Gas de Fermi

Modelo físico de gases compuestos por muchos fermiones idénticos que no interactúan

Un gas de Fermi es un modelo idealizado, un conjunto de muchos fermiones que no interactúan . Los fermiones son partículas que obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac , como los electrones , protones y neutrones , y, en general, partículas con espín semientero . Estas estadísticas determinan la distribución de energía de los fermiones en un gas de Fermi en equilibrio térmico , y se caracteriza por su densidad numérica , temperatura y el conjunto de estados de energía disponibles. El modelo recibe su nombre del físico italiano Enrico Fermi . ^{[1] [2]}

Este modelo físico es útil para ciertos sistemas con muchos fermiones. Algunos ejemplos clave son el comportamiento de los portadores de carga en un metal , los nucleones en un núcleo atómico , los neutrones en una estrella de neutrones y los electrones en una enana blanca .

Descripción

Un gas ideal de Fermi o gas libre de Fermi es un modelo físico que supone una colección de fermiones que no interactúan en un pozo de potencial constante . Los fermiones son partículas elementales o compuestas con espín semientero , por lo que siguen la estadística de Fermi-Dirac . El modelo equivalente para partículas de espín entero se denomina gas de Bose (un conjunto de bosones que no interactúan ). A una densidad numérica de partículas suficientemente baja y una temperatura alta, tanto el gas de Fermi como el gas de Bose se comportan como un gas ideal clásico . ^[3]

Por el principio de exclusión de Pauli , ningún estado cuántico puede ser ocupado por más de un fermión con un conjunto idéntico de números cuánticos . Por lo tanto, un gas de Fermi que no interactúa, a diferencia de un gas de Bose, concentra una pequeña cantidad de partículas por energía. Por lo tanto, se prohíbe que un gas de Fermi se condense en un condensado de Bose-Einstein , aunque los gases de Fermi que interactúan débilmente podrían formar un par de Cooper y condensado (también conocido como régimen de cruce BCS -BEC). ^[4] La energía total del gas de Fermi en cero absoluto es mayor que la suma de los estados fundamentales de una sola partícula porque el principio de Pauli implica un tipo de interacción o presión que mantiene a los fermiones separados y en movimiento. Por esta razón, la presión de un gas de Fermi es distinta de cero incluso a temperatura cero, en contraste con la de un gas ideal clásico. Por ejemplo, esta llamada presión de degeneración estabiliza una estrella de neutrones (un gas de Fermi de neutrones) o una estrella enana blanca (un gas de Fermi de electrones) contra la atracción de la gravedad hacia adentro , que ostensiblemente colapsaría la estrella en un agujero negro . Solo cuando una estrella es lo suficientemente masiva como para superar la presión de degeneración puede colapsar en una singularidad.

Es posible definir una temperatura de Fermi por debajo de la cual el gas puede considerarse degenerado (su presión deriva casi exclusivamente del principio de Pauli). Esta temperatura depende de la masa de los fermiones y de la densidad de estados de energía .

El supuesto principal del modelo de electrones libres para describir los electrones deslocalizados en un metal se puede derivar del gas de Fermi. Dado que las interacciones se descuidan debido al efecto de apantallamiento , el problema de tratar las propiedades de equilibrio y la dinámica de un gas de Fermi ideal se reduce al estudio del comportamiento de partículas independientes individuales. En estos sistemas, la temperatura de Fermi es generalmente de muchos miles de kelvins , por lo que en aplicaciones humanas el gas de electrones puede considerarse degenerado. La energía máxima de los fermiones a temperatura cero se denomina energía de Fermi . La superficie de energía de Fermi en el espacio recíproco se conoce como superficie de Fermi .

El modelo de electrones casi libres adapta el modelo de gas de Fermi para considerar la estructura cristalina de los metales y semiconductores , donde los electrones en una red cristalina son sustituidos por electrones de Bloch con un momento cristalino correspondiente . Como tal, los sistemas periódicos aún son relativamente manejables y el modelo constituye el punto de partida para teorías más avanzadas que abordan las interacciones, por ejemplo, utilizando la teoría de perturbaciones .

Gas uniforme unidimensional

El pozo cuadrado infinito unidimensional de longitud L es un modelo de una caja unidimensional con la energía potencial: $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Se trata de un sistema modelo estándar en mecánica cuántica cuya solución para una única partícula es bien conocida. Dado que el potencial dentro de la caja es uniforme, este modelo se denomina gas uniforme unidimensional ^[5] , aunque el perfil de densidad numérica real del gas puede tener nodos y antinodos cuando el número total de partículas es pequeño.

