Función hipergeométrica generalizada

Familia de series de potencias en matemáticas.

Gráfico de la función hipergeométrica generalizada pFq(abz) con a=(2,4,6,8) y b=(2,3,5,7,11) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas , una serie hipergeométrica generalizada es una serie de potencias en la que la relación de coeficientes sucesivos indexados por n es una función racional de n . La serie, si es convergente, define una función hipergeométrica generalizada , que luego puede definirse en un dominio más amplio del argumento mediante continuación analítica . La serie hipergeométrica generalizada a veces se denomina simplemente serie hipergeométrica, aunque este término a veces también se refiere simplemente a la serie hipergeométrica gaussiana . Las funciones hipergeométricas generalizadas incluyen la función hipergeométrica (gaussiana) y la función hipergeométrica confluente como casos especiales, que a su vez tienen muchas funciones especiales particulares como casos especiales, como las funciones elementales , las funciones de Bessel y los polinomios ortogonales clásicos .

Notación

Una serie hipergeométrica se define formalmente como una serie de potencias.

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}}$

en el que la relación de coeficientes sucesivos es una función racional de n . Eso es,

${\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}}$

donde A ( n ) y B ( n ) son polinomios en n .

Por ejemplo, en el caso de la serie de la función exponencial ,

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

tenemos:

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.}$

Entonces esto satisface la definición con A ( n ) = 1 y B ( n ) = n + 1 .

Es habitual factorizar el término principal, por lo que se supone que β ₀ es 1. Los polinomios se pueden factorizar en factores lineales de la forma ( a _j  +  n ) y ( b _k  +  n ) respectivamente, donde a _j y b _k son números complejos .

Por razones históricas, se supone que (1 +  n ) es un factor de B. Si este aún no es el caso, tanto A como B pueden multiplicarse por este factor; el factor se cancela por lo que los términos no cambian y no hay pérdida de generalidad.

La relación entre coeficientes consecutivos ahora tiene la forma

${\displaystyle {\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}}$,

donde c y d son los coeficientes principales de A y B. La serie entonces tiene la forma

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$,

o, escalando z por el factor apropiado y reorganizando,

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$.

Esto tiene la forma de una función generadora exponencial . Esta serie generalmente se denota por

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)}$

o

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

Usando el factorial ascendente o símbolo de Pochhammer

${\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}}$

esto se puede escribir

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

(Tenga en cuenta que este uso del símbolo Pochhammer no es estándar; sin embargo, es el uso estándar en este contexto).

Terminología

Cuando todos los términos de la serie están definidos y tiene un radio de convergencia distinto de cero , entonces la serie define una función analítica . Tal función, y sus continuaciones analíticas , se denomina función hipergeométrica .

El caso en el que el radio de convergencia es 0 produce muchas series interesantes en matemáticas; por ejemplo, la función gamma incompleta tiene la expansión asintótica

${\displaystyle \Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)}$

que podría escribirse z ^{a −1} e ^−z  ₂ F ₀ (1− a ,1;;− z ⁻¹ ). Sin embargo, el uso del término serie hipergeométrica suele restringirse al caso en que la serie define una función analítica real.

No se debe confundir la serie hipergeométrica ordinaria con la serie hipergeométrica básica , que, a pesar de su nombre, es una serie bastante más complicada y recóndita. La serie "básica" es el análogo q de la serie hipergeométrica ordinaria. Existen varias generalizaciones de este tipo de las series hipergeométricas ordinarias, incluidas las que provienen de funciones esféricas zonales en espacios simétricos de Riemann .

La serie sin el factor de n ! en el denominador (sumado de todos los números enteros n , incluidos los negativos) se llama serie hipergeométrica bilateral .

Condiciones de convergencia

Hay ciertos valores de a _j y b _k para los cuales el numerador o denominador de los coeficientes es 0.

• Si cualquier a _j es un entero no positivo (0, −1, −2, etc.), entonces la serie solo tiene un número finito de términos y es, de hecho, un polinomio de grado − a _j .
• Si cualquier b _k es un entero no positivo (excepto el caso anterior con b _k < a _j ), entonces los denominadores se vuelven 0 y la serie no está definida.

Excluyendo estos casos, se puede aplicar la prueba de la razón para determinar el radio de convergencia.

