Espacio generado de forma compacta

Propiedad de los espacios topológicos

En topología , un espacio topológico se denomina espacio generado de forma compacta o espacio k si su topología está determinada por espacios compactos de la manera que se precisa a continuación. De hecho, no existe una definición comúnmente aceptada para dichos espacios, ya que diferentes autores utilizan variaciones de la definición que no son exactamente equivalentes entre sí. Además, algunos autores incluyen algún axioma de separación (como el espacio de Hausdorff o el espacio de Hausdorff débil ) en la definición de uno o ambos términos, y otros no. ${\displaystyle X}$

En la definición más simple, un espacio generado de manera compacta es un espacio que es coherente con la familia de sus subespacios compactos, lo que significa que para cada conjunto es abierto en si y solo si es abierto en para cada subespacio compacto Otras definiciones utilizan una familia de aplicaciones continuas de espacios compactos a y declaran que es generado de manera compacta si su topología coincide con la topología final con respecto a esta familia de aplicaciones. Y otras variaciones de la definición reemplazan los espacios compactos con espacios compactos de Hausdorff . ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios generados de forma compacta se desarrollaron para remediar algunas de las deficiencias de la categoría de espacios topológicos . En particular, según algunas de las definiciones, forman una categoría cartesiana cerrada que, al mismo tiempo, contiene los espacios típicos de interés, lo que los hace convenientes para su uso en topología algebraica .

Definiciones

Marco general para las definiciones

Sea un espacio topológico , donde es la topología , es decir, la colección de todos los conjuntos abiertos en ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X.}$

Existen múltiples definiciones (no equivalentes) de espacio generado de manera compacta o espacio k en la literatura. Estas definiciones comparten una estructura común, comenzando con una familia adecuadamente especificada de aplicaciones continuas desde algunos espacios compactos hasta Las diversas definiciones difieren en su elección de la familia como se detalla a continuación. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$

La topología final con respecto a la familia se llama k-ificación de Dado que todas las funciones en eran continuas en la k-ificación de es más fina que (o igual a) la topología original . Los conjuntos abiertos en la k-ificación se llaman ${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (X,T),}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$k-conjuntos abiertos enson los conjuntostales queson abiertos enpara cadaen De manera similar, los ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$Los conjuntos k-cerrados enson los conjuntos cerrados en su k-ificación, con una caracterización correspondiente. En el espacio,todo conjunto abierto es k-abierto y todo conjunto cerrado es k-cerrado. El espaciojunto con la nueva topologíase suele denotar^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle kX.}$

El espacio se llama generado de forma compacta o un k-espacio (con respecto a la familia ) si su topología está determinada por todas las funciones en , en el sentido de que la topología en es igual a su k-ificación; equivalentemente, si todo conjunto k-abierto es abierto en o si todo conjunto k-cerrado es cerrado en o en resumen, si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle kX=X.}$

En cuanto a las diferentes opciones para la familia , se pueden tomar todas las aplicaciones de inclusiones de ciertos subespacios de, por ejemplo, todos los subespacios compactos o todos los subespacios compactos de Hausdorff. Esto corresponde a elegir un conjunto de subespacios de El espacio se genera entonces de forma compacta exactamente cuando su topología es coherente con esa familia de subespacios; es decir, un conjunto es abierto (resp. cerrado) en exactamente cuando la intersección es abierta (resp. cerrada) en para cada Otra opción es tomar la familia de todas las aplicaciones continuas de espacios arbitrarios de un cierto tipo en, por ejemplo, todas esas aplicaciones de espacios compactos arbitrarios o de espacios compactos de Hausdorff arbitrarios. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X,}$

Estas diferentes opciones para la familia de aplicaciones continuas en conducen a diferentes definiciones de espacio generado de forma compacta . Además, algunos autores exigen que se cumpla un axioma de separación (como el de Hausdorff o el de Hausdorff débil ) como parte de la definición, mientras que otros no lo exigen. Las definiciones de este artículo no comprenderán ningún axioma de separación de este tipo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Como nota general adicional, una condición suficiente que puede ser útil para demostrar que un espacio se genera de manera compacta (con respecto a ) es encontrar una subfamilia tal que se genere de manera compacta con respecto a Para espacios coherentes, eso corresponde a demostrar que el espacio es coherente con una subfamilia de la familia de subespacios. Por ejemplo, esto proporciona una forma de demostrar que los espacios localmente compactos se generan de manera compacta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

A continuación se presentan algunas de las definiciones más utilizadas con más detalle, en orden creciente de especificidad.

