serie de apelación

Conjunto de cuatro series hipergeométricas.

En matemáticas, las series de Appell son un conjunto de cuatro series hipergeométricas F ₁ , F ₂ , F ₃ , F ₄ de dos variables que fueron introducidas por Paul Appell  (1880) y que generalizan la serie hipergeométrica ₂ F ₁ de Gauss de una variable. Appell estableció el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de las cuales estas funciones son soluciones y encontró varias fórmulas de reducción y expresiones de estas series en términos de series hipergeométricas de una variable.

Definiciones

La serie Appell F ₁ está definida para | x | < 1, | y | < 1 por la serie doble

${\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

¿Dónde está el símbolo de Pochhammer ? Para otros valores de xey la función F ₁ se puede definir mediante continuación analítica . Se puede demostrar ^[1] que ${\displaystyle (q)_{n}}$

${\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}(c-a)_{r}}{(c+r-1)_{r}(c)_{2r}r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c+2r;x\right){}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{2}+r;c+2r;y\right)~.}$

De manera similar, la función F ₂ se define para | x | + | y | < 1 por la serie

${\displaystyle F_{2}(a,b_{1},b_{2};c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}}$

y se puede demostrar ^[2] que

${\displaystyle F_{2}(a,b_{1},b_{2};c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}}{(c_{1})_{r}(c_{2})_{r}r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c_{1}+r;x\right){}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{2}+r;c_{2}+r;y\right)~.}$

También la función F ₃ para | x | < 1, | y | < 1 puede ser definido por la serie

${\displaystyle F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

y la función F ₄ para | x | ^{1 ⁄ 2} + | y | ^{1 ⁄ 2} < 1 por la serie

${\displaystyle F_{4}(a,b;c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.}$

Relaciones de recurrencia

Al igual que la serie hipergeométrica de Gauss ₂ F ₁ , la serie doble de Appell implica relaciones de recurrencia entre funciones contiguas. Por ejemplo, un conjunto básico de tales relaciones para F ₁ de Appell viene dado por:

${\displaystyle (a-b_{1}-b_{2})F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+b_{2}F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)=0~,}$

${\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-(c-a)F_{1}(a,b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)+c(x-1)F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)-(c-a)x\,F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)+c(y-1)F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)-(c-a)y\,F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.}$

De estas cuatro se puede derivar cualquier otra relación ^[3] válida para F _{1 .}

De manera similar, todas las relaciones de recurrencia para F ₃ de Appell se derivan de este conjunto de cinco:

${\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+(a_{1}+a_{2}-c)F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{1}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{2}F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}x\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~,}$

${\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+a_{1}x\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}+1,c;x,y)+a_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.}$

Derivadas y ecuaciones diferenciales

Para la F ₁ de Appell , las siguientes derivadas resultan de la definición por una serie doble:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_{n}\left(b_{1}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1}+n,b_{2},c+n;x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial y^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_{n}\left(b_{2}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1},b_{2}+n,c+n;x,y)}$

A partir de su definición, se encuentra además que la F ₁ de Appell satisface el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden :

${\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{1}(x,y)=0}$

${\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{1}(x,y)=0}$

Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para F ₂ es

${\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{2}(x,y)=0}$

${\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial y^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{2}(x,y)=0}$

El sistema tiene solución.

${\displaystyle F_{2}(x,y)=C_{1}F_{2}(a,b_{1},b_{2},c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{2}(a-c_{1}+1,b_{1}-c_{1}+1,b_{2},2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{2}+1,b_{1},b_{2}-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{1}-c_{2}+2,b_{1}-c_{1}+1,b_{2}-c_{2}+1,2-c_{1},2-c_{2};x,y)}$

De manera similar, para F ₃ las siguientes derivadas resultan de la definición:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {a_{1}b_{1}}{c}}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {a_{2}b_{2}}{c}}F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)}$

Y para F ₃ se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{1}+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial x}}-a_{1}b_{1}F_{3}(x,y)=0}$

${\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{2}+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial y}}-a_{2}b_{2}F_{3}(x,y)=0}$

Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para F ₄ es

${\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-y^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b+1)x]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-(a+b+1)y{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-abF_{4}(x,y)=0}$

${\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-x^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b+1)y]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-(a+b+1)x{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-abF_{4}(x,y)=0}$

El sistema tiene solución.