• Si p < q + 1 entonces la relación de coeficientes tiende a cero. Esto implica que la serie converge para cualquier valor finito de z y, por tanto, define una función completa de z . Un ejemplo es la serie de potencias de la función exponencial.
• Si p = q + 1 entonces la relación de coeficientes tiende a uno. Esto implica que la serie converge para | z | < 1 y diverge para | z | > 1. Si converge para | z | = 1 es más difícil de determinar. Se puede emplear la continuación analítica para valores mayores de z .
• Si p > q + 1 entonces la proporción de coeficientes crece sin límite. Esto implica que, además de z  = 0, la serie diverge. Se trata entonces de una serie divergente o asintótica, o puede interpretarse como una abreviatura simbólica de una ecuación diferencial que la suma satisface formalmente.

La cuestión de la convergencia para p = q +1 cuando z está en el círculo unitario es más difícil. Se puede demostrar que la serie converge absolutamente en z = 1 si

${\displaystyle \Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0}$.

Además, si p = q +1, y z es real, entonces el siguiente resultado de convergencia es válido para Quigley et al. (2013): ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}$.

Propiedades básicas

De la definición se desprende inmediatamente que el orden de los parámetros a _j o el orden de los parámetros b _k se pueden cambiar sin cambiar el valor de la función. Además, si alguno de los parámetros a _j es igual a cualquiera de los parámetros b _k , entonces los parámetros coincidentes se pueden "cancelar", con ciertas excepciones cuando los parámetros son enteros no positivos. Por ejemplo,

${\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}$.

Esta cancelación es un caso especial de una fórmula de reducción que se puede aplicar siempre que un parámetro en la fila superior difiere de uno en la fila inferior en un número entero no negativo. ^[1]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c+n\\b_{1},\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {z^{j}}{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]}$

Transformada integral de Euler

La siguiente identidad básica es muy útil ya que relaciona las funciones hipergeométricas de orden superior en términos de integrales sobre las de orden inferior ^[2]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

Diferenciación

La función hipergeométrica generalizada satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

Además,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

Combinando estos se obtiene una ecuación diferencial satisfecha por w = _p F _q :

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

Función contigua e identidades relacionadas.

Tome el siguiente operador:

${\displaystyle \vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.}$

De las fórmulas de diferenciación dadas anteriormente, el espacio lineal abarcado por

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

contiene cada uno de

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Dado que el espacio tiene dimensión 2, tres de estas funciones p + q +2 son linealmente dependientes. Estas dependencias se pueden escribir para generar una gran cantidad de identidades que involucren . ${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$

Por ejemplo, en el caso no trivial más simple,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

Entonces

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}$.

Este y otros ejemplos importantes,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

se puede utilizar para generar expresiones de fracciones continuas conocidas como fracción continua de Gauss .

De manera similar, al aplicar las fórmulas de diferenciación dos veces, existen funciones contenidas en ${\displaystyle {\binom {p+q+3}{2}}}$

${\displaystyle \{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

que tiene dimensión tres, por lo que cuatro son linealmente dependientes. Esto genera más identidades y el proceso puede continuar. Las identidades así generadas pueden combinarse entre sí para producir otras nuevas de manera diferente.

Una función obtenida sumando ±1 exactamente a uno de los parámetros a _j , b _k en

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

se llama contiguo a

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Usando la técnica descrita anteriormente, se puede dar una identidad relacionada y sus dos funciones contiguas, se pueden encontrar seis identidades relacionadas y dos cualesquiera de sus cuatro funciones contiguas, y quince identidades relacionadas y dos cualesquiera de sus seis funciones contiguas. (El primero se derivó en el párrafo anterior. Los últimos quince fueron dados por Gauss en su artículo de 1812). ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Identidades

En los siglos XIX y XX se descubrieron otras identidades de funciones hipergeométricas. Una contribución del siglo XX a la metodología para probar estas identidades es el método Egorychev .

Teorema de Saalschütz

El teorema de Saalschütz ^[3] (Saalschütz 1890) es

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

Para ampliar este teorema, consulte un artículo de investigación de Rakha & Rathie.

La identidad de Dixon.

La identidad de Dixon, ^{[4] probada por primera vez por Dixon (1902), da la suma de un} ₃ F ₂ bien equilibrado en 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Para una generalización de la identidad de Dixon, consulte un artículo de Lavoie, et al.

la fórmula de dougall

La fórmula de Dougall ( Dougall  1907) da la suma de una serie muy bien equilibrada, terminal y 2-equilibrada.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

Terminar significa que m es un entero no negativo y 2-equilibrado significa que

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

Muchas de las otras fórmulas para valores especiales de funciones hipergeométricas pueden derivarse de esto como casos especiales o límite.