Para los espacios de Hausdorff, las tres definiciones son equivalentes, por lo que la terminologíaEl espacio de Hausdorff generado de forma compacta es inequívoco y se refiere a un espacio generado de forma compacta (en cualquiera de las definiciones) que también esHausdorff.

Definición 1

De manera informal, un espacio cuya topología está determinada por sus subespacios compactos, o equivalentemente en este caso, por todos los mapas continuos de espacios compactos arbitrarios.

Un espacio topológico se denomina espacio generado de forma compacta o k-espacio si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle X}$

(1) La topología en es coherente con la familia de sus subespacios compactos; es decir, satisface la propiedad: ${\displaystyle X}$

un conjunto está abierto (resp. cerrado) en exactamente cuando la intersección está abierta (resp. cerrada) en para cada subespacio compacto ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

(2) La topología coincide con la topología final con respecto a la familia de todas las aplicaciones continuas de todos los espacios compactos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K.}$

(3) es un espacio cociente de una suma topológica de espacios compactos. ${\displaystyle X}$

(4) es un espacio cociente de un espacio débilmente localmente compacto . ${\displaystyle X}$

Como se explica en el artículo final de topología , la condición (2) está bien definida, aunque la familia de mapas continuos de espacios compactos arbitrarios no es un conjunto sino una clase propia.

La equivalencia entre las condiciones (1) y (2) se sigue del hecho de que cada inclusión de un subespacio es una función continua; y, por otro lado, cada función continua de un espacio compacto tiene una imagen compacta y, por lo tanto, se factoriza a través de la inclusión del subespacio compacto en ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle X.}$

Definición 2

De manera informal, un espacio cuya topología está determinada por todos los mapas continuos de espacios de Hausdorff compactos arbitrarios.

Un espacio topológico se denomina espacio generado de forma compacta o k-espacio si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle X}$

(1) La topología en coincide con la topología final con respecto a la familia de todas las aplicaciones continuas de todos los espacios de Hausdorff compactos En otras palabras, satisface la condición: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K.}$

un conjunto está abierto (resp. cerrado) en exactamente cuando está abierto (resp. cerrado) en para cada espacio de Hausdorff compacto y cada mapa continuo ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to X.}$

(2) es un espacio cociente de una suma topológica de espacios de Hausdorff compactos. ${\displaystyle X}$

(3) es un espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto . ${\displaystyle X}$

Como se explica en el artículo final de topología , la condición (1) está bien definida, aunque la familia de mapas continuos de espacios de Hausdorff compactos arbitrarios no es un conjunto sino una clase propia. ^[5]

Todo espacio que satisface la Definición 2 también satisface la Definición 1. La inversa no es cierta. Por ejemplo, la compactificación de un punto del espacio de Arens-Fort es compacta y, por lo tanto, satisface la Definición 1, pero no satisface la Definición 2.

La definición 2 es la que se utiliza con más frecuencia en topología algebraica. Esta definición suele combinarse con la propiedad débil de Hausdorff para formar la categoría CGWH de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .

Definición 3

De manera informal, un espacio cuya topología está determinada por sus subespacios compactos de Hausdorff.

Un espacio topológico se denomina espacio generado de forma compacta o k-espacio si su topología es coherente con la familia de sus subespacios de Hausdorff compactos; es decir, satisface la propiedad: ${\displaystyle X}$

un conjunto está abierto (resp. cerrado) en exactamente cuando la intersección está abierta (resp. cerrada) en para cada subespacio compacto de Hausdorff ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Todo espacio que satisface la Definición 3 también satisface la Definición 2. La recíproca no es cierta. Por ejemplo, el espacio de Sierpiński con topología no satisface la Definición 3, porque sus subespacios compactos de Hausdorff son los singletons y , y la topología coherente que inducen sería la topología discreta . Por otra parte, satisface la Definición 2 porque es homeomorfo al espacio cociente del intervalo compacto obtenido al identificar todos los puntos en ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \{\emptyset ,\{1\},X\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1].}$

Por sí sola, la Definición 3 no es tan útil como las otras dos definiciones, ya que carece de algunas de las propiedades implicadas por las otras. Por ejemplo, todo espacio cociente de un espacio que satisface la Definición 1 o la Definición 2 es un espacio del mismo tipo. Pero esto no se aplica a la Definición 3.

