Base (topología)

Colección de conjuntos abiertos utilizados para definir una topología

En matemáticas , una base (o base ; pl.: bases ) para la topología τ de un espacio topológico ( X , τ) es una familia de subconjuntos abiertos de X tales que cada conjunto abierto de la topología es igual a la unión de alguna subfamilia de . Por ejemplo, el conjunto de todos los intervalos abiertos en la recta de números reales es una base para la topología euclidiana en porque cada intervalo abierto es un conjunto abierto, y también cada subconjunto abierto de puede escribirse como una unión de alguna familia de intervalos abiertos. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Las bases son omnipresentes en toda la topología. Los conjuntos de una base para una topología, que se denominan conjuntos abiertos básicos , suelen ser más fáciles de describir y utilizar que los conjuntos abiertos arbitrarios. ^[1] Muchas definiciones topológicas importantes, como la continuidad y la convergencia, se pueden comprobar utilizando solo conjuntos abiertos básicos en lugar de conjuntos abiertos arbitrarios. Algunas topologías tienen una base de conjuntos abiertos con propiedades útiles específicas que pueden facilitar la comprobación de dichas definiciones topológicas.

No todas las familias de subconjuntos de un conjunto forman una base para una topología en . Bajo ciertas condiciones que se detallan a continuación, una familia de subconjuntos formará una base para una topología (única) en , obtenida tomando todas las uniones posibles de subfamilias. Dichas familias de conjuntos se utilizan con mucha frecuencia para definir topologías. Una noción más débil relacionada con las bases es la de subbase para una topología. Las bases para topologías también están estrechamente relacionadas con las bases de vecindad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definición y propiedades básicas

Dado un espacio topológico , una base ^[2] (o base ^[3] ) para la topología (también llamada base para si se entiende la topología) es una familia de conjuntos abiertos tales que cada conjunto abierto de la topología puede representarse como la unión de alguna subfamilia de . ^{[nota 1]} Los elementos de se llaman conjuntos abiertos básicos . Equivalentemente, una familia de subconjuntos de es una base para la topología si y solo si y para cada conjunto abierto en y punto hay algún conjunto abierto básico tal que . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U}$

Por ejemplo, la colección de todos los intervalos abiertos en la recta real forma una base para la topología estándar sobre los números reales. De manera más general, en un espacio métrico, la colección de todas las bolas abiertas sobre los puntos de forma una base para la topología. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

En general, un espacio topológico puede tener muchas bases. La topología completa es siempre una base para sí misma (es decir, es una base para ). Para la recta real, la colección de todos los intervalos abiertos es una base para la topología. También lo es la colección de todos los intervalos abiertos con puntos finales racionales, o la colección de todos los intervalos abiertos con puntos finales irracionales, por ejemplo. Nótese que dos bases diferentes no necesitan tener ningún conjunto abierto básico en común. Una de las propiedades topológicas de un espacio es la cardinalidad mínima de una base para su topología, llamada peso de y denotado . De los ejemplos anteriores, la recta real tiene peso contable. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)}$

Si es una base para la topología de un espacio , satisface las siguientes propiedades: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

(B1) Los elementos de la cubierta , es decir, cada punto pertenece a algún elemento de . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(B2) Para cada punto , existe alguno tal que . ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$

La propiedad (B1) corresponde al hecho de que es un conjunto abierto; la propiedad (B2) corresponde al hecho de que es un conjunto abierto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$

Por el contrario, supongamos que es simplemente un conjunto sin ninguna topología y es una familia de subconjuntos de que satisfacen las propiedades (B1) y (B2). Entonces es una base para la topología que genera. Más precisamente, sea la familia de todos los subconjuntos de que son uniones de subfamilias de Entonces es una topología en y es una base para . ^[5] (Bosquejo: define una topología porque es estable bajo uniones arbitrarias por construcción, es estable bajo intersecciones finitas por (B2), contiene por (B1), y contiene el conjunto vacío como la unión de la subfamilia vacía de . La familia es entonces una base para por construcción). Tales familias de conjuntos son una forma muy común de definir una topología. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

