Las funciones trigonométricas más utilizadas en las matemáticas modernas son las funciones seno , coseno y tangente . Sus recíprocas son respectivamente las funciones cosecante , secante y cotangente , que son menos utilizadas. Cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene una función inversa correspondiente y una análoga entre las funciones hiperbólicas .
Las definiciones más antiguas de funciones trigonométricas, relacionadas con triángulos rectángulos, las definen sólo para ángulos agudos . Para extender las funciones seno y coseno a funciones cuyo dominio es la recta real completa, a menudo se utilizan definiciones geométricas que utilizan el círculo unitario estándar (es decir, un círculo con radio 1 unidad); entonces el dominio de las otras funciones es la recta real con algunos puntos aislados eliminados. Las definiciones modernas expresan funciones trigonométricas como series infinitas o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Esto permite extender el dominio de las funciones seno y coseno a todo el plano complejo , y el dominio de las otras funciones trigonométricas al plano complejo con algunos puntos aislados eliminados.
Notación
Convencionalmente, en las fórmulas se utiliza una abreviatura del nombre de cada función trigonométrica como símbolo. Hoy en día, las versiones más comunes de estas abreviaturas son "sin" para seno, "cos" para coseno, "tan" o "tg" para tangente, "sec" para secante, "csc" o "cosec" para cosecante y " cot" o "ctg" para cotangente. Históricamente, estas abreviaturas se utilizaron por primera vez en oraciones en prosa para indicar segmentos de línea particulares o sus longitudes relacionadas con un arco de un círculo arbitrario, y más tarde para indicar proporciones de longitudes, pero a medida que el concepto de función se desarrolló en los siglos XVII y XVIII, comenzaron para ser considerados como funciones de medidas de ángulos con valores de números reales y escritos con notación funcional , por ejemplo sin( x ) . A menudo todavía se omiten los paréntesis para reducir el desorden, pero a veces son necesarios; por ejemplo, la expresión normalmente se interpretaría en el sentido de que se requieren paréntesis para expresar
Un número entero positivo que aparece como un superíndice después del símbolo de la función denota exponenciación , no composición de la función . Por ejemplo y denotar no. Esto difiere de la notación funcional general (históricamente posterior) en la que
Sin embargo, el exponente se utiliza comúnmente para denotar la función inversa , no la recíproca . Por ejemplo , y denota la función trigonométrica inversa , escrita alternativamente La ecuación implica no. En este caso, se podría considerar que el superíndice denota una función compuesta o iterada , pero los superíndices negativos distintos de no son de uso común.
Definiciones de triángulo rectángulo
Si se da el ángulo agudo θ , entonces todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo de θ son similares entre sí. Esto significa que la relación entre las longitudes de dos lados cualesquiera depende sólo de θ . Así, estas seis razones definen seis funciones de θ , que son las funciones trigonométricas. En las siguientes definiciones, la hipotenusa es la longitud del lado opuesto al ángulo recto, opuesto representa el lado opuesto al ángulo dado θ y adyacente representa el lado entre el ángulo θ y el ángulo recto. [3] [4]
En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es un ángulo recto, es decir, 90° o π/2 radianes . Por lo tantoyrepresentan la misma razón y por tanto son iguales. Esta identidad y relaciones análogas entre las otras funciones trigonométricas se resumen en la siguiente tabla.
Radianes versus grados
En aplicaciones geométricas, el argumento de una función trigonométrica generalmente es la medida de un ángulo . Para ello, cualquier unidad de esquina es conveniente. Una unidad común son los grados , en los que un ángulo recto mide 90° y un giro completo mide 360° (particularmente en matemáticas elementales ).
Sin embargo, en cálculo y análisis matemático , las funciones trigonométricas generalmente se consideran de manera más abstracta como funciones de números reales o complejos , en lugar de ángulos. De hecho, las funciones sin y cos se pueden definir para todos los números complejos en términos de la función exponencial , mediante series de potencias, [6] o como soluciones a ecuaciones diferenciales dados valores iniciales particulares [7] ( ver más abajo ), sin referencia a cualquier noción geométrica. Las otras cuatro funciones trigonométricas ( tan , cot , sec , csc ) se pueden definir como cocientes y recíprocos de sin y cos , excepto cuando aparece cero en el denominador. Se puede demostrar, para argumentos reales, que estas definiciones coinciden con definiciones geométricas elementales si el argumento se considera como un ángulo dado en radianes . [6] Además, estas definiciones dan como resultado expresiones simples para las derivadas e integrales indefinidas para las funciones trigonométricas. [8] Por lo tanto, en entornos más allá de la geometría elemental, los radianes se consideran la unidad matemáticamente natural para describir medidas de ángulos.