Los niveles están etiquetados por un único número cuántico n y las energías están dadas por:

$${\displaystyle E_{n}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}.}$$donde es la energía del punto cero (que puede elegirse arbitrariamente como una forma de fijación de calibre ), la masa de un solo fermión y es la constante de Planck reducida . ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \hbar }$

Para N fermiones con espín - 1 ⁄ 2 en la caja, no más de dos partículas pueden tener la misma energía, es decir, dos partículas pueden tener la energía de , otras dos partículas pueden tener energía y así sucesivamente. Las dos partículas de la misma energía tienen espín 1 ⁄ 2 (espín hacia arriba) o − 1 ⁄ 2 (espín hacia abajo), lo que lleva a dos estados para cada nivel de energía. En la configuración para la que la energía total es más baja (el estado fundamental), todos los niveles de energía hasta n  =  N /2 están ocupados y todos los niveles superiores están vacíos. ${\textstyle E_{1}}$ ${\textstyle E_{2}}$

Al definir la referencia para la energía de Fermi como , la energía de Fermi viene dada por donde es la función de piso evaluada en n  =  N /2. ${\displaystyle E_{0}}$ $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}=E_{n}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor \right)^{2},}$$ ${\textstyle \left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor }$

Límite termodinámico

En el límite termodinámico , el número total de partículas N es tan grande que el número cuántico n puede considerarse una variable continua. En este caso, el perfil de densidad numérica total en la caja es, de hecho, uniforme.

El número de estados cuánticos en el rango es: ${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+dn}$ $${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2\,dn\,.}$$

Sin pérdida de generalidad , la energía del punto cero se elige como cero, con el siguiente resultado:

$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\implies dE={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\,dn={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}dn\,.}$$

Por lo tanto, en el rango: el número de estados cuánticos es: $${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{1}^{2}<E<E_{1}+dE\,,}$$ $${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2{\frac {dE}{dE/dn}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\,dE\equiv D(E_{1})\,dE\,.}$$

Aquí, el grado de degeneración es:

$${\displaystyle D(E)={\frac {2}{dE/dn}}={\frac {2L}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

Y la densidad de estados es:

$${\displaystyle g(E)\equiv {\frac {1}{L}}D(E)={\frac {2}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

En la literatura moderna, ^[5] lo anterior también se denomina a veces "densidad de estados". Sin embargo, difiere de esto en un factor del volumen del sistema (que en este caso unidimensional es igual a 1D). ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle L}$

Basado en la siguiente fórmula:

$${\displaystyle \int _{0}^{E_{\mathrm {F} }}D(E)\,dE=N\,,}$$

La energía de Fermi en el límite termodinámico se puede calcular como:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {N}{2}}\right)^{2}\,.}$$

Gas uniforme 3D

Modelo del núcleo atómico que lo muestra como un haz compacto de dos tipos de nucleones : protones (rojo) y neutrones (azul). Como primera aproximación, el núcleo puede considerarse compuesto por gases de protones y neutrones que no interactúan.

El caso del gas de Fermi uniforme, tridimensional , isótropo y no relativista se conoce como esfera de Fermi .

Un pozo cuadrado infinito tridimensional (es decir, una caja cúbica que tiene una longitud lateral L ) tiene la energía potencial $${\displaystyle V(x,y,z)={\begin{cases}0,&-{\frac {L}{2}}<x,y,z<{\frac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Los estados ahora están etiquetados por tres números cuánticos n _x , n _y y n _z . Las energías de partículas individuales son donde n _x , n _y , n _z son números enteros positivos. En este caso, varios estados tienen la misma energía (conocidos como niveles de energía degenerados ), por ejemplo . $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$$ ${\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}}$

Límite termodinámico

Cuando la caja contiene N fermiones no interactuantes de espín-1/2⁠ , es interesante calcular la energía en el límite termodinámico, donde N es tan grande que los números cuánticos n _x , n _y , n _z pueden tratarse como variables continuas.