En general, si es un conjunto y es una colección arbitraria de subconjuntos de , existe una topología (única) más pequeña en que contiene a . (Esta topología es la intersección de todas las topologías en que contienen a ). La topología se denomina topología generada por , y se denomina subbase para . La topología también se puede caracterizar como el conjunto de todas las uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de . (Véase el artículo sobre subbase ). Ahora bien, si también satisface las propiedades (B1) y (B2), la topología generada por se puede describir de una forma más sencilla sin tener que tomar intersecciones: es el conjunto de todas las uniones de elementos de (y es base para en ese caso). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

A menudo hay una manera fácil de comprobar la condición (B2). Si la intersección de dos elementos cualesquiera de es en sí misma un elemento de o está vacía, entonces la condición (B2) se satisface automáticamente (tomando ). Por ejemplo, la topología euclidiana en el plano admite como base el conjunto de todos los rectángulos abiertos con lados horizontales y verticales, y una intersección no vacía de dos de esos conjuntos abiertos básicos también es un conjunto abierto básico. Pero otra base para la misma topología es la colección de todos los discos abiertos; y aquí es necesaria la condición (B2) completa. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$

Un ejemplo de una colección de conjuntos abiertos que no es una base es el conjunto de todos los intervalos semiinfinitos de las formas y con . La topología generada por contiene todos los intervalos abiertos , por lo tanto genera la topología estándar en la recta real. Pero es solo una subbase para la topología, no una base: un intervalo abierto finito no contiene ningún elemento de (equivalentemente, la propiedad (B2) no se cumple). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

El conjunto Γ de todos los intervalos abiertos en forma una base para la topología euclidiana en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto X que está cerrada bajo intersecciones finitas de dos o más conjuntos, que se llama un π -sistema en X , es necesariamente una base para una topología en X si y solo si cubre X . Por definición, cada σ-álgebra , cada filtro (y, en particular, cada filtro de vecindad ), y cada topología es un π -sistema de cobertura y, por lo tanto, también una base para una topología. De hecho, si Γ es un filtro en X entonces { ∅ } ∪ Γ es una topología en X y Γ es una base para ella. Una base para una topología no tiene que estar cerrada bajo intersecciones finitas y muchas no lo están. Pero, sin embargo, muchas topologías se definen por bases que también están cerradas bajo intersecciones finitas. Por ejemplo, cada una de las siguientes familias de subconjuntos de está cerrada bajo intersecciones finitas y, por lo tanto, cada una forma una base para alguna topología en : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El conjunto Γ de todos los intervalos abiertos acotados en genera la topología euclidiana habitual en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunto Σ de todos los intervalos cerrados acotados en genera la topología discreta en y, por lo tanto, la topología euclidiana es un subconjunto de esta topología. Esto es así a pesar del hecho de que Γ no es un subconjunto de Σ . En consecuencia, la topología generada por Γ , que es la topología euclidiana en , es más burda que la topología generada por Σ . De hecho, es estrictamente más burda porque Σ contiene conjuntos compactos no vacíos que nunca son abiertos en la topología euclidiana. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunto Γ _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$} de todos los intervalos en Γ tales que ambos extremos del intervalo son números racionales genera la misma topología que Γ . Esto sigue siendo cierto si cada instancia del símbolo Γ se reemplaza por Σ .
• Σ _∞ = { [ r , ∞) : r ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ genera una topología que es estrictamente más burda que la topología generada por Σ . Ningún elemento de Σ _∞ está abierto en la topología euclidiana en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Γ _∞ = { ( r , ∞) : r ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ genera una topología que es estrictamente más burda que la topología euclidiana y la topología generada por Σ _∞ . Los conjuntos Σ _∞ y Γ _∞ son disjuntos, pero sin embargo Γ _∞ es un subconjunto de la topología generada por Σ _∞ .

Objetos definidos en términos de bases

• La topología de orden en un conjunto totalmente ordenado admite una colección de conjuntos de tipo intervalo abierto como base.
• En un espacio métrico, el conjunto de todas las bolas abiertas forma una base para la topología.
• La topología discreta tiene como base la colección de todos los singletons .
• Un segundo espacio contable es aquel que tiene una base contable .