Sin embargo, para los espacios de Hausdorff débiles, las definiciones 2 y 3 son equivalentes. ^[8] Por lo tanto, la categoría CGWH también se puede definir combinando la propiedad de Hausdorff débil con la Definición 3, que puede ser más fácil de enunciar y trabajar con ella que la Definición 2.

Motivación

Los espacios generados de forma compacta se denominaban originalmente k-espacios , a partir de la palabra alemana kompakt . Fueron estudiados por Hurewicz y se pueden encontrar en Topología general de Kelley, Topología de Dugundji y Teoría de homotopía racional de Félix, Halperin y Thomas.

La motivación para su estudio más profundo surgió en la década de 1960 a partir de las deficiencias bien conocidas de la categoría habitual de espacios topológicos . Esta no es una categoría cerrada cartesiana , el producto cartesiano habitual de los mapas de identificación no siempre es un mapa de identificación y el producto habitual de los complejos CW no necesita ser un complejo CW. ^[9] Por el contrario, la categoría de conjuntos simpliciales tenía muchas propiedades convenientes, incluida la de ser cartesianamente cerrada. La historia del estudio de la reparación de esta situación se da en el artículo sobre el n Lab sobre categorías convenientes de espacios.

La primera sugerencia (1962) para remediar esta situación fue restringirse a la subcategoría completa de espacios de Hausdorff generados de manera compacta, que de hecho es cartesianamente cerrada. Estas ideas se basan en el teorema de dualidad de De Vries. A continuación se ofrece una definición del objeto exponencial . Otra sugerencia (1964) fue considerar los espacios de Hausdorff habituales pero utilizar funciones continuas en subconjuntos compactos.

Estas ideas se generalizan al caso no Hausdorff; ^[10] es decir, con una definición diferente de espacios generados de manera compacta. Esto es útil ya que los espacios de identificación de los espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff. ^[11]

En la topología algebraica moderna , esta propiedad se asocia más comúnmente con la propiedad de Hausdorff débil , de modo que se trabaja en la categoría CGWH de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .

Ejemplos

Como se explica en la sección de Definiciones, no existe una definición universalmente aceptada en la literatura para los espacios generados de forma compacta; pero las Definiciones 1, 2 y 3 de esa sección son algunas de las más utilizadas. Para expresar los resultados de una manera más concisa, en esta sección se utilizarán las abreviaturas CG-1 , CG-2 y CG-3 para denotar cada una de las tres definiciones de forma inequívoca. Esto se resume en la tabla siguiente (consulte la sección de Definiciones para conocer otras condiciones equivalentes para cada una).

Para los espacios de Hausdorff, las propiedades CG-1, CG-2, CG-3 son equivalentes. Dichos espacios pueden denominarse espacios de Hausdorff generados de forma compacta sin ambigüedad.

Todo espacio CG-3 es CG-2 y todo espacio CG-2 es CG-1. Las implicaciones inversas no se cumplen en general, como lo demuestran algunos de los ejemplos siguientes.

Para espacios de Hausdorff débiles las propiedades CG-2 y CG-3 son equivalentes. ^[8]

Los espacios secuenciales son CG-2. ^[12] Esto incluye los primeros espacios contables , los espacios Alexandrov-discretos y los espacios finitos .

Todo espacio CG-3 es un espacio T 1 (porque dado un singleton su intersección con cada subespacio compacto de Hausdorff es el conjunto vacío o un único punto, que está cerrado en por lo tanto el singleton está cerrado en ). Los espacios T ₁ finitos tienen la topología discreta . Así que entre los espacios finitos, que son todos CG-2, los espacios CG-3 son los que tienen la topología discreta. Cualquier espacio finito no discreto, como el espacio de Sierpiński , es un ejemplo de espacio CG-2 que no es CG-3. ${\displaystyle \{x\}\subseteq X,}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios compactos y los espacios localmente compactos débiles son CG-1, pero no necesariamente CG-2 (ver ejemplos a continuación).