Con el vector , cada estado cuántico corresponde a un punto en el 'espacio n' con energía ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$ $${\displaystyle E_{\mathbf {n} }=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|\mathbf {n} |^{2}\,}$$

Con denotación del cuadrado de la longitud euclidiana habitual . El número de estados con energía menor que E _F  + E ₀ es igual al número de estados que se encuentran dentro de una esfera de radio en la región del espacio n donde n _x , n _y , n _z son positivos. En el estado fundamental este número es igual al número de fermiones en el sistema: ${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {n} |={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\displaystyle |\mathbf {n} _{\mathrm {F} }|}$

$${\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F} }^{3}}$$

Los fermiones libres que ocupan los estados de energía más bajos forman una esfera en el espacio recíproco . La superficie de esta esfera es la superficie de Fermi .

El factor de dos expresa los dos estados de espín y el factor de 1/8 expresa la fracción de la esfera que se encuentra en la región donde todos los n son positivos. La energía de Fermi está dada por $${\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}$$ $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{\mathrm {F} }^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}}$$

Lo que da como resultado una relación entre la energía de Fermi y el número de partículas por volumen (cuando L ² se reemplaza por V ^2/3 ):

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}}$

Esta es también la energía de la partícula de mayor energía (la partícula n-ésima), por encima de la energía del punto cero . La partícula n-ésima tiene una energía de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle N'}$ $${\displaystyle E_{N'}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N'}{V}}\right)^{2/3}\,=E_{0}+E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}}$$

La energía total de una esfera de Fermi de fermiones (que ocupan todos los estados de energía dentro de la esfera de Fermi) viene dada por: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle E_{\rm {T}}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}\,dN'=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$$

Por lo tanto, la energía media por partícula viene dada por: $${\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }}$$

Densidad de estados

Densidad de estados (DOS) de un gas de Fermi en 3 dimensiones

Para el gas Fermi uniforme 3D, con fermiones de espín-1/2⁠ , el número de partículas en función de la energía se obtiene sustituyendo la energía de Fermi por una energía variable : ${\textstyle N(E)}$ ${\textstyle (E-E_{0})}$

$${\displaystyle N(E)={\frac {V}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-E_{0})\right]^{3/2},}$$

De donde se obtiene la densidad de estados (número de estados de energía por energía por volumen) . Se puede calcular diferenciando el número de partículas con respecto a la energía: ${\displaystyle g(E)}$

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{V}}{\frac {\partial N(E)}{\partial E}}={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}.}$$

Este resultado proporciona una forma alternativa de calcular la energía total de una esfera de Fermi de fermiones (que ocupan todos los estados de energía dentro de la esfera de Fermi): ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{T}&=\int _{0}^{N}E\mathrm {d} N(E)=EN(E){\big |}_{0}^{N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F})N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{\frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right)N\end{aligned}}}$$

Magnitudes termodinámicas

Presión de degeneración

Curvas de presión frente a temperatura de gases ideales clásicos y cuánticos (gas de Fermi, gas de Bose ) en tres dimensiones. La repulsión de Pauli en los fermiones (como los electrones) les otorga una presión adicional con respecto a un gas clásico equivalente, sobre todo a baja temperatura.

Utilizando la primera ley de la termodinámica , esta energía interna puede expresarse como presión, es decir, esta expresión sigue siendo válida para temperaturas mucho menores que la temperatura de Fermi. Esta presión se conoce como presión de degeneración . En este sentido, los sistemas compuestos por fermiones también se denominan materia degenerada . $${\displaystyle P=-{\frac {\partial E_{\rm {T}}}{\partial V}}={\frac {2}{5}}{\frac {N}{V}}E_{\mathrm {F} }={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3},}$$

Las estrellas estándar evitan el colapso equilibrando la presión térmica ( plasma y radiación) con las fuerzas gravitacionales. Al final de la vida de la estrella, cuando los procesos térmicos son más débiles, algunas estrellas pueden convertirse en enanas blancas, que solo se sostienen contra la gravedad por la presión de degeneración de electrones . Usando el gas de Fermi como modelo, es posible calcular el límite de Chandrasekhar , es decir, la masa máxima que cualquier estrella puede adquirir (sin una presión térmica significativa) antes de colapsar en un agujero negro o una estrella de neutrones. Esta última, es una estrella compuesta principalmente de neutrones, donde el colapso también se evita por la presión de degeneración de neutrones.

En el caso de los metales, la presión de degeneración electrónica contribuye a la compresibilidad o módulo volumétrico del material.