Cuando se emplean radianes (rad), el ángulo se da como la longitud del arco del círculo unitario subtendido por él: el ángulo que subtiende un arco de longitud 1 en el círculo unitario es 1 rad (≈ 57,3°), y un el giro completo (360°) es un ángulo de 2 π (≈ 6,28) rad. Para el número real x , las notaciones sin x , cos x , etc. se refieren al valor de las funciones trigonométricas evaluadas en un ángulo de x rad. Si se utilizan unidades de grados, el signo del grado debe mostrarse explícitamente (por ejemplo, sin x° , cos x° , etc.). Usando esta notación estándar, el argumento x para las funciones trigonométricas satisface la relación x = (180 x / π )°, de modo que, por ejemplo, sen π = sen 180° cuando tomamos x = π . De esta forma, el símbolo del grado puede considerarse como una constante matemática tal que 1° = π /180 ≈ 0,0175.
Definiciones de círculo unitario
Las seis funciones trigonométricas se pueden definir como valores de coordenadas de puntos en el plano euclidiano que están relacionados con el círculo unitario , que es el círculo de radio uno centrado en el origen O de este sistema de coordenadas. Mientras que las definiciones de triángulos rectángulos permiten la definición de funciones trigonométricas para ángulos entre 0 y radianes (90°), las definiciones de círculos unitarios permiten que el dominio de las funciones trigonométricas se extienda a todos los números reales positivos y negativos.
Sea el rayo obtenido al girar en un ángulo θ la mitad positiva del eje x ( rotación en sentido antihorario para y rotación en el sentido de las agujas del reloj para ). Este rayo intersecta al círculo unitario en el punto El rayo extendido a una línea si es necesario, intersecta a la recta de ecuación en el punto y a la recta de ecuación en el punto La recta tangente al círculo unitario en el punto A , es perpendicular e intersecta al Ejes y y x en puntos y Las coordenadas de estos puntos dan los valores de todas las funciones trigonométricas para cualquier valor real arbitrario de θ de la siguiente manera.
Las funciones trigonométricas cos y sin se definen, respectivamente, como los valores de las coordenadas x e y del punto A. Eso es,
y [10]
En el rango , esta definición coincide con la definición del triángulo rectángulo, al tomar el triángulo rectángulo como hipotenusa de radio unitario OA . Y dado que la ecuación es válida para todos los puntos del círculo unitario, esta definición de coseno y seno también satisface la identidad pitagórica .
Las otras funciones trigonométricas se pueden encontrar a lo largo del círculo unitario como
y
y
Al aplicar los métodos pitagóricos de identidad y prueba geométrica, se puede demostrar fácilmente que estas definiciones coinciden con las definiciones de tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de seno y coseno, es decir
Dado que la rotación de un ángulo de no cambia la posición o el tamaño de una forma, los puntos A , B , C , D y E son iguales para dos ángulos cuya diferencia es un múltiplo entero de . Por tanto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas con período . Es decir, las igualdades
y
Mantener para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k . Lo mismo ocurre con las otras cuatro funciones trigonométricas. Al observar el signo y la monotonicidad de las funciones seno, coseno, cosecante y secante en los cuatro cuadrantes, se puede demostrar que es el valor más pequeño para el cual son periódicas (es decir, es el período fundamental de estas funciones). Sin embargo, después de una rotación de un ángulo , los puntos B y C ya vuelven a su posición original, de modo que la función tangente y la función cotangente tienen un período fundamental de . Es decir, las igualdades
y
Mantener para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k .
Escribir los numeradores como raíces cuadradas de números enteros consecutivos no negativos, con un denominador de 2, proporciona una manera fácil de recordar los valores. [11]
Generalmente, expresiones tan simples no existen para otros ángulos que son múltiplos racionales de un ángulo recto.
Para un ángulo que, medido en grados, es múltiplo de tres, los valores trigonométricos exactos del seno y el coseno se pueden expresar en términos de raíces cuadradas. Estos valores del seno y el coseno pueden así construirse con regla y compás .
Para un ángulo de un número entero de grados, el seno y el coseno se pueden expresar en términos de raíces cuadradas y raíz cúbica de un número complejo no real . La teoría de Galois permite demostrar que, si el ángulo no es múltiplo de 3°, las raíces cúbicas no reales son inevitables.
Para un ángulo que, expresado en grados, no es un número racional, entonces el ángulo o tanto el seno como el coseno son números trascendentales . Este es un corolario del teorema de Baker , demostrado en 1966.
