Teorema de Derrick

El teorema de Derrick es un argumento del físico GH Derrick que muestra que las soluciones localizadas estacionarias de una ecuación de onda no lineal o una ecuación de Klein-Gordon no lineal en dimensiones espaciales tres y superiores son inestables .

Argumento original

El artículo de Derrick, ^[1] que se consideró un obstáculo para interpretar soluciones similares a solitones como partículas, contenía el siguiente argumento físico sobre la inexistencia de soluciones estacionarias localizadas estables para la ecuación de onda no lineal.

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta -{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{2}}f'(\theta ),\qquad \theta (x,t)\in \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$

ahora conocido con el nombre de Teorema de Derrick. (Arriba, hay una función diferenciable con .) ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle f'(0)=0}$

La energía de la solución independiente del tiempo está dada por ${\displaystyle \theta (x)\,}$

${\displaystyle E=\int \left[(\nabla \theta )^{2}+f(\theta )\right]\,d^{3}x.}$

Una condición necesaria para que la solución sea estable es . Supongamos que es una solución localizada de . Defina donde es una constante arbitraria y escriba , . Entonces ${\displaystyle \delta ^{2}E\geq 0\,}$ ${\displaystyle \theta (x)\,}$ ${\displaystyle \delta E=0\,}$ ${\displaystyle \theta _{\lambda }(x)=\theta (\lambda x)\,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I_{1}=\int (\nabla \theta )^{2}d^{3}x}$ ${\displaystyle I_{2}=\int f(\theta )d^{3}x}$

${\displaystyle E_{\lambda }=\int \left[(\nabla \theta _{\lambda })^{2}+f(\theta _{\lambda })\right]\,d^{3}x=I_{1}/\lambda +I_{2}/\lambda ^{3}.}$

De dónde y desde entonces , ${\displaystyle dE_{\lambda }/d\lambda \vert _{\lambda =1}=-I_{1}-3I_{2}=0.\,}$ ${\displaystyle I_{1}>0\,}$

${\displaystyle \left.{\frac {d^{2}E_{\lambda }}{d\lambda ^{2}}}\right|_{\lambda =1}=2I_{1}+12I_{2}=-2I_{1}\,<0.}$

Es decir, para una variación correspondiente a un estiramiento uniforme de la partícula . Por lo tanto, la solución es inestable. ${\displaystyle \delta ^{2}E<0\,}$ ${\displaystyle \theta (x)\,}$

El argumento de Derrick funciona para , . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 3\,}$

La identidad de Pokhozhaev

De manera más general, ^[2] sea continua, con . Denote . Sea ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

ser una solución a la ecuación

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$,

en el sentido de distribuciones . Entonces satisface la relación ${\displaystyle u}$

${\displaystyle (n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx,}$

conocida como identidad de Pokhozhaev (a veces escrita como identidad de Pohozaev ). ^[3] Este resultado es similar al teorema virial .

Interpretación en forma hamiltoniana

Podemos escribir la ecuación en la forma hamiltoniana , , donde son funciones de , la función de Hamilton está dada por ${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=\nabla ^{2}u-{\frac {1}{2}}f'(u)}$ ${\displaystyle \partial _{t}u=\delta _{v}H(u,v)}$ ${\displaystyle \partial _{t}v=-\delta _{u}H(u,v)}$ ${\displaystyle u,\,v}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle H(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|v|^{2}+{\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}+{\frac {1}{2}}f(u)\right)\,dx,}$

y , son las derivadas variacionales de . ${\displaystyle \delta _{u}H\,}$ ${\displaystyle \delta _{v}H\,}$ ${\displaystyle H(u,v)\,}$

Entonces la solución estacionaria tiene la energía y satisface la ecuación ${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$ ${\displaystyle H(\theta ,0)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|\nabla \theta |^{2}+{\frac {1}{2}}f(\theta )\right)\,d^{n}x}$