${\displaystyle F_{4}(x,y)=C_{1}F_{4}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{4}(a-c_{1}+1,b-c_{1}+1,2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{4}(a-c_{2}+1,b-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{4}(2+a-c_{1}-c_{2},2+b-c_{1}-c_{2},2-c_{1},2-c_{2};x,y)}$

Representaciones integrales

Las cuatro funciones definidas por la serie doble de Appell se pueden representar en términos de integrales dobles que involucran únicamente funciones elementales (Gradshteyn et al. 2015, §9.184). Sin embargo, Émile Picard  (1881) descubrió que la F _{1 de Appell también se puede escribir como una} integral unidimensional de tipo Euler :

${\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b_{1}}(1-yt)^{-b_{2}}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.}$

Esta representación se puede verificar mediante la expansión de Taylor del integrando, seguida de la integración por términos.

Casos especiales

La representación integral de Picard implica que las integrales elípticas incompletas F y E , así como la integral elíptica completa Π, son casos especiales de la F ₁ de Appell :

${\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |<{\frac {\pi }{2}}~,}$

${\displaystyle E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |<{\frac {\pi }{2}}~,}$

${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {\pi }{2}}\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},1;n,k^{2})~.}$

Serie relacionada

• Hay siete series relacionadas de dos variables, Φ ₁ , Φ ₂ , Φ ₃ , Ψ ₁ , Ψ ₂ , Ξ ₁ y Ξ ₂ , que generalizan la función hipergeométrica confluente de Kummer ₁ F ₁ de una variable y la función límite hipergeométrica confluente ₀ F ₁ de una variable de manera similar. El primero de ellos fue introducido por Pierre Humbert en 1920.
• Giuseppe Lauricella  (1893) definió cuatro funciones similares a la serie de Appell, pero dependiendo de muchas variables en lugar de solo las dos variables x e y . Estas series también fueron estudiadas por Appell. Satisfacen ciertas ecuaciones diferenciales parciales y también pueden darse en términos de integrales de tipo Euler e integrales de contorno .

Referencias

1. Véase Burchnall y Chaundy (1940), fórmula (30).
2. Véase Burchnall & Chaundy (1940), fórmula (26) o Erdélyi (1953), fórmula 5.12(9).
3. Por ejemplo, ${\displaystyle (y-x)F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2}+1,c,x,y)=y\,F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c,x,y)-x\,F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c,x,y)}$

• Appell, Paul (1880). "Sur les séries hypergéométriques de deux variables et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés). 90 : 296–298 y 731–735. JFM  12.0296.01.(ver también "Sur la série F ₃ (α,α',β,β',γ; x,y)" en CR Acad. Sci. 90 , págs. 977–980)
• Appell, Paul (1882). "Sobre las funciones hipergéométricas de dos variables". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . (3ème série) (en francés). 8 : 173–216. Archivado desde el original el 12 de abril de 2013.
• Apelar, Paul; Campé de Fériet, Joseph (1926). Funciones hipergéométriques e hiperesféricas; Polynômes d'Hermite (en francés). París: Gauthier-Villars. JFM  52.0361.13.(ver página 14)
• Askey, RA; Olde Daalhuis, AB (2010), "Serie Appell", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Burchnall, JL; Chaundy, TW (1940). "Ampliaciones de las funciones hipergeométricas dobles de Appell". QJ Matemáticas . Primera Serie. 11 : 249–270. doi :10.1093/qmath/os-11.1.249.
• Erdélyi, A. (1953). Funciones trascendentales superiores, vol. Yo (PDF) . Nueva York: McGraw-Hill.(ver pág. 224)
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "9.18". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Humbert, Pierre (1920). "Sobre las funciones hipercilíndricas". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés). 171 : 490–492. JFM  47.0348.01.
• Lauricella, Giuseppe (1893). "Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili". Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano). 7 : 111-158. doi :10.1007/BF03012437. JFM  25.0756.01. S2CID  122316343.
• Picard, Émile (1881). "Sobre una extensión aux funciones de dos variables del problema de Riemann relativa a funciones hipergéométriques". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Serie 2 (en francés). 10 : 305–322. doi : 10.24033/asens.203 . JFM  13.0389.01.(ver también CR Acad. Sci. 90 (1880), págs. 1119–1121 y 1267–1269)
• Pizarrero, Lucy Joan (1966). Funciones hipergeométricas generalizadas . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. SEÑOR  0201688.(hay un libro de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2 ) 

enlaces externos

• Aarts, Ronald M. "Funciones de Lauricella". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica de Appell". MundoMatemático .