Generalización de las transformaciones e identidades de Kummer para 2 F 2

Identidad 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

dónde

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$;

Identidad 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

que vincula las funciones de Bessel con ₂ F ₂ ; esto se reduce a la segunda fórmula de Kummer para b = 2 a :

Identidad 3.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

Identidad 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

que es una suma finita si bd es un número entero no negativo.

La relación de Kummer

La relación de Kummer es

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

la fórmula de clausen

la fórmula de clausen

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

Fue utilizado por De Branges para demostrar la conjetura de Bieberbach .

Casos especiales

Muchas de las funciones especiales en matemáticas son casos especiales de la función hipergeométrica confluente o de la función hipergeométrica ; consulte los artículos correspondientes para ver ejemplos.

La serie 0 F 0

Como se menciono anteriormente, . La ecuación diferencial de esta función es , que tiene soluciones donde k es una constante. ${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$ ${\displaystyle w=ke^{z}}$

La serie 0 F 1

Las funciones de la forma se denominan funciones límite hipergeométricas confluentes y están estrechamente relacionadas con las funciones de Bessel . ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$

La relación es:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

La ecuación diferencial de esta función es

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

Cuando a no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

da una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

entonces la solución general es

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

donde k , l son constantes. (Si a es un entero positivo, la solución independiente viene dada por la función de Bessel apropiada del segundo tipo).

Un caso especial es:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

La serie 1 F 0

Un caso importante es:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

La ecuación diferencial de esta función es

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

o

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

que tiene soluciones

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

donde k es una constante.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$es la serie geométrica con razón z y coeficiente 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$también es útil.

La serie 1 F 1

Las funciones de la forma se denominan funciones hipergeométricas confluentes de primera especie , también escritas . La función gamma incompleta es un caso especial. ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle M(a;b;z)}$ ${\displaystyle \gamma (a,z)}$

La ecuación diferencial de esta función es

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

Cuando b no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

da una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

entonces la solución general es

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

donde k , l son constantes.

Cuando a es un entero no positivo, − n , es un polinomio. Hasta factores constantes, estos son los polinomios de Laguerre . Esto implica que los polinomios de Hermite también se pueden expresar en términos de ₁ F _{1 .} ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$

La serie 1 F 2

Las relaciones con otras funciones sólo se conocen para determinadas combinaciones de parámetros.

La función es la antiderivada del seno cardinal . Con valores modificados de y , se obtiene la antiderivada de . ^[5] ${\displaystyle x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle \sin(x^{\beta })/x^{\alpha }}$

Se ha propuesto que se puede expresar mediante la función de Bessel y su derivada. ^[6] ${\displaystyle {}_{1}F_{2}\left(n-{\frac {1}{2}};n+1,2n+1;-{x^{2}}\right)}$ ${\displaystyle J_{n}(x)}$

La función es esencialmente una función de Lommel . ^[7] ${\displaystyle {}_{1}F_{2}(1;a,a+1;x)}$

La serie 2 F 0

La función hipergeométrica confluente de segundo tipo se puede escribir como: ^[8]

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).}$

La serie 2 F 1

Históricamente, las más importantes son las funciones de la forma . A veces se les llama funciones hipergeométricas de Gauss , funciones hipergeométricas estándar clásicas o, a menudo, simplemente funciones hipergeométricas. El término función hipergeométrica generalizada se utiliza para las funciones _p F _q si existe riesgo de confusión. Esta función fue estudiada en detalle por primera vez por Carl Friedrich Gauss , quien exploró las condiciones para su convergencia. ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

La ecuación diferencial de esta función es

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

Se conoce como ecuación diferencial hipergeométrica . Cuando c no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

da una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

entonces la solución general para | z | < 1 es

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

donde k , l son constantes. Se pueden derivar diferentes soluciones para otros valores de z . De hecho, existen 24 soluciones, conocidas como soluciones de Kummer , derivables utilizando varias identidades, válidas en diferentes regiones del plano complejo.

Cuando a es un número entero no positivo, − n ,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

es un polinomio. Hasta factores constantes y escalamiento, estos son los polinomios de Jacobi . Varias otras clases de polinomios ortogonales, hasta factores constantes, son casos especiales de polinomios de Jacobi, por lo que también se pueden expresar usando ₂ F _{1 .} Esto incluye los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshev .

Se puede expresar una amplia gama de integrales de funciones elementales utilizando la función hipergeométrica, por ejemplo:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

La serie 3 F 0

Esto ocurre en relación con los polinomios de Mott . ^[9]

La serie 3 F 2

La función

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

es el dilogaritmo ^[10]

La función

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

es un polinomio de Hahn .