${\displaystyle 0=\partial _{t}\theta (x)=-\partial _{u}H(\theta ,0)={\frac {1}{2}}E'(\theta ),}$

con denotando una derivada variacional del funcional . Aunque la solución es un punto crítico de (ya que ), el argumento de Derrick muestra que en , por lo tanto no es un punto del mínimo local del funcional de energía . Por lo tanto, físicamente, se espera que la solución sea inestable. Un resultado relacionado, que muestra la no minimización de la energía de los estados estacionarios localizados (con el argumento también escrito para , aunque la derivación es válida en dimensiones ) fue obtenido por RH Hobart en 1963. ^[4] ${\displaystyle E'\,}$ ${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} ^{n}}[\vert \nabla \theta \vert ^{2}+f(\theta )]\,d^{n}x}$ ${\displaystyle \theta (x)\,}$ ${\displaystyle E\,}$ ${\displaystyle E'(\theta )=0\,}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\lambda \,^{2}}}E(\theta (\lambda x))<0}$ ${\displaystyle \lambda =1\,}$ ${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$ ${\displaystyle H\,}$ ${\displaystyle \theta (x)\,}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Relación con la inestabilidad lineal

En 2007, P. Karageorgis y WA Strauss demostraron una afirmación más contundente: la inestabilidad lineal (o exponencial) de las soluciones estacionarias localizadas de la ecuación de onda no lineal (en cualquier dimensión espacial). ^[5]

Estabilidad de soluciones periódicas en el tiempo localizadas

Derrick describe algunas posibles salidas a esta dificultad, incluida la conjetura de que las partículas elementales podrían corresponder a soluciones estables y localizadas que son periódicas en el tiempo, en lugar de independientes del tiempo. De hecho, más tarde se demostró ^{[6] que una} onda solitaria periódica en el tiempo con frecuencia puede ser orbitalmente estable si se satisface el criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov . ${\displaystyle u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}\,}$ ${\displaystyle \omega \,}$

Véase también

• Estabilidad orbital
• La identidad de Pokhozhaev
• Criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov
• Teorema virial

Referencias

1. GH Derrick (1964). "Comentarios sobre ecuaciones de onda no lineales como modelos para partículas elementales". J. Math. Phys . 5 (9): 1252–1254. Bibcode :1964JMP.....5.1252D. doi : 10.1063/1.1704233 .
2. Berestycki, H. y Lions, P.-L. (1983). "Ecuaciones de campo escalares no lineales, I. Existencia de un estado fundamental". Arch. Rational Mech. Anal . 82 (4): 313–345. Bibcode :1983ArRMA..82..313B. doi :10.1007/BF00250555. S2CID  123081616.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Pokhozhaev, SI (1965). "Sobre las funciones propias de la ecuación Δ u + λ f ( u ) = 0 {\displaystyle \Delta u+\lambda f(u)=0} ". Dokl. Akád. Nauk SSSR . 165 : 36–39.
4. RH Hobart (1963). "Sobre la inestabilidad de una clase de modelos de campo unitario". Proc. Phys. Soc . 82 (2): 201–203. Bibcode :1963PPS....82..201H. doi :10.1088/0370-1328/82/2/306.
5. P. Karageorgis y WA Strauss (2007). "Inestabilidad de estados estables para ecuaciones no lineales de ondas y calor". J. Differential Equations . 241 (1): 184–205. arXiv : math/0611559 . Bibcode :2007JDE...241..184K. doi :10.1016/j.jde.2007.06.006. S2CID  18889076.
6. Вахитов, Н. Г. y Колоколов, А. A. (1973). "Estaciones actualizadas sobre el uso del aire en el lugar de uso". Известия высших учебных заведений. Радиофизика . 16 : 1020-1028.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) NG Vakhitov y AA Kolokolov (1973). "Soluciones estacionarias de la ecuación de onda en el medio con saturación de no linealidad". Radiophys. Electron cuántico . 16 (7): 783–789. Bibcode :1973R&QE...16..783V. doi :10.1007/BF01031343. S2CID  123386885.