Función de varias variables reales

En el análisis matemático y sus aplicaciones, una función de varias variables reales o función multivariante real es una función con más de un argumento , siendo todos los argumentos variables reales . Este concepto extiende la idea de una función de una variable real a varias variables. Las variables de "entrada" toman valores reales, mientras que la "salida", también llamada "valor de la función", puede ser real o compleja . Sin embargo, el estudio de las funciones de valor complejo puede reducirse fácilmente al estudio de las funciones de valor real , considerando las partes real e imaginaria de la función compleja; por lo tanto, a menos que se especifique explícitamente, solo se considerarán funciones de valor real en este artículo.

El dominio de una función de $n$ variables es el subconjunto de ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ para el que está definida la función. Como es habitual, se supone que el dominio de una función de varias variables reales contiene un subconjunto abierto no vacío de ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ .

Definición general

Funciones

f (x 1, x 2, \dots, x n)

n

variables, representadas como gráficos en el espacio

R n + 1

. Los dominios son las regiones

n -dimensionales de color rojo, las imágenes son las curvas

n

-dimensionales de color púrpura .

Una función de valor real de $n$ variables reales es una función que toma como entrada $n$ números reales , comúnmente representados por las variables $x 1, x 2, \dots, x n$ , para producir otro número real, el valor de la función, comúnmente denotado $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ . Para simplificar, en este artículo una función de valor real de varias variables reales se llamará simplemente función . Para evitar cualquier ambigüedad, se especificarán explícitamente los otros tipos de funciones que pueden ocurrir.

Algunas funciones están definidas para todos los valores reales de las variables (se dice que están definidas en todas partes), pero otras funciones están definidas sólo si el valor de la variable se toma en un subconjunto $X$ de $R n$ , el dominio de la función, que siempre se supone que contiene un subconjunto abierto de $R n$ . En otras palabras, una función de valor real de $n$ variables reales es una función

f:X\to \mathbb {R}

tal que su dominio $X$ es un subconjunto de $R n$ que contiene un conjunto abierto no vacío.

Como un elemento de $X$ es una $n$ - tupla $(x 1, x 2, \dots, x n)$ (normalmente delimitada por paréntesis), la notación general para denotar funciones sería $f ((x 1, x 2, \dots, x n))$ . El uso común, mucho más antiguo que la definición general de funciones entre conjuntos, es no utilizar paréntesis dobles y escribir simplemente $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ .

También es habitual abreviar la $n$ -tupla $(x 1, x 2, \dots, x n)$ utilizando una notación similar a la de los vectores , como $x en negrita,$ $x$ subrayado o $x \to$ con flecha hacia arriba . En este artículo se utilizará negrita.

Un ejemplo simple de una función en dos variables podría ser:

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

que es el volumen $V$ de un cono con área de base $A$ y altura $h$ medida perpendicularmente a la base. El dominio restringe todas las variables a positivas ya que las longitudes y áreas deben ser positivas.

Para un ejemplo de una función en dos variables:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

donde $a$ y $b$ son constantes reales distintas de cero. Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales , donde el plano xy es el dominio $R$ $2$ y el eje z es el codominio $R$ , se puede visualizar la imagen como un plano bidimensional, con una pendiente de $a$ en la dirección x positiva y una pendiente de $b$ en la dirección y positiva. La función está bien definida en todos los puntos $($ $x$ $,$ $y$ $)$ en $R$ $2$ . El ejemplo anterior se puede extender fácilmente a dimensiones superiores:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

para $p$ constantes reales distintas de cero $a 1, a 2, \dots, a p$ , que describe un hiperplano $p$ -dimensional .

La norma euclidiana :

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

es también una función de n variables que está definida en todas partes, mientras que

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

se define sólo para $x \neq (0, 0, \dots, 0)$ .

Para un ejemplo de función no lineal en dos variables:

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

que toma todos los puntos en $X$ , un disco de radio $\sqrt 8$ "perforado" en el origen $(x, y) = (0, 0)$ en el plano $R 2$ , y devuelve un punto en $R$ . La función no incluye el origen $(x, y) = (0, 0)$ , si lo hiciera entonces $f$ estaría mal definida en ese punto. Usando un sistema de coordenadas cartesianas 3d con el plano xy como el dominio $R 2$ , y el eje z como el codominio $R$ , la imagen puede visualizarse como una superficie curva.