La serie 4 F 3

La función

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

es un polinomio de Wilson .

Todas las raíces de una ecuación quíntica se pueden expresar en términos de radicales y el radical Bring , que es la solución real . El radical Bring se puede escribir como: ^[11] ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$

${\displaystyle \operatorname {BR} (t)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).}$

La serie q+1 F q

Las funciones

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)}$

para y son el polilogaritmo . ${\displaystyle q\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

Para cada entero n ≥2, las raíces del polinomio x ⁿ − x +t se pueden expresar como una suma de como máximo N −1 funciones hipergeométricas de tipo _{n +1} F _n , que siempre se pueden reducir eliminando al menos una par de parámetros a y b . ^[11]

Generalizaciones

La función hipergeométrica generalizada está vinculada a la función G de Meijer y a la función E de MacRobert . Las series hipergeométricas fueron generalizadas a varias variables, por ejemplo por Paul Emile Appell y Joseph Kampé de Fériet ; pero tardó mucho en surgir una teoría general comparable. Se encontraron muchas identidades, algunas bastante notables. Eduard Heine dio una generalización, los análogos de la serie q , llamada serie hipergeométrica básica , a finales del siglo XIX. Aquí, las razones consideradas de términos sucesivos, en lugar de una función racional de n , son una función racional de q ⁿ . Otra generalización, las series hipergeométricas elípticas , son aquellas series donde la razón de términos es una función elíptica (una función meromórfica doblemente periódica ) de n .

Durante el siglo XX ésta fue un área fructífera de las matemáticas combinatorias, con numerosas conexiones con otros campos. Hay una serie de nuevas definiciones de funciones hipergeométricas generales , de Aomoto, Israel Gelfand y otros; y aplicaciones, por ejemplo, a la combinatoria de la disposición de varios hiperplanos en el espacio N complejo (ver disposición de hiperplanos ).

Las funciones hipergeométricas especiales ocurren como funciones esféricas zonales en espacios simétricos de Riemann y grupos de Lie semisimples . Su importancia y papel se puede entender a través del siguiente ejemplo: la serie hipergeométrica ₂ F ₁ tiene como caso especial los polinomios de Legendre , y cuando se consideran en forma de armónicos esféricos , estos polinomios reflejan, en cierto sentido, las propiedades de simetría de las dos esferas o, de manera equivalente, las rotaciones dadas por el grupo de Lie SO(3) . En las descomposiciones de productos tensoriales de representaciones concretas de este grupo se cumplen los coeficientes de Clebsch-Gordan , que pueden escribirse como series hipergeométricas ₃ F ₂ .

Las series hipergeométricas bilaterales son una generalización de funciones hipergeométricas en las que se suman todos los números enteros, no solo los positivos.

Las funciones de Fox-Wright son una generalización de funciones hipergeométricas generalizadas donde los símbolos de Pochhammer en la expresión en serie se generalizan a funciones gamma de expresiones lineales en el índice n .

Ver también

• serie de apelación
• serie humbert
• Función Campé de Fériet
• Serie hipergeométrica de Lauricella

Notas

1. Prudnikov, AP; Brychkov, Yu. A.; Marichev, OI (1990). Integrales y series Volumen 3: Más funciones especiales . Gordon y Breach. pag. 439.
2. (Slater 1966, Ecuación (4.1.2))
3. Consulte (Slater 1966, Sección 2.3.1) o (Bailey 1935, Sección 2.2) para obtener una prueba.
4. Véase (Bailey 1935, Sección 3.1) para obtener una prueba detallada. Una prueba alternativa se encuentra en (Slater 1966, Sección 2.3.3).
5. Victor Nijimbere, Ural Math J vol 3 (1) y https://arxiv.org/abs/1703.01907 (2017)
6. https://math.stackexchange.com/questions/3978473 (2021)
7. "Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel" de Watson (1966), sección 10.7, ecuación (10), según https://mathoverflow.net/questions/98684
8. "DLMF: §13.6 Relaciones con otras funciones ‣ Funciones de Kummer ‣ Capítulo 13 Funciones hipergeométricas confluentes". dlmf.nist.gov .
9. Véase Erdélyi et al. 1955.
10. Candán, Cagatay. "Una prueba simple de F(1,1,1;2,2;x)=dilog(1-x)/x" (PDF) .
11. Glasser, M. Lawrence (1994). "La fórmula cuadrática dificultada: un enfoque menos radical para resolver ecuaciones". arXiv : math.CA/9411224 .