La topología de Zariski en el espectro de un anillo tiene una base que consiste en conjuntos abiertos que tienen propiedades útiles específicas. Para la base habitual de esta topología, cada intersección finita de conjuntos abiertos básicos es un conjunto abierto básico.

• La topología de Zariski es la topología que tiene los conjuntos algebraicos como conjuntos cerrados. Tiene una base formada por los complementos de conjuntos de las hipersuperficies algebraicas . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• La topología de Zariski del espectro de un anillo (el conjunto de los ideales primos ) tiene una base tal que cada elemento consta de todos los ideales primos que no contienen un elemento dado del anillo.

Teoremas

• Una topología es más fina que una topología si y sólo si para cada conjunto abierto básico de contenidos en , existe un conjunto abierto básico de contenidos en . ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$
• Si son bases para las topologías , entonces la colección de todos los productos de conjuntos con cada uno es una base para la topología del producto. En el caso de un producto infinito, esto todavía se aplica, excepto que todos, excepto un número finito de los elementos base, deben ser el espacio entero. ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$ ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$ ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$ ${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$
• Sea una base para y sea un subespacio de . Entonces, si intersectamos cada elemento de con , la colección de conjuntos resultante es una base para el subespacio . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• Si una función mapea cada conjunto abierto básico de en un conjunto abierto de , es una función abierta . De manera similar, si cada preimagen de un conjunto abierto básico de es abierta en , entonces es continua . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base para un espacio topológico si y sólo si la subcolección de elementos de los cuales contiene forma una base local en , para cualquier punto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$

Base para los conjuntos cerrados

Los conjuntos cerrados son igualmente aptos para describir la topología de un espacio. Por lo tanto, existe una noción dual de base para los conjuntos cerrados de un espacio topológico. Dado un espacio topológico, una familia de conjuntos cerrados forma una base para los conjuntos cerrados si y solo si para cada conjunto cerrado y cada punto que no está en existe un elemento de que contiene pero no contiene Una familia es una base para los conjuntos cerrados de si y solo si es dual en que es la familia de complementos de miembros de , es una base para los conjuntos abiertos de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

Sea una base para los conjuntos cerrados de Entonces ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. Para cada uno la unión es la intersección de alguna subfamilia de (es decir, para cualquier no en hay algún que contiene y algún que no contiene ). ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle x}$

Cualquier colección de subconjuntos de un conjunto que satisfaga estas propiedades forma una base para los conjuntos cerrados de una topología. Los conjuntos cerrados de esta topología son precisamente las intersecciones de los miembros de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

En algunos casos es más conveniente utilizar una base para los conjuntos cerrados en lugar de los abiertos. Por ejemplo, un espacio es completamente regular si y solo si los conjuntos cero forman una base para los conjuntos cerrados. Dado cualquier espacio topológico, los conjuntos cero forman la base para los conjuntos cerrados de alguna topología en Esta topología será la topología completamente regular más fina en más gruesa que la original. En una línea similar, la topología de Zariski en A ⁿ se define tomando los conjuntos cero de funciones polinómicas como base para los conjuntos cerrados. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Peso y caracter

Trabajaremos con nociones establecidas en (Engelking 1989, p. 12, pp. 127-128).

Fijemos X como un espacio topológico. Aquí, una red es una familia de conjuntos, para los cuales, para todos los puntos x y vecindarios abiertos U que contienen a x , existe B en para el cual Nótese que, a diferencia de una base, los conjuntos en una red no necesitan ser abiertos. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$

Definimos el peso , w ( X ), como la cardinalidad mínima de una base; definimos el peso de la red , nw ( X ), como la cardinalidad mínima de una red; el carácter de un punto , como la cardinalidad mínima de una base de vecindad para x en X ; y el carácter de X como ${\displaystyle \chi (x,X),}$ $${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