Los espacios de Hausdorff generados de forma compacta incluyen la versión de Hausdorff de las diversas clases de espacios mencionados anteriormente como CG-1 o CG-2, a saber, espacios secuenciales de Hausdorff, espacios numerables de Hausdorff, espacios de Hausdorff localmente compactos , etc. En particular, los espacios métricos y las variedades topológicas se generan de forma compacta. Los complejos CW también se generan de forma compacta según Hausdorff.

Para proporcionar ejemplos de espacios que no se generan de forma compacta, es útil examinar los espacios anticompactos ^[13] , es decir, espacios cuyos subespacios compactos son todos finitos. Si un espacio es anticompacto y T ₁ , cada subespacio compacto de tiene la topología discreta y la k-ificación correspondiente de es la topología discreta. Por lo tanto, cualquier espacio anticompacto T ₁ no discreto no es CG-1. Algunos ejemplos incluyen: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

• La topología co-contable en un espacio incontable.
• La Lindelöficación de un punto de un espacio discreto incontable (también llamado espacio Fortissimo ).
• El espacio Arens-Fort .
• El espacio de Appert .
• La “topología de ultrafiltro único” ^[14]

Otros ejemplos de espacios (de Hausdorff) que no se generan de forma compacta incluyen:

• El producto de un número incontable de copias de (cada una con la topología euclidiana habitual ). ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El producto de un número incontable de copias de (cada una con la topología discreta ). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para ejemplos de espacios que son CG-1 y no CG-2, se puede empezar con cualquier espacio que no sea CG-1 (por ejemplo, el espacio de Arens-Fort o un producto incontable de copias de ) y sea la compactificación de un punto de El espacio es compacto, por lo tanto CG-1. Pero no es CG-2 porque los subespacios abiertos heredan la propiedad CG-2 y es un subespacio abierto de que no es CG-2. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

(Véase la sección Ejemplos para el significado de las abreviaturas CG-1, CG-2, CG-3.)

Subespacios

Los subespacios de un espacio generado de forma compacta no se generan de forma compacta en general, incluso en el caso de Hausdorff. Por ejemplo, el espacio ordinal donde es el primer ordinal incontable es Hausdorff compacto, por lo tanto, generado de forma compacta. Su subespacio con todos los ordinales límite excepto eliminados es isomorfo al espacio Fortissimo , que no se genera de forma compacta (como se menciona en la sección de Ejemplos, es anticompacto y no discreto). ^[16] Otro ejemplo es el espacio de Arens, ^{[17] [18]} que es Hausdorff secuencial, por lo tanto, generado de forma compacta. Contiene como subespacio el espacio Arens-Fort , que no se genera de forma compacta. ${\displaystyle \omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

En un espacio CG-1, todo conjunto cerrado es CG-1. No ocurre lo mismo con los conjuntos abiertos. Por ejemplo, como se muestra en la sección de Ejemplos, hay muchos espacios que no son CG-1, pero son abiertos en su compactificación de un punto , que es CG-1.

En un espacio CG-2, todo conjunto cerrado es CG-2, y también lo es todo conjunto abierto (porque existe una función cociente para algún espacio de Hausdorff localmente compacto y para un conjunto abierto la restricción de a es también una función cociente en un espacio de Hausdorff localmente compacto). Lo mismo es cierto de manera más general para todo conjunto localmente cerrado , es decir, la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado. ^[19] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{-1}(U)}$

En un espacio CG-3, todo conjunto cerrado es CG-3.