La función se puede evaluar en el punto $(x, y) = (2, \sqrt 3)$ en $X$ :

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,

Sin embargo, la función no se pudo evaluar en, digamos

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

ya que estos valores de $x$ e $y$ no satisfacen la regla del dominio.

Imagen

La imagen de una función $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ es el conjunto de todos los valores de $f$ cuando la $n$ -tupla $(x 1, x 2, \dots, x n)$ se encuentra en todo el dominio de $f$ . Para una función continua (ver más abajo una definición) de valor real que tiene un dominio conexo, la imagen es un intervalo o un valor único. En este último caso, la función es una función constante .

La preimagen de un número real dado $c$ se llama conjunto de niveles . Es el conjunto de las soluciones de la ecuación $f (x 1, x 2, \dots, x n) = c$ .

Dominio

El dominio de una función de varias variables reales es un subconjunto de $R n$ que a veces, pero no siempre, está definido explícitamente. De hecho, si se restringe el dominio $X$ de una función $f$ a un subconjunto $Y \subset X$ , se obtiene formalmente una función diferente, la restricción de $f$ a $Y$ , que se denota . En la práctica, a menudo (pero no siempre) no es perjudicial identificar $f$ y , y omitir el restrictor $|$ $Y$ . $f|_{Y}$ $f|_{Y}$

Por el contrario, a veces es posible ampliar de forma natural el dominio de una función dada, por ejemplo por continuidad o por continuación analítica .

Además, muchas funciones se definen de tal manera que es difícil especificar explícitamente su dominio. Por ejemplo, dada una función $f$ , puede ser difícil especificar el dominio de la función Si $f$ es un polinomio multivariado , (que tiene como dominio), es incluso difícil comprobar si el dominio de $g$ es también . Esto es equivalente a comprobar si un polinomio es siempre positivo, y es objeto de un área de investigación activa (véase Polinomio positivo ). $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Estructura algebraica

Las operaciones aritméticas habituales con números reales pueden extenderse a funciones de valores reales de varias variables reales de la siguiente manera:

Para cada número real $r$ , la función constante está definida en todas partes. $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$
Para cada número real $r$ y cada función $f$ , la función: tiene el mismo dominio que $f$ (o está definida en todas partes si $r$ $= 0$ ). $rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$
Si $f$ y $g$ son dos funciones de dominios respectivos $X$ e $Y$ tales que $X \cap Y$ contiene un subconjunto abierto no vacío de $R n$ , entonces y son funciones que tienen un dominio que contiene $X$ $\cap$ $Y$ . $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

De ello se deduce que las funciones de $n$ variables que están definidas en todas partes y las funciones de $n$ variables que están definidas en algún entorno de un punto dado forman ambas álgebras conmutativas sobre los números reales ( $R$ -álgebras). Este es un ejemplo prototípico de un espacio de funciones .

Se puede definir de manera similar

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

que es una función solo si el conjunto de los puntos $(x 1, \dots, x n)$ en el dominio de $f$ tales que $f (x 1, \dots, x n) \neq 0$ contiene un subconjunto abierto de $R n$ . Esta restricción implica que las dos álgebras anteriores no son cuerpos .

Funciones univariables asociadas a una función multivariable

Se puede obtener fácilmente una función en una variable real dando un valor constante a todas las variables excepto una. Por ejemplo, si $(a 1, \dots, a n)$ es un punto del interior del dominio de la función $f$ , podemos fijar los valores de $x 2, \dots, x n$ en $a 2, \dots, a n$ respectivamente, para obtener una función univariable

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

cuyo dominio contiene un intervalo centrado en $a 1$ . Esta función también puede verse como la restricción de la función $f$ a la línea definida por las ecuaciones $x i = a i$ para $i = 2, \dots, n$ .

Se pueden definir otras funciones univariables restringiendo $f$ a cualquier línea que pase por $(a 1, \dots, a n)$ . Éstas son las funciones

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

donde los $c i$ son números reales que no son todos cero.

En la siguiente sección, demostraremos que, si la función multivariable es continua, también lo son todas estas funciones univariables, pero lo inverso no es necesariamente cierto.

