Distancia media entre partículas

Cantidad física

La distancia media entre partículas (o separación media entre partículas) es la distancia media entre partículas microscópicas (normalmente átomos o moléculas ) en un cuerpo macroscópico.

Ambigüedad

A partir de consideraciones muy generales, la distancia media entre partículas es proporcional al tamaño del volumen por partícula , es decir, ${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle \langle r\rangle \sim 1/n^{1/3},}$

donde es la densidad de partículas . Sin embargo, salvo algunos casos simples como el modelo de gas ideal , los cálculos precisos del factor de proporcionalidad son imposibles analíticamente. Por lo tanto, a menudo se utilizan expresiones aproximadas. Una de estas estimaciones es el radio de Wigner-Seitz . ${\displaystyle n=N/V}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3},}$

que corresponde al radio de una esfera que tiene un volumen por partícula . Otra definición popular es ${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle 1/n^{1/3}}$,

correspondiente a la longitud del borde del cubo con el volumen por partícula . Las dos definiciones difieren en un factor de aproximadamente , por lo que hay que tener cuidado si un artículo no define el parámetro con exactitud. Por otro lado, se utiliza a menudo en declaraciones cualitativas donde dicho factor numérico es irrelevante o desempeña un papel insignificante, por ejemplo, ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1.61}$

• "una energía potencial... es proporcional a una potencia n de la distancia entre partículas r" ( Teorema del virial )
• "La distancia entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie " ( Teoría cinética )

Gas ideal

Distribución del vecino más próximo

PDF de las distancias NN en un gas ideal.

Queremos calcular la función de distribución de probabilidad de la distancia a la partícula vecina más cercana (NN). (El problema fue considerado por primera vez por Paul Hertz; ^[1] para una derivación moderna, véase, por ejemplo, ^[2] ) Supongamos que las partículas dentro de una esfera tienen un volumen , de modo que . Nótese que, dado que las partículas en el gas ideal no interactúan, la probabilidad de encontrar una partícula a una cierta distancia de otra partícula es la misma que la probabilidad de encontrar una partícula a la misma distancia de cualquier otro punto; utilizaremos el centro de la esfera. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=N/V}$

Una partícula NN a distancia significa que exactamente una de las partículas reside a esa distancia mientras que el resto de las partículas están a distancias mayores, es decir, están en algún lugar fuera de la esfera con radio . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle r}$

La probabilidad de encontrar una partícula a la distancia del origen entre y es , además tenemos varias formas de elegir qué partícula, mientras que la probabilidad de encontrar una partícula fuera de esa esfera es . La expresión buscada es entonces ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$ ${\displaystyle (4\pi r^{2}/V)dr}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1-4\pi r^{3}/3V}$

${\displaystyle P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,}$

donde sustituimos

${\displaystyle {\frac {1}{V}}={\frac {3}{4\pi Na^{3}}}.}$

Nótese que es el radio de Wigner-Seitz . Finalmente, tomando el límite y utilizando , obtenemos ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$

${\displaystyle P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.}$

Se puede comprobar inmediatamente que

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }P(r)dr=1\,.}$

Los picos de distribución se dan en

${\displaystyle r_{\text{peak}}=\left(2/3\right)^{1/3}a\approx 0.874a\,.}$

Distancia media y momentos superiores

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k+2}e^{-x^{3}}dx\,,}$

o, utilizando la sustitución, ${\displaystyle t=x^{3}}$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\int _{0}^{\infty }t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,}$

donde es la función gamma . Por lo tanto, ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,.}$

En particular,

${\displaystyle \langle r\rangle =a\Gamma ({\frac {4}{3}})={\frac {a}{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})\approx 0.893a\,.}$

Referencias

1. Hertz, Paul (1909). "Über den gegenseitigen durchschnittlichen Abstand von Punkten, die mit bekannter mittlerer Dichte im Raume angeordnet sind". Annalen Matemáticas . 67 (3): 387–398. doi :10.1007/BF01450410. ISSN  0025-5831. S2CID  120573104.
2. Chandrasekhar, S. (1 de enero de 1943). "Problemas estocásticos en física y astronomía". Reseñas de Física Moderna . 15 (1): 1–89. Bibcode :1943RvMP...15....1C. doi :10.1103/RevModPhys.15.1.

Véase también

• Radio de Wigner-Seitz