Cocientes

La unión disjunta de una familia de espacios topológicos es CG-1 si y solo si cada espacio es CG-1. Las afirmaciones correspondientes también son válidas para CG-2 ^{[20] [21]} y CG-3. ${\displaystyle {\coprod }_{i}X_{i}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Un espacio cociente de un espacio CG-1 es CG-1. ^[22] En particular, todo espacio cociente de un espacio débilmente localmente compacto es CG-1. A la inversa, todo espacio CG-1 es el espacio cociente de un espacio débilmente localmente compacto, que puede tomarse como la unión disjunta de los subespacios compactos de ^[22] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Un espacio cociente de un espacio CG-2 es CG-2. ^[23] En particular, todo espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto es CG-2. A la inversa, todo espacio CG-2 es el espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto. ^{[24] [25]}

Un espacio cociente de un espacio CG-3 no es CG-3 en general. De hecho, todo espacio CG-2 es un espacio cociente de un espacio CG-3 (es decir, algún espacio de Hausdorff localmente compacto); pero hay espacios CG-2 que no son CG-3. Para un ejemplo concreto, el espacio de Sierpiński no es CG-3, pero es homeomorfo al cociente del intervalo compacto obtenido al identificar a un punto. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1]}$

En términos más generales, cualquier topología final en un conjunto inducida por una familia de funciones de espacios CG-1 también es CG-1. Y lo mismo se aplica a CG-2. Esto se deduce de la combinación de los resultados anteriores para uniones disjuntas y espacios cocientes, junto con el comportamiento de las topologías finales bajo composición de funciones.

Una suma de cuña de espacios CG-1 es CG-1. Lo mismo se aplica a CG-2. Esto también es una aplicación de los resultados anteriores para uniones disjuntas y espacios cocientes.

Productos

El producto de dos espacios generados de forma compacta no necesita ser generado de forma compacta, incluso si ambos espacios son Hausdorff y secuenciales . Por ejemplo, el espacio con la topología de subespacio de la línea real es primero contable ; el espacio con la topología de cociente de la línea real con los enteros positivos identificados hasta un punto es secuencial. Ambos espacios son Hausdorff generados de forma compacta, pero su producto no es generado de forma compacta. ^[26] ${\displaystyle X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Sin embargo, en algunos casos el producto de dos espacios generados de forma compacta se genera de forma compacta:

• El producto de dos primeros espacios contables es primer contable, por lo tanto CG-2.
• El producto de un espacio CG-1 y un espacio localmente compacto es CG-1. ^[27] (Aquí, localmente compacto tiene el sentido de la condición (3) del artículo correspondiente, es decir, cada punto tiene una base local de vecindades compactas).
• El producto de un espacio CG-2 y un espacio de Hausdorff localmente compacto es CG-2. ^{[28] [29]}

Cuando se trabaja en una categoría de espacios generados de forma compacta (como todos los espacios CG-1 o todos los espacios CG-2), la topología de producto habitual en no se genera de forma compacta en general, por lo que no puede servir como un producto categórico . Pero su k-ificación sí pertenece a la categoría esperada y es el producto categórico. ^{[30] [31]} ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle k(X\times Y)}$

Continuidad de funciones

Las funciones continuas en espacios generados de forma compacta son aquellas que se comportan bien en subconjuntos compactos. Más precisamente, sea una función de un espacio topológico a otro y supongamos que el dominio se genera de forma compacta según una de las definiciones de este artículo. Dado que los espacios generados de forma compacta se definen en términos de una topología final , se puede expresar la continuidad de en términos de la continuidad de la composición de con las diversas funciones de la familia utilizada para definir la topología final. Los detalles son los siguientes. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Si es CG-1, la función es continua si y sólo si la restricción es continua para cada compacto ^[32] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Si es CG-2, la función es continua si y sólo si la composición es continua para cada espacio de Hausdorff compacto y mapa continuo ^[33] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ u:K\to Y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u:K\to X.}$

Si es CG-3, la función es continua si y solo si la restricción es continua para cada función compacta de Hausdorff. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Misceláneas

Para espacios topológicos y sea el espacio de todos los mapas continuos de a topologizados por la topología compacta-abierta . Si es CG-1, los componentes de la trayectoria en son precisamente las clases de equivalencia de homotopía . ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$

K-ificación

Dado cualquier espacio topológico podemos definir una topología posiblemente más fina que se genera de forma compacta, a veces llamada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$k-ificación de la topología.Sea la familia de subconjuntos compactos deDefinimos la nueva topología endeclarando que un subconjuntoes cerradosi y solo sies cerrado enpara cada índiceDenotamos este nuevo espacio porSe puede demostrar que los subconjuntos compactos deycoinciden, y las topologías inducidas en subconjuntos compactos son las mismas. Se sigue quese genera de forma compacta. Sise generó de forma compacta para empezar con entoncesDe lo contrario, la topología enes estrictamente más fina que(es decir, hay más conjuntos abiertos). ${\displaystyle \{K_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap K_{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle kX.}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX=X.}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$