Continuidad y límite

Hasta la segunda mitad del siglo XIX, los matemáticos sólo consideraban funciones continuas . En aquella época, el concepto de continuidad se había elaborado para las funciones de una o varias variables reales mucho antes de que se definieran formalmente el espacio topológico y la función continua entre espacios topológicos. Como las funciones continuas de varias variables reales son omnipresentes en las matemáticas, conviene definir este concepto sin hacer referencia al concepto general de funciones continuas entre espacios topológicos.

Para definir la continuidad, es útil considerar la función de distancia de $R n$ , que es una función definida en todas partes de $2 n$ variables reales:

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

Una función $f$ es continua en un punto $a = (a 1, \dots, a n)$ que es interior a su dominio, si, para cada número real positivo $ε$ , existe un número real positivo $φ$ tal que $| f (x) - f (a)| < ε$ para todo $x$ tal que $d (x a) < φ$ . En otras palabras, $φ$ puede elegirse lo suficientemente pequeño para tener la imagen por $f$ de la bola de radio $φ$ centrada en $a$ contenida en el intervalo de longitud $2 ε$ centrado en $f (a)$ . Una función es continua si es continua en cada punto de su dominio.

Si una función es continua en $f (a)$ , entonces todas las funciones univariadas que se obtienen fijando todas las variables $x i$ excepto una en el valor $a i$ , son continuas en $f (a)$ . La inversa es falsa; esto significa que todas estas funciones univariadas pueden ser continuas para una función que no es continua en $f (a)$ . Por ejemplo, considere la función $f$ tal que $f (0, 0) = 0$ , y que de otra manera está definida por

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

Las funciones $x \mapsto f (x, 0)$ e $y \mapsto f (0, y)$ son ambas constantes e iguales a cero, y por lo tanto continuas. La función $f$ no es continua en $(0, 0)$ , porque, si $ε < 1/2$ e $y = x 2 \neq 0$ , tenemos $f (x, y) = 1/2$ , incluso si $| x |$ es muy pequeño. Aunque no es continua, esta función tiene la propiedad adicional de que todas las funciones univariadas obtenidas al restringirla a una línea que pasa por $(0, 0)$ también son continuas. De hecho, tenemos

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

para $λ \neq 0$ .

El límite en un punto de una función de valores reales de varias variables reales se define de la siguiente manera. ^[1] Sea $a = (a 1, a 2, \dots, a n)$ un punto en el cierre topológico del dominio $X$ de la función $f$ . La función $f$ tiene un límite $L$ cuando $x$ tiende hacia $a$ , denotado

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

si se cumple la siguiente condición: Para cada número real positivo $ε > 0$ , existe un número real positivo $δ > 0$ tal que

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

para todo $x$ en el dominio tal que

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .

Si el límite existe, es único. Si $a$ está en el interior del dominio, el límite existe si y sólo si la función es continua en $a$ . En este caso, tenemos

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

Cuando $a$ está en el límite del dominio de $f$ , y si $f$ tiene un límite en $a$ , la última fórmula permite "extender por continuidad" el dominio de $f$ hasta $a$ .

Simetría

Una función simétrica es una función $f$ que no cambia cuando se intercambian dos variables $x i$ y $x j :$

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

donde $i$ y $j$ son cada uno de $1, 2, \dots, n$ . Por ejemplo:

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

es simétrico en $x, y, z$ ya que intercambiar cualquier par de $x, y, z$ deja $f$ sin cambios, pero no es simétrico en todos los $x, y, z, t$ , ya que intercambiar $t$ con $x$ o $y$ o $z$ da una función diferente.

Composición de funciones

Supongamos las funciones

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

o más compactamente $ξ = ξ (x)$ , están todos definidos en un dominio $X$ . Como la $n$ -tupla $x = (x 1, x 2, \dots, x n)$ varía en $X$ , un subconjunto de $R n$ , la $m$ -tupla $ξ = (ξ 1, ξ 2, \dots, ξ m)$ varía en otra región $Ξ$ un subconjunto de $R m$ . Para reformular esto:

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

Entonces, una función $ζ$ de las funciones $ξ (x)$ definidas en $Ξ$ ,

{\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}),\end{aligned}}

es una composición de funciones definida en $X$ , ^[2] en otros términos la función

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

Tenga en cuenta que los números $m$ y $n$ no necesitan ser iguales.

