación sencilla del teorema del virial se refiere a los cúmulos de galaxias . Si una región del espacio está inusualmente llena de galaxias, es seguro asumir que han estado juntas durante mucho tiempo y se puede aplicar el teorema del virial. Las mediciones del efecto Doppler dan límites inferiores para sus velocidades relativas, y el teorema del virial da un límite inferior para la masa total del cúmulo, incluida la materia oscura.

Si la hipótesis ergódica es válida para el sistema bajo consideración, no es necesario promediar en el tiempo; También se puede tomar un promedio conjunto , con resultados equivalentes.

En mecánica cuántica

Aunque originalmente se derivó de la mecánica clásica, el teorema del virial también es válido para la mecánica cuántica, como lo demostró por primera vez Fock ^[5] utilizando el teorema de Ehrenfest .

Evalúe el conmutador del hamiltoniano con el operador de posición X _n y el operador de momento de la partícula n , $${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$$ $${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$$ $${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.}$$

Sumando todas las partículas, se encuentra la cantidad del conmutador donde está la energía cinética. El lado izquierdo de esta ecuación es solo ⁠ $${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$$ $${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}}$$ ${\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$dq/dt⁠ , según la ecuación de movimiento de Heisenberg. El valor esperado ⟨ ⁠dq/dt⁠ ⟩ de este tiempo la derivada desaparece en un estado estacionario, lo que lleva al teorema cuántico del virial , $${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.}$$

La identidad de Pokhozhaev

En el campo de la mecánica cuántica, existe otra forma del teorema del virial, aplicable a soluciones localizadas de la ecuación estacionaria no lineal de Schrödinger o ecuación de Klein-Gordon , es la identidad de Pokhozhaev , ^[6] también conocida como teorema de Derrick .

Sea continuo y de valor real, con . ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

Denotar . Sea una solución a la ecuación en el sentido de distribuciones . Entonces satisface la relación ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ $${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$$ $${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u),}$$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left({\frac {n-2}{2}}\right)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$$

En relatividad especial

Para una sola partícula en la relatividad especial, no es cierto que T = ⁠1/2⁠ p · v . En cambio, es cierto que T = ( γ − 1) mc ² , donde γ es el factor de Lorentz

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$y β = ⁠v/C⁠ . Tenemos, la última expresión se puede simplificar a . Por lo tanto, bajo las condiciones descritas en secciones anteriores (incluida la tercera ley del movimiento de Newton , F _jk = − F _kj , a pesar de la relatividad), el promedio de tiempo para N partículas con un potencial de ley potencial es En particular, la relación entre energía cinética y potencial la energía ya no es fija, sino que necesariamente cae en un intervalo: donde los sistemas más relativistas exhiben las proporciones mayores. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T\qquad {\text{or}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T}$$ $${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }\,.}$$ $${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\mathrm {TOT} }\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT} }\rangle }}\in \left[1,2\right]\,,}$$

Ejemplos

El teorema del virial tiene una forma particularmente simple para el movimiento periódico. Se puede utilizar para realizar cálculos perturbativos para osciladores no lineales. ^[7]

También se puede utilizar para estudiar el movimiento en un potencial central . ^[4] Si el potencial central es de la forma , el teorema del virial se simplifica a . ^{[ cita necesaria ]} En particular, para la atracción gravitacional o electrostática ( Coulomb ) ,. ${\displaystyle U\propto r^{n}}$ ${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {n}{2}}\langle U\rangle }$ ${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$

Oscilador armónico amortiguado accionado

Análisis basado en. ^[7] Para un oscilador unidimensional con masa , posición , fuerza impulsora , constante de resorte y coeficiente de amortiguación , la ecuación de movimiento es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F\cos(\omega t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle m\underbrace {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}} _{\text{acceleration}}=\underbrace {-kx} _{\text{spring}}\underbrace {-\gamma {\frac {dx}{dt}}} _{\text{friction}}\underbrace {+F\cos(\omega t)} _{\text{external driving}}}$$

Cuando el oscilador ha alcanzado un estado estacionario, realiza una oscilación estable , donde es la amplitud y es el ángulo de fase. ${\displaystyle x=X\cos(\omega t+\varphi )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$

Aplicando el teorema del virial, tenemos , que se simplifica a , donde es la frecuencia natural del oscilador. ${\displaystyle m\langle {\dot {x}}{\dot {x}}\rangle =k\langle xx\rangle +\gamma \langle x{\dot {x}}\rangle -F\langle \cos(\omega t)x\rangle }$ ${\displaystyle F\cos(\varphi )=m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})X}$ ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$