Potencial químico

Suponiendo que la concentración de fermiones no cambia con la temperatura, entonces el potencial químico total μ (nivel de Fermi) del gas ideal tridimensional de Fermi está relacionado con la energía de Fermi de temperatura cero E _F mediante una expansión de Sommerfeld (suponiendo ): donde T es la temperatura . ^{[6] [7]} ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\mathrm {F} }}$ $${\displaystyle \mu (T)=E_{0}+E_{\mathrm {F} }\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{4}+\cdots \right],}$$

Por lo tanto, el potencial químico interno , μ - E ₀ , es aproximadamente igual a la energía de Fermi a temperaturas mucho más bajas que la temperatura característica de Fermi T _F . Esta temperatura característica es del orden de 10 ⁵ K para un metal, por lo tanto, a temperatura ambiente (300 K), la energía de Fermi y el potencial químico interno son esencialmente equivalentes.

Valores típicos

Rieles

Según el modelo de electrones libres , se puede considerar que los electrones de un metal forman un gas de Fermi uniforme. La densidad numérica de electrones de conducción en metales varía entre aproximadamente 10 ²⁸ y 10 ²⁹ electrones por m ³ , que también es la densidad típica de átomos en materia sólida ordinaria. Esta densidad numérica produce una energía de Fermi del orden de: donde m _e es la masa en reposo del electrón . ^[8] Esta energía de Fermi corresponde a una temperatura de Fermi del orden de 10 ⁶ kelvin, mucho más alta que la temperatura de la superficie del Sol . Cualquier metal hervirá antes de alcanzar esta temperatura bajo presión atmosférica. Por lo tanto, para cualquier propósito práctico, un metal puede considerarse como un gas de Fermi a temperatura cero como una primera aproximación (las temperaturas normales son pequeñas en comparación con T _F ). ${\displaystyle N/V}$ $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\ 10^{28\ \sim \ 29}\ \mathrm {m^{-3}} \right)^{2/3}\approx 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV} ,}$$

Enanas blancas

Las estrellas conocidas como enanas blancas tienen una masa comparable a la del Sol , pero tienen aproximadamente una centésima parte de su radio. Las altas densidades significan que los electrones ya no están ligados a núcleos individuales y, en su lugar, forman un gas de electrones degenerados. La densidad numérica de electrones en una enana blanca es del orden de 10 ³⁶ electrones/m ³ . Esto significa que su energía de Fermi es:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m^{3}} }}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} =0.3\ \mathrm {MeV} }$$

Núcleo

Otro ejemplo típico es el de las partículas que se encuentran en el núcleo de un átomo. El radio del núcleo es aproximadamente: donde A es el número de nucleones . $${\displaystyle R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}}$$

La densidad numérica de nucleones en un núcleo es por tanto:

$${\displaystyle \rho ={\frac {A}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m^{-3}} }$$

Esta densidad debe dividirse por dos, ya que la energía de Fermi sólo se aplica a los fermiones del mismo tipo. La presencia de neutrones no afecta a la energía de Fermi de los protones en el núcleo, y viceversa.

La energía de Fermi de un núcleo es aproximadamente: donde m _p es la masa del protón. $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\rm {p}}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV} ,}$$

El radio del núcleo admite desviaciones en torno al valor mencionado anteriormente, por lo que un valor típico para la energía de Fermi suele darse en 38 MeV .

Gas uniforme de dimensión arbitraria

Densidad de estados

Utilizando una integral de volumen sobre dimensiones, la densidad de estados es: ${\textstyle d}$

$${\displaystyle g^{(d)}(E)=g_{s}\int {\frac {\mathrm {d} ^{d}\mathbf {k} }{(2\pi )^{d}}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ \left({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{\Gamma (d/2)}}}$$

La energía de Fermi se obtiene buscando la densidad numérica de partículas: $${\displaystyle \rho ={\frac {N}{V}}=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }^{(d)}}g^{(d)}(E)\,dE}$$

Para obtener: donde es el volumen d -dimensional correspondiente , es la dimensión para el espacio interno de Hilbert. Para el caso de espín- $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{(d)}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\tfrac {1}{g_{s}}}\Gamma \left({\tfrac {d}{2}}+1\right){\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle g_{s}}$1/2⁠ , toda energía es dos veces degenerada, por lo que en este caso . ${\textstyle g_{s}=2}$

Se obtiene un resultado particular para , donde la densidad de estados se vuelve constante (no depende de la energía): ${\displaystyle d=2}$ $${\displaystyle g^{(2\mathrm {D} )}(E)={\frac {g_{s}}{2}}{\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}.}$$

Gas de Fermi en trampa armónica

El potencial de trampa armónica :

$${\displaystyle V(x,y,z)={\frac {1}{2}}m\omega _{x}^{2}x^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{y}^{2}y^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}}$$

es un sistema modelo con muchas aplicaciones ^[5] en la física moderna. La densidad de estados (o más exactamente, el grado de degeneración) para una especie de espín dada es:

$${\displaystyle g(E)={\frac {E^{2}}{2(\hbar \omega _{\text{ho}})^{3}}}\,,}$$

donde es la frecuencia de oscilación armónica. ${\displaystyle \omega _{\text{ho}}={\sqrt[{3}]{\omega _{x}\omega _{y}\omega _{z}}}}$

La energía de Fermi para una especie de espín dada es:

$${\displaystyle E_{\rm {F}}=(6N)^{1/3}\hbar \omega _{\text{ho}}\,.}$$

Magnitudes de Fermi relacionadas

En relación con la energía de Fermi, también aparecen a menudo en la literatura moderna algunas magnitudes útiles.

La temperatura de Fermi se define como , donde es la constante de Boltzmann . La temperatura de Fermi puede considerarse como la temperatura a la que los efectos térmicos son comparables a los efectos cuánticos asociados con las estadísticas de Fermi. ^[9] La temperatura de Fermi para un metal es un par de órdenes de magnitud por encima de la temperatura ambiente. Otras cantidades definidas en este contexto son el momento de Fermi y la velocidad de Fermi ^[10] , que son el momento y la velocidad de grupo , respectivamente, de un fermión en la superficie de Fermi . El momento de Fermi también puede describirse como , donde es el radio de la esfera de Fermi y se denomina vector de onda de Fermi . ^[11] ${\textstyle T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\rm {B}}}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\textstyle p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2mE_{\mathrm {F} }}}}$ ${\textstyle v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m}}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar k_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle k_{\mathrm {F} }}$

Téngase en cuenta que estas cantidades no están bien definidas en los casos en que la superficie de Fermi no es esférica.

Tratamiento a temperatura finita

Gran conjunto canónico

La mayoría de los cálculos anteriores son exactos a temperatura cero, pero siguen siendo buenas aproximaciones para temperaturas inferiores a la temperatura de Fermi. Para otras variables termodinámicas es necesario escribir un potencial termodinámico . Para un conjunto de fermiones idénticos , la mejor manera de derivar un potencial es a partir del gran conjunto canónico con temperatura, volumen y potencial químico fijos μ . La razón se debe al principio de exclusión de Pauli, ya que los números de ocupación de cada estado cuántico se dan por 1 o 0 (ya sea que haya un electrón ocupando el estado o no), por lo que la función de partición (gran) se puede escribir como ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{\{q\}}e^{-\beta (E_{q}-\mu N_{q})}=\prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q}\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

donde , indexa los conjuntos de todos los microestados posibles que dan la misma energía total y número de partículas , es la energía de partícula individual del estado (cuenta dos veces si la energía del estado está degenerada) y , su ocupación. Por lo tanto, el gran potencial se escribe como ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\textstyle E_{q}=\sum _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$ ${\textstyle N_{q}=\sum _{q}n_{q}}$ ${\textstyle \varepsilon _{q}}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle n_{q}=0,1}$

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\ln \left({\mathcal {Z}}\right)=-k_{\rm {B}}T\sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right).}$

El mismo resultado se puede obtener en el conjunto canónico y microcanónico , ya que el resultado de cada conjunto debe dar el mismo valor en el límite termodinámico . En este caso se recomienda el conjunto grancanónico , ya que evita el uso de combinatorias y factoriales . ${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$

Como se exploró en secciones anteriores, en el límite macroscópico podemos usar una aproximación continua ( aproximación de Thomas-Fermi ) para convertir esta suma en una integral: donde D ( ε ) es la densidad total de estados. $${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon )\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon )}\right)\,d\varepsilon }$$

Relación con la distribución de Fermi-Dirac

El gran potencial está relacionado con el número de partículas a temperatura finita de la siguiente manera , donde la derivada se toma a temperatura y volumen fijos, y también aparece conocida como distribución de Fermi-Dirac . $${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\mathrm {d} \varepsilon }$$ $${\displaystyle {\mathcal {f}}(x)={\frac {1}{e^{x}+1}}}$$

De manera similar, la energía interna total es $${\displaystyle U=\Omega -T\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu }-\mu \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\!\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,d\varepsilon .}$$

Solución exacta para la densidad de estados según la ley de potencia

Muchos sistemas de interés tienen una densidad total de estados con la forma de ley de potencia: para algunos valores de g ₀ , α , ε ₀ . Los resultados de las secciones anteriores se generalizan a dimensiones d , dando una ley de potencia con: $${\displaystyle D(\varepsilon )=Vg(\varepsilon )={\frac {Vg_{0}}{\Gamma (\alpha )}}(\varepsilon -\varepsilon _{0})^{\alpha -1},\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$$

• α = d /2 para partículas no relativistas en una caja de dimensión d ,
• α = d para partículas no relativistas en unpozo de potencial armónico de dimensión d ,
• α = d para partículas hiperrelativistas en unacaja de dimensión d .

Para una densidad de estados de ley de potencia de este tipo, la integral del gran potencial evalúa exactamente a: ^[12] donde es la integral completa de Fermi-Dirac (relacionada con el polilogaritmo ). A partir de este gran potencial y sus derivadas, se pueden recuperar todas las cantidades termodinámicas de interés. $${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-Vg_{0}(k_{\rm {B}}T)^{\alpha +1}F_{\alpha }\left({\frac {\mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$ ${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$

Extensiones del modelo

Gas relativista de Fermi

Relaciones radio-masa para un modelo de enana blanca, relación relativista vs. no relativista. El límite de Chandrasekhar se indica como M _Ch .

El artículo sólo ha tratado el caso en el que las partículas tienen una relación parabólica entre energía y momento, como es el caso en la mecánica no relativista. Para partículas con energías cercanas a su respectiva masa en reposo , son aplicables las ecuaciones de la relatividad especial . Donde la energía de una sola partícula viene dada por: $${\displaystyle E={\sqrt {(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}}.}$$

Para este sistema, la energía de Fermi está dada por: donde la igualdad sólo es válida en el límite ultrarelativista , y ^[13] $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\sqrt {(p_{\mathrm {F} }c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}-mc^{2}\approx p_{\mathrm {F} }c,}$$ ${\displaystyle \approx }$ $${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar \left({\frac {1}{g_{s}}}6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{1/3}.}$$

El modelo relativista de gas de Fermi también se utiliza para la descripción de enanas blancas masivas que están cerca del límite de Chandrasekhar . Para el caso ultrarelativista, la presión de degeneración es proporcional a . ${\displaystyle (N/V)^{4/3}}$

Líquido de Fermi

En 1956, Lev Landau desarrolló la teoría del líquido de Fermi , donde trató el caso de un líquido de Fermi, es decir, un sistema con interacciones repulsivas, no necesariamente pequeñas, entre fermiones. La teoría demuestra que las propiedades termodinámicas de un gas ideal de Fermi y un líquido de Fermi no difieren tanto. Se puede demostrar que el líquido de Fermi es equivalente a un gas de Fermi compuesto de excitaciones colectivas o cuasipartículas , cada una con una masa efectiva y un momento magnético diferentes .

Véase también

• Gasolina Bose
• Condensado fermiónico
• Gas en una caja
• Gelatina
• Gas de electrones bidimensional

Referencias

1. Fermi, E. (1 de noviembre de 1926). "Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases" (PDF) . Zeitschrift für Physik (en alemán). 36 (11–12): 902–912. Código Bib : 1926ZPhy...36..902F. doi :10.1007/BF01400221. ISSN  0044-3328. S2CID  123334672. Archivado desde el original (PDF) el 6 de abril de 2019.
2. Zannoni, Alberto (1999). "Sobre la cuantificación del gas ideal monoatómico". arXiv : cond-mat/9912229 . En este artículo se ofrece una traducción al inglés del trabajo original de Enrico Fermi sobre la cuantificación del gas ideal monoatómico.
3. Schwabl, Franz (9 de marzo de 2013). Mecánica estadística. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04702-6.
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13. Greiner, Walter ; Neise, Ludwig; Stöcker, Horst (1995). Termodinámica y mecánica estadística. Física teórica clásica. Springer, Nueva York, NY. págs. 341–386. doi :10.1007/978-1-4612-0827-3_14. ISBN 9780387942995.

Lectura adicional

• Neil W. Ashcroft y N. David Mermin , Física del estado sólido (Harcourt: Orlando, 1976).
• Charles Kittel , Introducción a la física del estado sólido , 1.ª ed. 1953 - 8.ª ed. 2005, ISBN 0-471-41526-X