Por ejemplo, la función

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]

definido en todas partes en $R 2$ se puede reescribir introduciendo

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)

que también está definido en todas partes en $R 3$ para obtener

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

La composición de funciones se puede utilizar para simplificar funciones, lo que resulta útil para realizar integrales múltiples y resolver ecuaciones diferenciales parciales .

Cálculo

El cálculo elemental es el cálculo de funciones de valores reales de una variable real, y las ideas principales de diferenciación e integración de dichas funciones pueden extenderse a funciones de más de una variable real; esta extensión es el cálculo multivariable .

Derivadas parciales

Las derivadas parciales se pueden definir con respecto a cada variable:

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Las derivadas parciales son en sí mismas funciones, cada una de las cuales representa la tasa de cambio de $f$ paralela a uno de los ejes $x 1, x 2, \dots, x n$ en todos los puntos del dominio (si las derivadas existen y son continuas, véase también más abajo). Una primera derivada es positiva si la función aumenta a lo largo de la dirección del eje relevante, negativa si disminuye y cero si no hay aumento ni disminución. La evaluación de una derivada parcial en un punto particular del dominio da la tasa de cambio de la función en ese punto en la dirección paralela a un eje particular, un número real.

Para funciones de valor real de una variable real, $y = f (x)$ , su derivada ordinaria $dy / dx$ es geométricamente el gradiente de la recta tangente a la curva $y = f (x)$ en todos los puntos del dominio. Las derivadas parciales extienden esta idea a los hiperplanos tangentes a una curva.

Las derivadas parciales de segundo orden se pueden calcular para cada par de variables:

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Geométricamente, están relacionadas con la curvatura local de la imagen de la función en todos los puntos del dominio. En cualquier punto en el que la función esté bien definida, la función podría ser creciente a lo largo de algunos ejes, y/o decreciente a lo largo de otros ejes, y/o no aumentar o decreciente en absoluto a lo largo de otros ejes.

Esto conduce a una variedad de posibles puntos estacionarios : máximos globales o locales, mínimos globales o locales y puntos de silla , el análogo multidimensional de los puntos de inflexión para funciones reales de una variable real. La matriz de Hesse es una matriz de todas las derivadas parciales de segundo orden, que se utilizan para investigar los puntos estacionarios de la función, importantes para la optimización matemática .

En general, las derivadas parciales de orden superior $p$ tienen la forma:

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

donde $p 1, p 2, \dots, p n$ son cada uno números enteros entre $0$ y $p$ tales que $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ , utilizando las definiciones de derivadas parciales cero como operadores de identidad :

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

El número de derivadas parciales posibles aumenta con $p$ , aunque algunas derivadas parciales mixtas (aquellas con respecto a más de una variable) son superfluas, debido a la simetría de las derivadas parciales de segundo orden . Esto reduce el número de derivadas parciales a calcular para algún $p$ .

Diferenciabilidad multivariable

Una función $f (x)$ es diferenciable en un entorno de un punto $a$ si existe una $n$ -tupla de números dependientes de $a$ en general, $A (a) = (A 1 (a), A 2 (a), \dots, A n (a))$ , de modo que: ^[3]

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

donde como . Esto significa que si $f$ es diferenciable en un punto $a$ , entonces $f$ es continua en $x$ $=$ $a$ , aunque lo inverso no es cierto - la continuidad en el dominio no implica diferenciabilidad en el dominio. Si $f$ es diferenciable en $a$ entonces las derivadas parciales de primer orden existen en $a$ y: $\alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0$ $|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0$

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

para $i = 1, 2, \dots, n$ , que se puede encontrar a partir de las definiciones de las derivadas parciales individuales, por lo que existen las derivadas parciales de $f$ .

Suponiendo un análogo $n$ -dimensional de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , estas derivadas parciales se pueden utilizar para formar un operador diferencial lineal vectorial , llamado gradiente (también conocido como " nabla " o " del ") en este sistema de coordenadas:

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

Se utiliza ampliamente en el cálculo vectorial , porque es útil para construir otros operadores diferenciales y formular de forma compacta teoremas en el cálculo vectorial.