Valores algebraicos simples
La siguiente tabla enumera los senos, cosenos y tangentes de múltiplos de 15 grados de 0 a 90 grados.
en calculo
Lo moderno [ ¿cuándo? ] La tendencia en matemáticas es construir la geometría a partir del cálculo y no a la inversa. [ cita necesaria ] Por lo tanto, excepto en un nivel muy elemental, las funciones trigonométricas se definen utilizando los métodos de cálculo.
Las funciones trigonométricas son diferenciables y analíticas en cada punto donde se definen; es decir, en todas partes para el seno y el coseno y, para la tangente, en todas partes excepto en π /2 + k π para cada entero k .
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas , y su período primitivo es 2 π para el seno y el coseno, y π para la tangente, que va aumentando en cada intervalo abierto ( π /2 + k π , π /2 + ( k + 1 ) π ) . En cada punto final de estos intervalos, la función tangente tiene una asíntota vertical .
En cálculo, existen dos definiciones equivalentes de funciones trigonométricas, ya sea usando series de potencias o ecuaciones diferenciales . Estas definiciones son equivalentes, ya que a partir de una de ellas es fácil recuperar la otra como propiedad. Sin embargo, la definición a través de ecuaciones diferenciales es de alguna manera [ palabras de comadreja ] más natural, [ cita necesaria ] ya que, por ejemplo, la elección de los coeficientes de la serie de potencias puede parecer bastante arbitraria, y la identidad pitagórica es mucho más fácil de deducir de la ecuaciones diferenciales.
entonces la función tangente satisface la ecuación diferencial ordinaria
Es la solución única con y (0) = 0 .
Expansión de series de potencias
Aplicando las ecuaciones diferenciales a series de potencias con coeficientes indeterminados, se pueden deducir relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de Taylor de las funciones seno y coseno. Estas relaciones de recurrencia son fáciles de resolver y dan lugar a expansiones de series [12]
Al definirse como fracciones de funciones enteras, las demás funciones trigonométricas pueden extenderse a funciones meromorfas , es decir funciones que son holomorfas en todo el plano complejo, excepto algunos puntos aislados llamados polos . Aquí, los polos son los números de la forma para la tangente y la secante, o para la cotangente y la cosecante, donde k es un número entero arbitrario.
También se pueden calcular relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de Taylor de las otras funciones trigonométricas. Estas series tienen un radio de convergencia finito . Sus coeficientes tienen una interpretación combinatoria : enumeran permutaciones alternas de conjuntos finitos. [13]
Esta identidad se puede demostrar con el truco de Herglotz . [17]
La combinación del (– n ) ésimo con el nésimo término conduce a una serie absolutamente convergente :
De manera similar, se puede encontrar una expansión de fracción parcial para las funciones secante, cosecante y tangente:
Expansión infinita del producto
El siguiente producto infinito del seno es de gran importancia en análisis complejos:
Para la prueba de esta expansión, consulte Sine . De esto se puede deducir que
Relación con la función exponencial (fórmula de Euler)
Esta fórmula se considera comúnmente para valores reales de x , pero sigue siendo válida para todos los valores complejos.
Prueba : Sea y Uno tiene para j = 1, 2 . La regla del cociente implica así que . Por lo tanto, es una función constante, que es igual a1 , como Esto prueba la fórmula.
Uno tiene
Resolviendo este sistema lineal en seno y coseno, se pueden expresar en términos de la función exponencial:
Cuando x es real, esto puede reescribirse como
La mayoría de las identidades trigonométricas se pueden demostrar expresando funciones trigonométricas en términos de la función exponencial compleja usando las fórmulas anteriores y luego usando la identidad para simplificar el resultado.
Definiciones usando ecuaciones funcionales.
También se pueden definir las funciones trigonométricas utilizando varias ecuaciones funcionales .
Por ejemplo, [18] el seno y el coseno forman el par único de funciones continuas que satisfacen la fórmula de diferencia
Aprovechando la coloración de dominios , es posible graficar las funciones trigonométricas como funciones de valores complejos. En el gráfico se pueden ver varias características exclusivas de las funciones complejas; por ejemplo, se puede ver que las funciones seno y coseno no están acotadas a medida que la parte imaginaria de se hace más grande (ya que el color blanco representa el infinito), y el hecho de que las funciones contengan ceros o polos simples se desprende del hecho de que los ciclos de tono alrededor de cada cero o polo exactamente una vez. La comparación de estos gráficos con los de las funciones hiperbólicas correspondientes resalta las relaciones entre los dos.
