Tensor de energía potencial de Chandrasekhar

En astrofísica , el tensor de energía potencial de Chandrasekhar proporciona el potencial gravitacional de un cuerpo debido a su propia gravedad creada por la distribución de materia a través del cuerpo, llamado así por el astrofísico indio estadounidense Subrahmanyan Chandrasekhar . ^{[1] [2] [3]} El tensor de Chandrasekhar es una generalización de la energía potencial; en otras palabras, la traza del tensor de Chandrasekhar proporciona la energía potencial del cuerpo.

Definición

El tensor de energía potencial de Chandrasekhar se define como

${\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} }$

dónde

${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {x} )=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi _{ii}=\Phi =G\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d\mathbf {x'} }$

dónde

• ${\displaystyle G}$es la constante gravitacional
• ${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )}$es el potencial autogravitante de la ley de gravedad de Newton
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$es la versión generalizada de ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$¿Es la distribución de densidad de materia?
• ${\displaystyle V}$es el volumen del cuerpo

Es evidente que es un tensor simétrico por su definición. La traza del tensor de Chandrasekhar no es otra cosa que la energía potencial . ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}d\mathbf {x} }$

Por lo tanto, el tensor de Chandrasekhar puede considerarse como la generalización de la energía potencial. ^[4]

La prueba de Chandrasekhar

Consideremos una cuestión de volumen con densidad . Por lo tanto ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} \\&=-{\frac {1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\\&=\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}}$

Tensor de Chandrasekhar en términos de potencial escalar

El potencial escalar se define como

${\displaystyle \chi (\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x'} }$

Entonces Chandrasekhar ^[5] demuestra que

${\displaystyle W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

Al establecer obtenemos , tomando nuevamente el Laplaciano , obtenemos . ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\chi =-2W}$ ${\displaystyle \nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho }$

Véase también

• Teorema virial
• Ecuaciones viriales de Chandrasekhar

Referencias

1. Chandrasekhar, S; Lebovitz NR (1962). "Los potenciales y superpotenciales de elipsoides homogéneos" (PDF). Ap. J. 136: 1037–1047. Bibcode :1962ApJ...136.1037C. doi :10.1086/147456. Consultado el 24 de marzo de 2012.
2. Chandrasekhar, S; Fermi E (1953). "Problemas de estabilidad gravitacional en presencia de un campo magnético" (PDF). Ap. J. 118: 116. Bibcode :1953ApJ...118..116C. doi :10.1086/145732. Consultado el 24 de marzo de 2012.
3. Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.
4. Binney, James; Tremaine, Scott (30 de octubre de 2011). Galactic Dynamics (segunda edición). Princeton University Press . pp. 59–60. ISBN 978-1400828722.
5. Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.