Esta construcción es funcional . Denotamos la subcategoría completa de con objetos como espacios generados de forma compacta, y la subcategoría completa de con objetos como espacios de Hausdorff. El funtor de a que lleva a es adjunto derecho al funtor de inclusión ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} \to \mathbf {Top} .}$

El objeto exponencial en está dado por donde es el espacio de mapas continuos de a con la topología compacta-abierta . ${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$ ${\displaystyle k(Y^{X})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Estas ideas se pueden generalizar al caso no Hausdorff. ^[10] Esto es útil ya que los espacios de identificación de los espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff.

Véase también

• Topología compacta-abierta
• Espacio generado de forma contable  : espacio topológico en el que la topología está determinada por sus subconjuntos contablesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio finitamente generado  : topología en la que la intersección de cualquier familia de conjuntos abiertos es abierta.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio K (análisis funcional)

Notas

1. Strickland 2009, Definición 1.1.
2. Lawson, J.; Madison, B. (1974). "Cocientes de k-semigrupos". Semigroup Forum . 9 : 1–18. doi :10.1007/BF02194829.
3. Willard 2004, Definición 43.8.
4. Munkres 2000, pág. 283.
5. Brown 2006, pág. 182.
6. Strickland 2009.
7. espacio topológico generado de forma compacta en el laboratorio n
8. Strickland 2009, Lema 1.4(c).
9. Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica (PDF) .( Ver el Apéndice )
10. Brown 2006, sección 5.9.
11. Booth, Peter; Tillotson, J. (1980). "Categorías monoidales cerradas, cartesianas cerradas y convenientes de espacios topológicos" (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 88 (1): 35–53. doi :10.2140/pjm.1980.88.35.
12. Strickland 2009, Proposición 1.6.
13. Bankston, Paul (1979). "La negación total de una propiedad topológica". Illinois Journal of Mathematics . 23 (2): 241–252. doi : 10.1215/ijm/1256048236 .
14. Steen y Seebach 1995, Ejemplo 114, pág. 136.
15. Willard 2004, Problema 43H(2).
16. Lamartin 1977, pág. 8.
17. Engelking 1989, Ejemplo 1.6.19.
18. Ma, Dan (19 de agosto de 2010). "Una nota sobre el espacio de Arens".
19. Lamartin 1977, Proposición 1.8.
20. Strickland 2009, Proposición 2.2.
21. Rezk 2018, Proposición 3.4 (3).
22. Lawson y Madison 1974, pág. 3.
23. Brown 2006, 5.9.1 (Corolario 2).
24. Brown 2006, Proposición 5.9.1.
25. Lamartin 1977, Proposición 1.7.
26. Engelking 1989, Ejemplo 3.3.29.
27. Lawson y Madison 1974, Proposición 1.2.
28. Strickland 2009, Proposición 2.6.
29. Rezk 2018, Proposición 7.5.
30. Lamartin 1977, Proposición 1.11.
31. Rezk 2018, sección 3.5.
32. Willard 2004, Teorema 43.10.
33. Strickland 2009, Proposición 1.11.
34. Willard 2004, Problema 43J(1).

Referencias

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• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Lamartin, WF (1977), Sobre los fundamentos de la teoría de grupos k, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
• May, J. Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9.
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Rezk, Charles (2018). "Espacios generados de forma compacta" (PDF) .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .
• Strickland, Neil P. (2009). "La categoría de espacios CGWH" (PDF) .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .

Lectura adicional

• Espacios generados de forma compacta: contiene un excelente catálogo de propiedades y construcciones con espacios generados de forma compacta
• Espacio topológico generado de forma compacta en el laboratorio n
• Categoría conveniente de espacios topológicos en el laboratorio n
• https://math.stackexchange.com/questions/4646084/unraveling-the-various-definitions-of-k-space-or-compactly-generated-space