Identidades básicas
Muchas identidades interrelacionan las funciones trigonométricas. Esta sección contiene los más básicos; para más identidades, consulte Lista de identidades trigonométricas . Estas identidades pueden demostrarse geométricamente a partir de las definiciones de círculo unitario o de triángulo rectángulo (aunque, para las últimas definiciones, se debe tener cuidado con los ángulos que no están en el intervalo [0, π /2] , ver Pruebas de identidades trigonométricas ). Para pruebas no geométricas que utilizan únicamente herramientas de cálculo , se pueden usar directamente las ecuaciones diferenciales, de una manera similar a la prueba anterior de la identidad de Euler. También se puede utilizar la identidad de Euler para expresar todas las funciones trigonométricas en términos de exponenciales complejas y utilizar las propiedades de la función exponencial.
Todas las funciones trigonométricas son funciones periódicas de período 2 π . Este es el período más pequeño, excepto para la tangente y la cotangente, que tienen π como período más pequeño. Esto significa que, para cada número entero k , se tiene
Identidad pitagórica
La identidad pitagórica, es la expresión del teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas. Es
.
Dividiendo por cualquiera o da
y
.
Fórmulas de suma y diferencia.
Las fórmulas de suma y diferencia permiten expandir el seno, el coseno y la tangente de una suma o diferencia de dos ángulos en términos de senos y cosenos y tangentes de los propios ángulos. Estos pueden derivarse geométricamente, utilizando argumentos que datan de Ptolomeo . También se pueden producir algebraicamente usando la fórmula de Euler .
Suma
Diferencia
Cuando los dos ángulos son iguales, las fórmulas de suma se reducen a ecuaciones más simples conocidas como fórmulas de doble ángulo .
Nota: Para la integral de también se puede escribir como y para la integral de para como donde es el seno hiperbólico inverso .
Alternativamente, las derivadas de las 'cofunciones' se pueden obtener usando identidades trigonométricas y la regla de la cadena:
Funciones inversas
Las funciones trigonométricas son periódicas, y por tanto no inyectivas , por lo que estrictamente hablando, no tienen función inversa . Sin embargo, en cada intervalo en el que una función trigonométrica es monótona , se puede definir una función inversa, y esto define las funciones trigonométricas inversas como funciones multivaluadas . Para definir una función inversa verdadera, se debe restringir el dominio a un intervalo donde la función es monótona y, por lo tanto, es biyectiva desde este intervalo a su imagen por la función. La elección común para este intervalo, llamado conjunto de valores principales , se proporciona en la siguiente tabla. Como es habitual, las funciones trigonométricas inversas se denotan con el prefijo "arco" antes del nombre o su abreviatura de la función.
Las notaciones sin −1 , cos −1 , etc. se usan a menudo para arcsin y arccos , etc. Cuando se usa esta notación, las funciones inversas podrían confundirse con inversas multiplicativas. La notación con el prefijo "arco" evita tal confusión, aunque "arcsec" para arcosecante puede confundirse con " arcsegundo ".
Al igual que el seno y el coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden expresar en términos de series infinitas. También se pueden expresar en términos de logaritmos complejos .
Aplicaciones
Ángulos y lados de un triángulo.
En esta sección A , B , C denotan los tres ángulos (interiores) de un triángulo, y a , b , c denotan las longitudes de los respectivos bordes opuestos. Están relacionados mediante diversas fórmulas, que reciben nombre de las funciones trigonométricas que involucran.
ley de los senos
La ley de los senos establece que para un triángulo arbitrario con lados a , b y c y ángulos opuestos a esos lados A , B y C :
donde Δ es el área del triángulo o, de manera equivalente,
donde R es el circunradio del triángulo .
Se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y utilizando la definición de seno anterior. La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos de un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. Esta es una situación común que ocurre en la triangulación , una técnica para determinar distancias desconocidas midiendo dos ángulos y una distancia cerrada accesible.
Ley de cosenos
La ley de los cosenos (también conocida como fórmula del coseno o regla del coseno) es una extensión del teorema de Pitágoras :
o equivalentemente,
En esta fórmula el ángulo en C es opuesto al lado c . Este teorema se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y utilizando el teorema de Pitágoras .
La ley de los cosenos se puede utilizar para determinar un lado de un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. También se puede utilizar para encontrar los cosenos de un ángulo (y, en consecuencia, los ángulos mismos) si se conocen las longitudes de todos los lados.
ley de las tangentes
La ley de las tangentes dice que:
.
Ley de cotangentes
Si s es el semiperímetro del triángulo, ( a + b + c )/2, y r es el radio del círculo interior del triángulo , entonces rs es el área del triángulo. Por tanto la fórmula de Heron implica que:
.