Para resolver las dos incógnitas, necesitamos otra ecuación. En estado estacionario, la potencia perdida por ciclo es igual a la potencia ganada por ciclo: , lo que se simplifica a . ${\displaystyle \underbrace {\langle {\dot {x}}\;\gamma {\dot {x}}\rangle } _{\text{power dissipated}}=\underbrace {\langle {\dot {x}}\;F\cos \omega t\rangle } _{\text{power input}}}$ ${\displaystyle \sin \varphi =-{\frac {\gamma X\omega }{F}}}$

Ahora tenemos dos ecuaciones que dan la solución . ${\displaystyle {\begin{cases}X&={\sqrt {\frac {F^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}+m^{2}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}\\\tan \varphi &=-{\frac {\gamma \omega }{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}\end{cases}}}$

Ley de los gases ideales

Considere un recipiente lleno de un gas ideal formado por masas puntuales. La fuerza aplicada a las masas puntuales es la negativa de las fuerzas aplicadas a la pared del contenedor, que tiene la forma , donde es el vector normal unitario que apunta hacia afuera. Entonces el teorema del virial establece Por el teorema de la divergencia , . Y como la energía cinética total promedio , tenemos . ^[8] ${\displaystyle d\mathbf {F} =-\mathbf {\hat {n}} PdA}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}{\Bigg \langle }\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}{\Bigg \rangle }={\frac {P}{2}}\int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA}$$ ${\textstyle \int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA=\int \nabla \cdot \mathbf {r} dV=3\int dV=3V}$ ${\textstyle \langle T\rangle =N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle =N\cdot {\frac {3}{2}}kT}$ ${\displaystyle PV=NkT}$

Materia oscura

En 1933, Fritz Zwicky aplicó el teorema del virial para estimar la masa del Coma Cluster y descubrió una discrepancia de masa de aproximadamente 450, que explicó como debida a la "materia oscura". ^[9] Refinó el análisis en 1937 y encontró una discrepancia de aproximadamente 500. ^{[10] [11]}

Análisis teorico

Se aproximó al cúmulo de Coma como un "gas" esférico de estrellas de masa aproximadamente igual , lo que da . La energía potencial gravitacional total del cúmulo es , dando . Suponiendo que el movimiento de las estrellas sea el mismo durante un tiempo suficientemente largo ( ergodicidad ) , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \langle T\rangle ={\frac {1}{2}}Nm\langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle U=-\sum _{i<j}{\frac {Gm^{2}}{r_{i,j}}}}$ ${\textstyle \langle U\rangle =-Gm^{2}\sum _{i<j}\langle {1}/{r_{i,j}}\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {1}{2}}N^{2}Gm^{2}\langle {1}/{r}\rangle }$

Zwicky estimó como el potencial gravitacional de una bola uniforme de densidad constante, dando . ${\displaystyle \langle U\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {3}{5}}{\frac {GN^{2}m^{2}}{R}}}$

Entonces, según el teorema del virial, la masa total del cúmulo es $${\displaystyle Nm={\frac {5\langle v^{2}\rangle }{3G\langle {\frac {1}{r}}\rangle }}}$$

Datos

Zwicky ^[9] estimó que hay galaxias en el cúmulo, cada una de las cuales tiene masa estelar observada (sugerida por Hubble), y que el cúmulo tiene un radio de . También midió las velocidades radiales de las galaxias mediante cambios Doppler en los espectros galácticos . Suponiendo equipartición de la energía cinética, . ${\displaystyle _{1933}}$ ${\displaystyle N=800}$ ${\displaystyle m=10^{9}M_{\odot }}$ ${\displaystyle R=10^{6}{\text{ly}}}$ ${\displaystyle \langle v_{r}^{2}\rangle =(1000{\text{km/s}})^{2}}$ ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{r}^{2}\rangle }$

Según el teorema del virial, la masa total del cúmulo debería ser . Sin embargo, la masa observada es , lo que significa que la masa total es 450 veces mayor que la masa observada. ${\displaystyle {\frac {5R\langle v_{r}^{2}\rangle }{G}}\approx 3.6\times 10^{14}M_{\odot }}$ ${\displaystyle Nm=8\times 10^{11}M_{\odot }}$

Generalizaciones

Lord Rayleigh publicó una generalización del teorema del virial en 1900 ^[12] que fue reimpresa parcialmente en 1903. ^[13] Henri Poincaré demostró y aplicó una forma del teorema del virial en 1911 al problema de la formación del Sistema Solar a partir de un proto- nube estelar (entonces conocida como cosmogonía). ^[14] Ledoux desarrolló una forma variacional del teorema del virial en 1945. ^{[15] Parker, [16]} Chandrasekhar ^[17] y Fermi desarrollaron una forma tensorial del teorema del virial. ^[18] Pollard estableció la siguiente generalización del teorema del virial en 1964 para el caso de la ley del cuadrado inverso: ^{[19] [20] [ verificación fallida ]} De lo contrario, se debe agregar un término límite . ^[21] $${\displaystyle 2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\qquad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,.}$$

Inclusión de campos electromagnéticos.