Referencias

• Askey, RA; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Función hipergeométrica generalizada", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Andrews, George E.; Askey, Richard y Roy, Ranjan (1999). Funciones especiales . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 71. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-78988-2. SEÑOR  1688958.
• Bailey, WN (1935). Series Hipergeométricas Generalizadas . Cambridge Tracts en Matemáticas y Física Matemática. vol. 32. Londres: Cambridge University Press. Zbl  0011.02303.
• Dixon, CA (1902). "Resumen de una determinada serie". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 35 (1): 284–291. doi :10.1112/plms/s1-35.1.284. JFM  34.0490.02.
• Dougall, J. (1907). "Sobre el teorema de Vandermonde y algunas expansiones más generales". Proc. Matemáticas de Edimburgo. Soc . 25 : 114-132. doi : 10.1017/S0013091500033642 .
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Guillermo ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955). Funciones trascendentales superiores. vol. III . McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York-Toronto-Londres. SEÑOR  0066496.
• Gaspar, George; Rahman, Mizan (2004). Serie Hipergeométrica Básica . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 96 (2ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83357-8. SEÑOR  2128719. Zbl  1129.33005.(la primera edición tiene ISBN 0-521-35049-2 ) 
• Gauss, Carl Friedrich (1813). "Disquisiciones generales circa seriam infinitam 1 + α β 1 ⋅ γ x + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) x x + etc. {\displaystyle 1+{\tfrac { \alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1 )}}~x~x+{\mbox{etc.}}} ". Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (en latín). Gotinga. 2 .(Se puede encontrar una reimpresión de este artículo en Carl Friedrich Gauss, Werke, p. 125)
• Grinshpan, AZ (2013), "Funciones hipergeométricas generalizadas: identidades de productos y desigualdades de normas ponderadas", The Ramanujan Journal , 31 (1–2): 53–66, doi :10.1007/s11139-013-9487-x, S2CID  121054930

• Heckman, Gerrit y Schlichtkrull, Henrik (1994). Análisis Armónico y Funciones Especiales en Espacios Simétricos . San Diego: Prensa académica. ISBN 978-0-12-336170-7.(La parte 1 trata funciones hipergeométricas en grupos de Lie)
• Lavoie, JL; Grondin, F.; Rathie, Alaska; Arora, K. (1994). "Generalizaciones del teorema de Dixon sobre la suma de un 3F2". Matemáticas. comp . 62 (205): 267–276. doi :10.2307/2153407. JSTOR  2153407.
• Molinero, AR; París, RB (2011). "Transformaciones de tipo Euler para la función hipergeométrica generalizada r+2Fr+1". Z. Angew. Matemáticas. Física . 62 (1): 31–45. Código Bib : 2011ZaMP...62...31M. doi :10.1007/s00033-010-0085-0. S2CID  30484300.
• Quigley, J.; Wilson, KJ; Paredes, L.; Bedford, T. (2013). "Un método Bayes lineal de Bayes para la estimación de tasas de eventos correlacionados" (PDF) . Análisis de riesgo . 33 (12): 2209–2224. doi : 10.1111/risa.12035. PMID  23551053. S2CID  24476762.
• Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). "Nueva fórmula de suma para 3F2 (1/2) y una transformación Kummer tipo II de 2F2 (x)". Comunicaciones Matemáticas . 13 : 63–66. SEÑOR  2422088. Zbl  1146.33002.
• Rakha, MA; Rathie, Arjun K. (2011). "Extensiones de la transformación tipo II de Euler y el teorema de Saalschutz". Toro. Matemáticas coreanas. Soc . 48 (1): 151-156. doi : 10.4134/bkms.2011.48.1.151 .
• Saalschütz, L. (1890). "Eine Summationsformel". Zeitschrift für Mathematik und Physik (en alemán). 35 : 186–188. JFM  22.0262.03.
• Pizarrero, Lucy Joan (1966). Funciones Hipergeométricas Generalizadas . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5. Señor  0201688. Zbl  0135.28101.(hay un libro de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2 ) 
• Yoshida, Masaaki (1997). Funciones hipergeométricas, mi amor: interpretaciones modulares de espacios de configuración . Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg y Sohn. ISBN 978-3-528-06925-4. SEÑOR  1453580.

enlaces externos

• El libro "A=B", este libro se puede descargar gratuitamente desde internet.
• MundoMatemático
  • Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica generalizada". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica confluente del primer tipo". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Función de límite hipergeométrico confluente". MundoMatemático .