Hipersuperficie

En geometría , una hipersuperficie es una generalización de los conceptos de hiperplano , curva plana y superficie . Una hipersuperficie es una variedad o variedad algebraica de dimensión $n - 1$ , que está embebida en un espacio ambiente de dimensión $n$ , generalmente un espacio euclidiano , un espacio afín o un espacio proyectivo . ^[1] Las hipersuperficies comparten, con las superficies en un espacio tridimensional , la propiedad de estar definidas por una única ecuación implícita , al menos localmente (cerca de cada punto), y a veces globalmente.

Una hipersuperficie en un espacio (euclidiano, afín o proyectivo) de dimensión dos es una curva plana. En un espacio de dimensión tres, es una superficie.

Por ejemplo, la ecuación

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0

define una hipersuperficie algebraica de dimensión $n - 1$ en el espacio euclidiano de dimensión $n$ . Esta hipersuperficie es también una variedad lisa y se denomina hiperesfera o $(n - 1)$ -esfera .

Hipersuperficie lisa

Una hipersuperficie que es una variedad suave se llama hipersuperficie suave .

En $R n$ , una hipersuperficie lisa es orientable . ^[2] Toda hipersuperficie lisa compacta conexa es un conjunto de niveles y separa R ⁿ en dos componentes conexos; esto está relacionado con el teorema de separación de Jordan-Brouwer . ^[3]

Hipersuperficie algebraica afín

Una hipersuperficie algebraica es una variedad algebraica que puede definirse mediante una única ecuación implícita de la forma

p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,

donde $p$ es un polinomio multivariado . Generalmente se supone que el polinomio es irreducible . Cuando este no es el caso, la hipersuperficie no es una variedad algebraica, sino solo un conjunto algebraico . Puede depender de los autores o del contexto si un polinomio reducible define una hipersuperficie. Para evitar ambigüedades, a menudo se utiliza el término hipersuperficie irreducible .

En cuanto a las variedades algebraicas, los coeficientes del polinomio definitorio pueden pertenecer a cualquier cuerpo fijo $k$ , y los puntos de la hipersuperficie son los ceros de $p$ en el espacio afín donde $K$ es una extensión algebraicamente cerrada de $k$ . $K^{n},$

Una hipersuperficie puede tener singularidades , que son los ceros comunes, si los hay, del polinomio definitorio y sus derivadas parciales. En particular, una hipersuperficie algebraica real no es necesariamente una variedad.

Propiedades

Las hipersuperficies tienen algunas propiedades específicas que no comparten con otras variedades algebraicas.

Una de las principales propiedades de este tipo es el Nullstellensatz de Hilbert , que afirma que una hipersuperficie contiene un conjunto algebraico dado si y sólo si el polinomio definitorio de la hipersuperficie tiene una potencia que pertenece al ideal generado por los polinomios definitorios del conjunto algebraico.

Un corolario de este teorema es que, si dos polinomios irreducibles (o más generalmente, dos polinomios libres de cuadrados ) definen la misma hipersuperficie, entonces uno es el producto del otro por una constante distinta de cero.

Las hipersuperficies son exactamente las subvariedades de dimensión $n - 1$ de un espacio afín de dimensión $n$ . Esta es la interpretación geométrica del hecho de que, en un anillo polinómico sobre un cuerpo, la altura de un ideal es 1 si y solo si el ideal es un ideal principal . En el caso de hipersuperficies posiblemente reducibles, este resultado puede reformularse de la siguiente manera: las hipersuperficies son exactamente los conjuntos algebraicos cuyos componentes irreducibles tienen dimensión $n - 1$ .

Puntos reales y racionales

Una hipersuperficie real es una hipersuperficie que se define mediante un polinomio con coeficientes reales . En este caso, el campo algebraicamente cerrado sobre el que se definen los puntos es generalmente el campo de los números complejos . Los puntos reales de una hipersuperficie real son los puntos que pertenecen a El conjunto de los puntos reales de una hipersuperficie real es la parte real de la hipersuperficie. A menudo, se deja al contexto si el término hipersuperficie se refiere a todos los puntos o solo a la parte real. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} ^{n}\subconjunto \mathbb {C} ^{n}.$

Si los coeficientes del polinomio definitorio pertenecen a un campo $k$ que no está algebraicamente cerrado (normalmente el campo de los números racionales , un campo finito o un campo de números ), se dice que la hipersuperficie está definida sobre $k$ , y los puntos que pertenecen a son racionales sobre $k$ (en el caso del campo de los números racionales, generalmente se omite "sobre $k ").$ $estilo de visualización k^{n}}$

Por ejemplo, la $n$ -esfera imaginaria definida por la ecuación

x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0

es una hipersuperficie real sin ningún punto real, que se define sobre los números racionales. No tiene ningún punto racional, pero tiene muchos puntos que son racionales sobre los racionales gaussianos .

Hipersuperficie algebraica proyectiva

Una hipersuperficie proyectiva (algebraica) de dimensión $n - 1$ en un espacio proyectivo de dimensión $n$ sobre un cuerpo $k$ se define por un polinomio homogéneo en $n$ $+ 1$ indeterminados. Como es habitual, polinomio homogéneo significa que todos los monomios de $P$ tienen el mismo grado o, equivalentemente, que para cada constante $c$ , donde $d$ es el grado del polinomio. Los puntos de la hipersuperficie son los puntos del espacio proyectivo cuyas coordenadas proyectivas son ceros de $P$ . $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$

Si se elige el hiperplano de ecuación como hiperplano en el infinito , el complemento de este hiperplano es un espacio afín , y los puntos de la hipersuperficie proyectiva que pertenecen a este espacio afín forman una hipersuperficie afín de ecuación. A la inversa, dada una hipersuperficie afín de ecuación, se define una hipersuperficie proyectiva, llamada su compleción proyectiva , cuya ecuación se obtiene homogeneizando $p$ . Es decir, la ecuación de la compleción proyectiva es con $x_{0}=0$ $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$

P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),

donde $d$ es el grado de $P$ .

Estos dos procesos, compleción proyectiva y restricción a un subespacio afín, son inversos entre sí. Por lo tanto, una hipersuperficie afín y su compleción proyectiva tienen esencialmente las mismas propiedades y a menudo se consideran como dos puntos de vista para la misma hipersuperficie.

Sin embargo, puede ocurrir que una hipersuperficie afín sea no singular , mientras que su completitud proyectiva tenga puntos singulares. En este caso, se dice que la superficie afín es singular en el infinito . Por ejemplo, el cilindro circular de ecuación

x^{2}+y^{2}-1=0

en el espacio afín de dimensión tres tiene un único punto singular, que está en el infinito, en la dirección $x = 0, y = 0$ .

Véase también

Referencias

^ Lee, Jeffrey (2009). "Curvas e hipersuperficies en el espacio euclidiano". Variedades y geometría diferencial . Providence: American Mathematical Society. págs. 143–188. ISBN. 978-0-8218-4815-9.
^ Hans Samelson (1969) "Orientabilidad de hipersuperficies en Rn", Actas de la American Mathematical Society 22(1): 301,2
^ Lima, Elon L. (1988). "El teorema de separación de Jordan-Brouwer para hipersuperficies lisas". The American Mathematical Monthly . 95 (1): 39–42. doi :10.1080/00029890.1988.11971963.

"Hipersuperficie", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1969), Fundamentos de geometría diferencial, vol. II, Wiley Interscience
PA Simionescu y D. Beal (2004) Visualización de hipersuperficies y funciones multivariables (objetivas) mediante globalización parcial, The Visual Computer 20(10):665–81.