El teorema del virial se puede ampliar para incluir campos eléctricos y magnéticos. El resultado es ^[22]

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$$

donde I es el momento de inercia , G es la densidad de momento del campo electromagnético , T es la energía cinética del "fluido", U es la energía "térmica" aleatoria de las partículas, W ^E y W ^M son la energía eléctrica y Contenido de energía magnética del volumen considerado. Finalmente, p _ik es el tensor de presión del fluido expresado en el sistema de coordenadas en movimiento local.

$${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$$

y Tik _es el tensor de tensión electromagnética ,

$${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$$

Un plasmoide es una configuración finita de campos magnéticos y plasma. Con el teorema del virial es fácil ver que cualquier configuración de este tipo se expandirá si no es contenida por fuerzas externas. En una configuración finita sin paredes que soporten presión ni bobinas magnéticas, la integral de superficie desaparecerá. Como todos los demás términos del lado derecho son positivos, la aceleración del momento de inercia también será positiva. También es fácil estimar el tiempo de expansión τ . Si una masa total M está confinada dentro de un radio R , entonces el momento de inercia es aproximadamente MR ² , y el lado izquierdo del teorema del virial es ⁠Señor ²/τ2^​⁠ . Los términos del lado derecho suman aproximadamente pR ³ , donde p es la mayor entre la presión del plasma o la presión magnética. Igualando estos dos términos y resolviendo para τ , encontramos

$${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$$

donde c _s es la velocidad de la onda acústica del ion (o la onda de Alfvén , si la presión magnética es mayor que la presión del plasma). Por tanto, se espera que la vida útil de un plasmoide sea del orden del tiempo de tránsito acústico (o Alfvén).

Sistema uniforme relativista

En el caso de que en el sistema físico se tengan en cuenta el campo de presión, los campos electromagnético y gravitacional, así como el campo de aceleración de las partículas, el teorema del virial se escribe en forma relativista de la siguiente manera: ^[23]

$${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

donde el valor W _k ≈ γ _c T excede la energía cinética de las partículas T en un factor igual al factor de Lorentz γ _c de las partículas en el centro del sistema. En condiciones normales podemos suponer que γ _c ≈ 1 , entonces podemos ver que en el teorema del virial la energía cinética está relacionada con la energía potencial no por el coeficiente ⁠1/2⁠ , sino más bien por el coeficiente cercano a 0,6. La diferencia con el caso clásico surge al considerar el campo de presión y el campo de aceleración de las partículas dentro del sistema, mientras que la derivada del escalar G no es igual a cero y debe considerarse como la derivada material .

Un análisis del teorema integral del virial generalizado permite encontrar, basándose en la teoría de campos, una fórmula para la velocidad cuadrática media de las partículas típicas de un sistema sin utilizar la noción de temperatura: ^[24]

$${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},}$$

donde es la velocidad de la luz, es la constante del campo de aceleración, es la densidad de masa de las partículas, es el radio actual. ${\displaystyle ~c}$ ${\displaystyle ~\eta }$ ${\displaystyle ~\rho _{0}}$ ${\displaystyle ~r}$

A diferencia del teorema del virial para partículas, para el campo electromagnético el teorema del virial se escribe de la siguiente manera: ^[25] donde la energía se considera como la energía del campo cinético asociado con las cuatro corrientes , y establece la energía del campo potencial que se encuentra a través de los componentes del campo electromagnético. tensor. $${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$$ ${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$ ${\displaystyle j^{\alpha }}$ $${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$$

En astrofísica

El teorema del virial se aplica frecuentemente en astrofísica, especialmente relacionando la energía potencial gravitacional de un sistema con su energía cinética o térmica . Algunas relaciones virial comunes son ^{[ cita requerida ]} para una masa M , radio R , velocidad v y temperatura T. Las constantes son la constante G de Newton , la constante de Boltzmann k _B y la masa del protón m _p . Tenga en cuenta que estas relaciones son sólo aproximadas y, a menudo, los factores numéricos principales (por ejemplo, ⁠ $${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$$ 3/5⁠ o ⁠1/2⁠ ) ​​se descuidan por completo.