Luego, sustituyendo el gradiente $\nabla f$ (evaluado en $x = a)$ con un ligero reordenamiento, obtenemos:

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

donde $\cdot$ denota el producto escalar . Esta ecuación representa la mejor aproximación lineal de la función $f$ en todos los puntos $x$ dentro de un entorno de $a$ . Para cambios infinitesimales en $f$ y $x$ cuando $x \to a$ :

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

que se define como la diferencial total , o simplemente diferencial , de $f$ , en $a$ . Esta expresión corresponde al cambio infinitesimal total de $f$ , al sumar todos los cambios infinitesimales de $f$ en todas las direcciones $x i$ $. Además, df$ puede interpretarse como un covector con vectores base como los infinitesimales $dx i$ en cada dirección y derivadas parciales de $f$ como componentes.

Geométricamente, $\nabla f$ es perpendicular a los conjuntos de niveles de $f$ , dados por $f (x) = c$ que, para alguna constante $c,$ describe una hipersuperficie de dimensión $(n - 1)$ . La diferencial de una constante es cero:

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

en donde $d x$ es un cambio infinitesimal en $x$ en la hipersuperficie $f (x) = c$ , y dado que el producto escalar de $\nabla f$ y $d x$ es cero, esto significa que $\nabla f$ es perpendicular a $d x$ .

En sistemas de coordenadas curvilíneas arbitrarias en $n$ dimensiones, la expresión explícita del gradiente no sería tan simple: habría factores de escala en términos del tensor métrico para ese sistema de coordenadas. Para el caso anterior utilizado en este artículo, la métrica es simplemente el delta de Kronecker y los factores de escala son todos 1.

Clases de diferenciabilidad

Si todas las derivadas parciales de primer orden se evalúan en un punto $a$ en el dominio:

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

existen y son continuas para todos $los a$ en el dominio, $f$ tiene clase de diferenciabilidad $C 1$ . En general, si todas las derivadas parciales de orden $p$ se evalúan en un punto $a$ :

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

existen y son continuas, donde $p 1, p 2, \dots, p n$ y $p$ son como los anteriores, para todo $a$ en el dominio, entonces $f$ es diferenciable hasta el orden $p$ en todo el dominio y tiene clase de diferenciabilidad $C p$ .

Si $f$ es de clase de diferenciabilidad $C \infty$ , $f$ tiene derivadas parciales continuas de todo orden y se denomina función suave . Si $f$ es una función analítica y es igual a su serie de Taylor respecto de cualquier punto del dominio, la notación $C ω$ denota esta clase de diferenciabilidad.

Integración múltiple

La integración definida puede extenderse a la integración múltiple sobre varias variables reales con la notación;

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

donde cada región $R 1, R 2, \dots, R n$ es un subconjunto o la totalidad de la recta real:

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

y su producto cartesiano da la región a integrar como un único conjunto:

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

un hipervolumen $n$ -dimensional . Cuando se evalúa, una integral definida es un número real si la integral converge en la región $R$ de integración (el resultado de una integral definida puede divergir hasta el infinito para una región dada, en tales casos la integral permanece mal definida). Las variables se tratan como variables "ficticias" o "acotadas" que se sustituyen por números en el proceso de integración.

La integral de una función de valor real de una variable real $y = f (x)$ con respecto a $x$ tiene una interpretación geométrica como el área limitada por la curva $y = f (x)$ y el eje $x$ . Las integrales múltiples extienden la dimensionalidad de este concepto: suponiendo un análogo $n$ -dimensional de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , la integral definida anterior tiene la interpretación geométrica como el hipervolumen $n$ -dimensional limitado por $f (x)$ y los ejes $x 1, x 2, \dots, x n$ , que pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de la función que se esté integrando (si la integral es convergente).

Si bien el hipervolumen acotado es una idea útil, la idea más importante de las integrales definidas es que representan cantidades totales dentro del espacio. Esto tiene importancia en las matemáticas y la física aplicadas: si $f$ es un campo de densidad escalar y $x$ son las coordenadas del vector de posición , es decir, una cantidad escalar por unidad de hipervolumen n -dimensional, entonces la integración sobre la región $R$ da la cantidad total de cantidad en $R.$ Las nociones más formales de hipervolumen son el tema de la teoría de la medida . Más arriba usamos la medida de Lebesgue , consulte la integración de Lebesgue para obtener más información sobre este tema.

Teoremas

Con las definiciones de integración múltiple y derivadas parciales, se pueden formular teoremas clave, incluyendo el teorema fundamental del cálculo en varias variables reales (a saber, el teorema de Stokes ), la integración por partes en varias variables reales, la simetría de derivadas parciales superiores y el teorema de Taylor para funciones multivariables . La evaluación de una mezcla de integrales y derivadas parciales se puede realizar utilizando la diferenciación de teoremas bajo el signo de la integral .

Cálculo vectorial

Se pueden recopilar varias funciones de varias variables reales, por ejemplo

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

en una $m$ -tupla, o a veces como un vector de columna o un vector de fila , respectivamente:

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

Todos se tratan de la misma manera que un campo vectorial de componentes $m$ y se utiliza la forma que resulte más conveniente. Todas las notaciones anteriores tienen una notación compacta común $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ . El cálculo de tales campos vectoriales es el cálculo vectorial . Para obtener más información sobre el tratamiento de vectores fila y vectores columna de funciones multivariables, consulte cálculo matricial .

Funciones implícitas

Una función implícita de valor real de varias variables reales no se escribe en la forma " $y = f (\dots)$ ". En cambio, la aplicación es del espacio $R n + 1$ al elemento cero en $R$ (simplemente el cero ordinario 0):

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=0\end{aligned}}

es una ecuación en todas las variables. Las funciones implícitas son una forma más general de representar funciones, ya que si:

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

entonces siempre podemos definir:

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

pero lo inverso no siempre es posible, es decir, no todas las funciones implícitas tienen una forma explícita.

Por ejemplo, utilizando la notación de intervalo , sea

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

Al elegir un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales (3D), esta función describe la superficie de un elipsoide tridimensional centrado en el origen $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ con semiejes mayores constantes $a, b, c$ , a lo largo de los ejes positivos x , y y z respectivamente. En el caso $a = b = c = r$ , tenemos una esfera de radio $r$ centrada en el origen. Otros ejemplos de secciones cónicas que se pueden describir de forma similar incluyen el hiperboloide y el paraboloide , y, de forma más general, cualquier superficie bidimensional en el espacio euclidiano tridimensional. El ejemplo anterior se puede resolver para $x$ , $y$ o $z$ ; sin embargo, es mucho más ordenado escribirlo en forma implícita.

Para un ejemplo más sofisticado:

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}

para constantes reales distintas de cero $A, B, C, ω$ , esta función está bien definida para todos $(t, x, y, z)$ , pero no se puede resolver explícitamente para estas variables y escribir como " $t =$ ", " $x =$ ", etc.

El teorema de la función implícita de más de dos variables reales trata de la continuidad y diferenciabilidad de la función, de la siguiente manera. ^[4] Sea $ϕ (x 1, x 2, \dots, x n)$ una función continua con derivadas parciales de primer orden continuas, y sea ϕ evaluado en un punto $(a, b) = (a 1, a 2, \dots, a n, b)$ cero:

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

y sea la primera derivada parcial de $ϕ$ con respecto a $y$ evaluada en $(a, b)$ distinta de cero:

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

Entonces, hay un intervalo $[y 1, y 2]$ que contiene $a b$ , y una región $R$ que contiene a $(a, b)$ , tal que para cada $x$ en $R$ hay exactamente un valor de $y$ en $[y 1, y 2]$ que satisface $ϕ (x, y) = 0$ , e $y$ es una función continua de $x$ de modo que $ϕ (x, y (x)) = 0$ . Las diferenciales totales de las funciones son:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

Sustituyendo $dy$ en la última diferencial e igualando los coeficientes de las diferenciales se obtienen las derivadas parciales de primer orden de $y$ con respecto a $x i$ en términos de las derivadas de la función original, cada una como una solución de la ecuación lineal.

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0

para $i = 1, 2, \dots, n$ .

Función de valor complejo de varias variables reales

Una función de valor complejo de varias variables reales puede definirse relajando, en la definición de las funciones de valor real, la restricción del codominio a los números reales y permitiendo valores complejos .

Si $f (x 1, \dots, x n)$ es una función de valor complejo, se puede descomponer como

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),

donde $g$ y $h$ son funciones de valores reales. En otras palabras, el estudio de las funciones de valores complejos se reduce fácilmente al estudio de pares de funciones de valores reales.

