Órbita circular

Órbita con una distancia fija desde el baricentro

La bala de cañón de Isaac Newton . La trayectoria C representa una órbita circular.

Una órbita circular es una órbita con una distancia fija alrededor del baricentro ; es decir, en forma de círculo . En este caso, no solo la distancia, sino también la velocidad, la velocidad angular , la energía potencial y la cinética son constantes. No hay periapsis ni apoapsis. Esta órbita no tiene versión radial .

A continuación se muestra una órbita circular en astrodinámica o mecánica celeste bajo supuestos estándar. Aquí la fuerza centrípeta es la fuerza gravitacional y el eje mencionado anteriormente es la línea que pasa por el centro de la masa central perpendicular al plano orbital .

Aceleración circular

La aceleración transversal ( perpendicular a la velocidad) provoca un cambio de dirección. Si su magnitud es constante y cambia de dirección con la velocidad, se produce un movimiento circular . Al tomar dos derivadas de las coordenadas de la partícula respecto del tiempo se obtiene la aceleración centrípeta.

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es el radio del círculo
• ${\displaystyle \omega \ }$es la velocidad angular , medida en radianes por unidad de tiempo.

La fórmula no tiene dimensiones y describe una proporción válida para todas las unidades de medida aplicadas de manera uniforme en toda la fórmula. Si el valor numérico se mide en metros por segundo al cuadrado, los valores numéricos se expresarán en metros por segundo, en metros y en radianes por segundo. ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle \omega \ }$

Velocidad

La velocidad (o la magnitud de la velocidad) relativa al objeto central es constante: ^{[1] : 30}

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle G}$, es la constante gravitacional
• ${\displaystyle M}$, es la masa de ambos cuerpos en órbita , aunque en la práctica común, si la masa mayor es significativamente mayor, a menudo se descuida la masa menor, con un cambio mínimo en el resultado. ${\displaystyle (M_{1}+M_{2})}$
• ${\displaystyle \mu =GM}$, es el parámetro gravitacional estándar .

Ecuación de movimiento

La ecuación de la órbita en coordenadas polares, que en general da r en términos de θ , se reduce a: ^{[ aclaración necesaria ] [ cita necesaria ]}

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}}$

dónde:

• ${\displaystyle h=rv}$es el momento angular específico del cuerpo en órbita.

Esto es porque ${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

Velocidad angular y periodo orbital

${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu }$

Por lo tanto, el período orbital ( ) se puede calcular como: ^{[1] : 28} ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

Comparar dos cantidades proporcionales, el tiempo de caída libre (tiempo para caer a una masa puntual desde el reposo)

${\displaystyle T_{\text{ff}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(17,7% del período orbital en una órbita circular)

y el tiempo necesario para caer a una masa puntual en una órbita parabólica radial

${\displaystyle T_{\text{par}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(7,5% del período orbital en una órbita circular)

El hecho de que las fórmulas sólo difieran en un factor constante es evidente a priori a partir del análisis dimensional . ^{[ cita requerida ]}

Energía

En el cuadrante superior izquierdo de este diagrama se representa una órbita circular, donde el pozo de potencial gravitacional de la masa central muestra la energía potencial y la energía cinética de la velocidad orbital se muestra en rojo. La altura de la energía cinética permanece constante a lo largo de la órbita circular de velocidad constante.

La energía orbital específica ( ) es negativa, y ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

Por lo tanto, el teorema virial ^{[1] : 72} se aplica incluso sin tomar un promedio temporal: ^{[ cita requerida ]}

• La energía cinética del sistema es igual al valor absoluto de la energía total.
• La energía potencial del sistema es igual al doble de la energía total.

La velocidad de escape desde cualquier distancia es √ 2 veces la velocidad en una órbita circular a esa distancia: la energía cinética es el doble, por lo tanto la energía total es cero. ^{[ cita requerida ]}

Delta-v alcanzará una órbita circular

Para maniobrar hacia una órbita circular grande, por ejemplo, una órbita geoestacionaria , se requiere un delta-v mayor que el de una órbita de escape , aunque esta última implica alejarse arbitrariamente y disponer de más energía de la necesaria para la velocidad orbital de la órbita circular. También es una cuestión de maniobrar hacia la órbita. Véase también órbita de transferencia de Hohmann .

Velocidad orbital en la relatividad general

En la métrica de Schwarzschild , la velocidad orbital para una órbita circular con radio viene dada por la siguiente fórmula: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

donde es el radio de Schwarzschild del cuerpo central. ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

Derivación

Para mayor comodidad, la derivación se escribirá en unidades en las que . ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$

La cuadrivelocidad de un cuerpo en una órbita circular viene dada por:

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

( es constante en una órbita circular, y las coordenadas se pueden elegir de modo que ). El punto sobre una variable denota derivación con respecto al tiempo propio . ${\displaystyle \scriptstyle r}$ ${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$

Para una partícula masiva, los componentes de la ecuación de cuatro velocidades satisfacen la siguiente ecuación:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1}$

Utilizamos la ecuación geodésica:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0}$

La única ecuación no trivial es la de . Da como resultado: ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

De esto obtenemos:

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

Sustituyendo esto en la ecuación para una partícula masiva obtenemos:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1}$

Por eso:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

Supongamos que tenemos un observador en el radio , que no se mueve con respecto al cuerpo central, es decir, su cuadrivelocidad es proporcional al vector . La condición de normalización implica que es igual a: ${\displaystyle \scriptstyle r}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

El producto escalar de las cuatro velocidades del observador y del cuerpo en órbita es igual al factor gamma del cuerpo en órbita en relación con el observador, por lo tanto:

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

Esto da la velocidad :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

O, en unidades SI:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

En la parte superior del diagrama, un satélite en una órbita circular en el sentido de las agujas del reloj (punto amarillo) lanza objetos de masa despreciable:
(1 - azul) hacia la Tierra,
(2 - rojo) lejos de la Tierra,
(3 - gris) en la dirección de viaje y
(4 - negro) hacia atrás en la dirección de viaje.

Las elipses discontinuas son órbitas relativas a la Tierra. Las curvas sólidas son perturbaciones relativas al satélite: en una órbita, (1) y (2) regresan al satélite después de haber hecho un bucle en el sentido de las agujas del reloj a cada lado del satélite. De manera poco intuitiva, (3) se aleja cada vez más en espiral, mientras que (4) se aleja en espiral hacia adelante.

Véase también

• Órbita elíptica
• Lista de órbitas
• Problema de dos cuerpos

Referencias

1. Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York, NY, EE. UU.: Cambridge University Press. pág. 604. ISBN 9781108411981.