El objetivo de calcular el carácter y el peso es poder determinar qué tipo de bases y bases locales pueden existir. Tenemos los siguientes datos:

• nw ( X ) ≤ w ( X ).
• si X es discreto, entonces w ( X ) = nw ( X ) = | X |.
• Si X es Hausdorff, entonces nw ( X ) es finito si y sólo si X es finito discreto.
• Si B es una base de X entonces hay una base de tamaño ${\displaystyle B'\subseteq B}$ ${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• si N es una base de vecindad para x en X entonces existe una base de vecindad de tamaño ${\displaystyle N'\subseteq N}$ ${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• Si es una sobreyección continua, entonces nw ( Y ) ≤ w ( X ). (Simplemente considere la red Y para cada base B de X .) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}}$
• si es Hausdorff, entonces existe una topología de Hausdorff más débil de modo que Entonces a fortiori , si X también es compacto, entonces dichas topologías coinciden y por lo tanto tenemos, combinado con el primer hecho, nw ( X ) = w ( X ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ')}$ ${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$
• Si una función sobreyectiva continua va de un espacio metrizable compacto a un espacio de Hausdorff, entonces Y es metrizable compacto. ${\displaystyle f:X\to Y}$

El último hecho se sigue de que f ( X ) es un Hausdorff compacto, y por lo tanto (ya que los espacios compactos metrizables son necesariamente contables en segundo lugar); así como del hecho de que los espacios compactos de Hausdorff son metrizables exactamente en el caso de que sean contables en segundo lugar. (Una aplicación de esto, por ejemplo, es que todo camino en un espacio de Hausdorff es metrizable compacto.) ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

Aumento de cadenas de conjuntos abiertos

Utilizando la notación anterior, supongamos que w ( X ) ≤ κ algún cardinal infinito. Entonces no existe una secuencia estrictamente creciente de conjuntos abiertos (equivalentemente, una secuencia estrictamente decreciente de conjuntos cerrados) de longitud ≥ κ ⁺ .

Para ver esto (sin el axioma de elección), fijemos como base 1 de conjuntos abiertos. Y supongamos , por el contrario , que 1 es una sucesión estrictamente creciente de conjuntos abiertos. Esto significa que $${\displaystyle \left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },}$$ $${\displaystyle \left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}}$$ $${\displaystyle \forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .}$$

Podemos usar la base para encontrar algún U _γ con x en U _γ ⊆ V _α . De esta manera podemos definir una función, f  : κ ⁺ → κ que asigna cada α al menor γ para el cual U _γ ⊆ V _α y cumple $${\displaystyle x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },}$$ $${\displaystyle V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.}$$

Esta función es inyectiva, de lo contrario habría α < β con f ( α ) = f ( β ) = γ , lo que implicaría además U _γ ⊆ V _α pero también cumple lo cual es una contradicción. Pero esto demostraría que κ ⁺ ≤ κ , una contradicción. $${\displaystyle V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },}$$

Véase también

• Teorema de Esenin-Volpin
• Axioma de pegado
• Sistema de barrio

Notas

1. El conjunto vacío , que siempre está abierto, es la unión de la familia vacía.

Referencias

1. Adams y Franzosa 2009, págs. 46–56.
2. Willard 2004, Definición 5.1; Engelking 1989, pág. 12; Bourbaki 1989, Definición 6, pág. 21; Arkhangel'skii y Ponomarev 1984, pág. 40.
3. Dugundji 1966, Definición 2.1, pág. 64.
4. Willard 2004, Teorema 5.3; Engelking 1989, pág. 12.
5. Willard 2004, Teorema 5.3; Engelking 1989, Proposición 1.2.1.

Bibliografía

• Adams, Colin ; Franzosa, Robert (2009). Introducción a la topología: pura y aplicada . Nueva Delhi: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1.OCLC 789880519  .
• Arkhangelskii, AV; Ponomarev, VI (1984). Fundamentos de topología general: problemas y ejercicios . Matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 13. Traducido del ruso por V. K. Jain. Dordrecht: D. Reidel Publishing. Zbl  0568.54001.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN. 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Berlín: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .