Medio entero

Número racional igual a un entero más 1/2

En matemáticas , un semientero es un número de la forma donde es un entero. Por ejemplo, son todos semienteros . El nombre "semientero" puede ser engañoso, ya que cada entero es en sí mismo la mitad del entero . Un nombre como "entero más la mitad" puede ser más preciso, pero aunque no sea literalmente cierto, "semientero" es el término convencional. ^{[ cita requerida ]} Los semienteros aparecen con suficiente frecuencia en matemáticas y en mecánica cuántica como para que un término distinto sea conveniente. $${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}},}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle 4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8.5}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

Tenga en cuenta que dividir un número entero por la mitad no siempre produce un semientero; esto solo es cierto para los números enteros impares . Por este motivo, a los semienteros también se los denomina a veces semienteros impares . Los semienteros son un subconjunto de los racionales diádicos (números producidos al dividir un número entero por una potencia de dos ). ^[1]

Notación y estructura algebraica

El conjunto de todos los semienteros a menudo se denota Los enteros y semienteros juntos forman un grupo bajo la operación de adición, que puede denotarse ^[2] Sin embargo, estos números no forman un anillo porque el producto de dos semienteros no es un semientero; por ejemplo, ^[3] El anillo más pequeño que los contiene es , el anillo de racionales diádicos . $${\displaystyle \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$$ ${\displaystyle ~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}\right]}$

Propiedades

• La suma de semienteros es un semientero si y solo si es impar. Esto incluye la suma vacía 0, ya que no es un semientero. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$
• El negativo de un medio entero es un medio entero.
• La cardinalidad del conjunto de los semienteros es igual a la de los enteros. Esto se debe a la existencia de una biyección de los enteros a los semienteros: , donde es un entero ${\displaystyle f:x\to x+0.5}$ ${\displaystyle x}$

Usos

Empaquetado de esferas

El empaquetamiento reticular más denso de esferas unitarias en cuatro dimensiones (llamado red D 4 ) coloca una esfera en cada punto cuyas coordenadas son todos números enteros o todos semienteros. Este empaquetamiento está estrechamente relacionado con los números enteros de Hurwitz : cuaterniones cuyos coeficientes reales son todos números enteros o todos semienteros. ^[4]

Física

En física, el principio de exclusión de Pauli resulta de la definición de los fermiones como partículas que tienen espines que son semienteros. ^[5]

Los niveles de energía del oscilador armónico cuántico se dan en semienteros y, por lo tanto, su energía más baja no es cero. ^[6]

Volumen de la esfera

Aunque la función factorial está definida solo para argumentos enteros, se puede extender a argumentos fraccionarios utilizando la función gamma . La función gamma para semienteros es una parte importante de la fórmula para el volumen de una bola n -dimensional de radio , ^[7] Los valores de la función gamma en semienteros son múltiplos enteros de la raíz cuadrada de pi : donde denota el factorial doble . ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.}$$ $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~}$$ ${\displaystyle n!!}$

Referencias

1. Sabin, Malcolm (2010). Análisis y diseño de esquemas de subdivisión univariados. Geometría y computación. Vol. 6. Springer. pág. 51. ISBN 9783642136481.
2. Turaev, Vladimir G. (2010). Invariantes cuánticos de nudos y variedades tridimensionales . De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 18 (2.ª ed.). Walter de Gruyter. pág. 390. ISBN. 9783110221848.
3. Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computabilidad y lógica. Cambridge University Press. pág. 105. ISBN 9780521007580.
4. Baez, John C. (2005). "Revisión de cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría por John H. Conway y Derek A. Smith". Boletín de la Sociedad Matemática Americana (reseña de libro). 42 : 229–243. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01043-8 .
5. Mészáros, Peter (2010). El universo de alta energía: eventos de energía ultraalta en astrofísica y cosmología. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 13.ISBN​ 9781139490726.
6. Fox, Mark (2006). Óptica cuántica: una introducción. Oxford Master Series in Physics. Vol. 6. Oxford University Press. pág. 131. ISBN 9780191524257.
7. "Ecuación 5.19.4". Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU . 6 de mayo de 2013. Versión 1.0.6.