Esta reducción funciona para las propiedades generales. Sin embargo, para una función dada explícitamente, como por ejemplo:

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

El cálculo de la parte real y la imaginaria puede ser difícil.

Aplicaciones

Las funciones multivariables de variables reales surgen inevitablemente en ingeniería y física , porque las cantidades físicas observables son números reales (con unidades y dimensiones asociadas ), y cualquier cantidad física generalmente dependerá de varias otras cantidades.

Ejemplos de funciones de valores reales de varias variables reales

Los ejemplos en mecánica de medios continuos incluyen la densidad de masa local $ρ$ de una distribución de masa, un campo escalar que depende de las coordenadas de posición espacial (aquí cartesianas para ejemplificar), $r = (x, y, z)$ , y el tiempo $t$ :

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

Lo mismo ocurre con la densidad de carga eléctrica de los objetos cargados eléctricamente y de otros numerosos campos de potencial escalar .

Otro ejemplo es el campo de velocidad , un campo vectorial , que tiene componentes de velocidad $v = (v x, v y, v z)$ que son funciones multivariables de coordenadas espaciales y tiempo, de manera similar:

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

Lo mismo ocurre con otros campos vectoriales físicos, como los campos eléctricos y magnéticos , y los campos potenciales vectoriales .

Otro ejemplo importante es la ecuación de estado en termodinámica , una ecuación que relaciona la presión $P$ , la temperatura $T$ y el volumen $V$ de un fluido, en general tiene una forma implícita:

f(P,V,T)=0

El ejemplo más simple es la ley de los gases ideales :

f(P,V,T)=PV-nRT=0

donde $n$ es el número de moles , constante para una cantidad fija de sustancia , y $R$ la constante de los gases . Se han derivado empíricamente ecuaciones de estado mucho más complicadas, pero todas tienen la forma implícita anterior.

Las funciones de valor real de varias variables reales aparecen de forma generalizada en la economía . En los fundamentos de la teoría del consumidor, la utilidad se expresa como una función de las cantidades de diversos bienes consumidos, siendo cada cantidad un argumento de la función de utilidad. El resultado de maximizar la utilidad es un conjunto de funciones de demanda , cada una de las cuales expresa la cantidad demandada de un bien en particular como una función de los precios de los diversos bienes y del ingreso o la riqueza. En la teoría del productor , se supone generalmente que una empresa maximiza sus ganancias como una función de las cantidades de diversos bienes producidos y de las cantidades de diversos factores de producción empleados. El resultado de la optimización es un conjunto de funciones de demanda para los diversos factores de producción y un conjunto de funciones de oferta para los diversos productos; cada una de estas funciones tiene como argumentos los precios de los bienes y de los factores de producción.

Ejemplos de funciones complejas de varias variables reales

Algunas "cantidades físicas" pueden tener valores complejos, como la impedancia compleja , la permitividad compleja , la permeabilidad compleja y el índice de refracción complejo . También son funciones de variables reales, como la frecuencia o el tiempo, así como la temperatura.

En mecánica de fluidos bidimensional , específicamente en la teoría de flujos potenciales utilizada para describir el movimiento de fluidos en 2D, el potencial complejo

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

es una función compleja de las dos coordenadas espaciales $x$ e $y$ , y otras variables reales asociadas con el sistema. La parte real es el potencial de velocidad y la parte imaginaria es la función de corriente .

Los armónicos esféricos aparecen en física e ingeniería como solución a la ecuación de Laplace , así como a las funciones propias del operador de momento angular del componente z , que son funciones de valor complejo de ángulos polares esféricos de valor real :

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

En mecánica cuántica , la función de onda tiene necesariamente un valor complejo, pero es una función de coordenadas espaciales reales (o componentes del momento ), así como del tiempo $t$ :

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

donde cada uno está relacionado por una transformada de Fourier .

Véase también

Referencias

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^ R. Courant. Cálculo diferencial e integral . Vol. 2. Wiley Classics Library. pág. 70. ISBN 0-471-60840-8.
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^ R. Courant. Cálculo diferencial e integral . Vol. 2. Wiley Classics Library. págs. 117-118. ISBN. 0-471-60840-8.

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MA Moskowitz, F. Paliogiannis (2011). Funciones de varias variables reales. World Scientific. ISBN 978-981-429-927-5.
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