La ley de las cotangentes dice que: [19]
Resulta que
Funciones periódicas
Las funciones trigonométricas también son importantes en física. Las funciones seno y coseno, por ejemplo, se utilizan para describir el movimiento armónico simple , que modela muchos fenómenos naturales, como el movimiento de una masa unida a un resorte y, para ángulos pequeños, el movimiento pendular de una masa suspendida de un cadena. Las funciones seno y coseno son proyecciones unidimensionales de movimiento circular uniforme .
Las funciones trigonométricas también resultan útiles en el estudio de funciones periódicas generales . Los patrones de ondas característicos de las funciones periódicas son útiles para modelar fenómenos recurrentes como las ondas de sonido o de luz . [20]
En condiciones bastante generales, una función periódica f ( x ) se puede expresar como una suma de ondas sinusoidales u ondas cosenos en una serie de Fourier . [21] Denotando las funciones de base seno o coseno por φ k , la expansión de la función periódica f ( t ) toma la forma:
En la animación de una onda cuadrada arriba a la derecha se puede ver que sólo unos pocos términos ya producen una aproximación bastante buena. A continuación se muestra la superposición de varios términos en la expansión de una onda en diente de sierra .
Las seis funciones trigonométricas de uso actual eran conocidas en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . [23] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos persas y árabes, incluidos el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. [23] Al-Khwārizmī (c. 780–850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. Hacia 830, Habash al-Hasib al-Marwazi descubrió la cotangente y produjo tablas de tangentes y cotangentes. [24] [25] Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1° a 90°. [25] Las funciones trigonométricas fueron estudiadas más tarde por matemáticos como Omar Khayyám , Bhāskara II , Nasir al-Din al-Tusi , Jamshīd al-Kāshī (siglo XIV), Ulugh Beg (siglo XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus y Valentinus Otho , alumno de Rheticus .
La función tangente fue llevada a Europa por Giovanni Bianchini en 1467 en tablas trigonométricas que creó para apoyar el cálculo de coordenadas estelares. [27]
Los términos tangente y secante fueron introducidos por primera vez por el matemático danés Thomas Fincke en su libro Geometria rotundi (1583). [28]
El matemático francés del siglo XVII Albert Girard hizo el primer uso publicado de las abreviaturas sin , cos y tan en su libro Trigonométrie . [29]
En un artículo publicado en 1682, Gottfried Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . [30] Aunque se presentaron como proporciones de lados de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, parecen funciones racionales , el resultado de Leibnitz estableció que en realidad son funciones trascendentales de su argumento. La tarea de asimilar funciones circulares en expresiones algebraicas fue realizada por Euler en su Introducción al análisis del infinito (1748). Su método consistió en demostrar que las funciones seno y coseno son series alternas formadas a partir de los términos pares e impares respectivamente de la serie exponencial . Presentó la " fórmula de Euler ", así como abreviaturas casi modernas ( sin. , cos. , tang. , cot. , sec. y cosec. ). [22]
Históricamente, las funciones trigonométricas a menudo se combinaban con logaritmos en funciones compuestas como el seno logarítmico, el coseno logarítmico, la secante logarítmica, la cosecante logarítmica, la tangente logarítmica y la cotangente logarítmica. [32] [33] [34] [35]
Etimología
La palabra seno deriva [36] del latín sinus , que significa "doblarse; bahía", y más concretamente "el pliegue colgante de la parte superior de una toga ", "el seno de una prenda", que fue elegida como traducción de lo que fue interpretado como la palabra árabe jaib , que significa "bolsillo" o "pliegue" en las traducciones del siglo XII de obras de Al-Battani y al-Khwārizmī al latín medieval . [37]
La elección se basó en una mala interpretación de la forma escrita árabe jyb ( جيب ), que a su vez se originó como una transliteración del sánscrito jīvā , que junto con su sinónimo jyā (el término sánscrito estándar para seno) se traduce como "cuerda de arco". , siendo a su vez adoptado del griego antiguo χορδή "cuerda". [38]
La palabra tangente proviene del latín tangens que significa "tocar", ya que la línea toca el círculo de radio unitario, mientras que secante proviene del latín secans ("cortar"), ya que la línea corta el círculo. [39]
El prefijo " co- " (en "coseno", "cotangente", "cosecante") se encuentra en el Canon triangulorum (1620) de Edmund Gunter , que define el coseno como una abreviatura del seno complementario (seno del ángulo complementario). ) y procede a definir los cotangentes de manera similar. [40] [41]
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