Galaxias y cosmología (masa y radio virial)

En astronomía , la masa y el tamaño de una galaxia (o sobredensidad general) a menudo se define en términos de " masa virial " y " radio virial ", respectivamente. Debido a que las galaxias y las sobredensidades en fluidos continuos pueden extenderse mucho (incluso hasta el infinito en algunos modelos, como una esfera isotérmica ), puede resultar difícil definir medidas específicas y finitas de su masa y tamaño. El teorema del virial y conceptos relacionados proporcionan un medio a menudo conveniente para cuantificar estas propiedades.

En dinámica galáctica, la masa de una galaxia a menudo se infiere midiendo la velocidad de rotación de su gas y estrellas, asumiendo órbitas circulares keplerianas . Usando el teorema del virial, la dispersión de velocidades σ se puede usar de manera similar. Tomando la energía cinética (por partícula) del sistema como T = ⁠1/2⁠ v ² ~ ⁠3/2⁠ σ ² , y la energía potencial (por partícula) como U ~ ⁠3/5⁠ ⁠GM/R⁠ podemos escribir

$${\displaystyle {\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.}$$

Aquí está el radio en el que se mide la dispersión de la velocidad y M es la masa dentro de ese radio. La masa y el radio del virial se definen generalmente para el radio en el que la dispersión de velocidad es máxima, es decir ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.}$$

Como se han realizado numerosas aproximaciones, además de la naturaleza aproximada de estas definiciones, a menudo se omiten las constantes de proporcionalidad orden-unidad (como en las ecuaciones anteriores). Por lo tanto, estas relaciones sólo son precisas en un sentido de orden de magnitud , o cuando se usan de manera coherente.

En cosmología se utiliza a menudo una definición alternativa de masa y radio virial, donde se utiliza para referirse al radio de una esfera, centrada en una galaxia o un cúmulo de galaxias , dentro de la cual se mantiene el equilibrio virial. Dado que este radio es difícil de determinar observacionalmente, a menudo se aproxima como el radio dentro del cual la densidad promedio es mayor, por un factor específico, que la densidad crítica donde H es el parámetro de Hubble y G es la constante gravitacional . Una elección común para el factor es 200, que corresponde aproximadamente a la típica sobredensidad en el colapso esférico de copa (ver Masa virial ), en cuyo caso el radio virial se aproxima como La masa virial luego se define en relación con este radio como $${\displaystyle \rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$$ $${\displaystyle r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.}$$ $${\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.}$$

Estrellas

El teorema del virial es aplicable a los núcleos de las estrellas, al establecer una relación entre la energía potencial gravitacional y la energía cinética térmica (es decir, la temperatura). A medida que las estrellas de la secuencia principal convierten el hidrógeno en helio en sus núcleos, el peso molecular medio del núcleo aumenta y debe contraerse para mantener suficiente presión para soportar su propio peso. Esta contracción disminuye su energía potencial y, según establece el teorema del virial, aumenta su energía térmica. La temperatura central aumenta incluso cuando se pierde energía, lo que efectivamente constituye un calor específico negativo . ^[26] Esto continúa más allá de la secuencia principal, a menos que el núcleo se degenere, ya que eso hace que la presión se vuelva independiente de la temperatura y la relación virial con n igual a −1 ya no se mantiene. ^[27]

Ver también

• Coeficiente virial
• Estrés viral
• Masa virial
• tensor de Chandrasekhar
• Ecuaciones viriales de Chandrasekhar
• teorema de derrick
• Teorema de equipartición
• Teorema de Ehrenfest
• La identidad de Pokhozhaev

Referencias

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Otras lecturas

• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Collins, GW (1978). El teorema del virial en astrofísica estelar. Prensa Pachart. Código Bib : 1978vtsa.book.....C. ISBN 978-0-912918-13-6.
• i̇Pekoğlu, Y.; Turgut, S. (2016). "Una derivación elemental del teorema del virial cuántico del teorema de Hellmann-Feynman". Revista Europea de Física . 37 (4): 045405. Código bibliográfico : 2016EJPh...37d5405I. doi :10.1088/0143-0807/37/4/045405. S2CID  125030620.

enlaces externos

• El teorema del virial en MathPages
• Contracción gravitacional y formación de estrellas, Universidad Estatal de Georgia