Paraboloide

Superficie cuadrática con un eje de simetría y sin centro de simetría

Paraboloide de revolución

En geometría , un paraboloide es una superficie cuadrática que tiene exactamente un eje de simetría y ningún centro de simetría . El término "paraboloide" se deriva de parábola , que se refiere a una sección cónica que tiene una propiedad similar de simetría.

Toda sección plana de un paraboloide por un plano paralelo al eje de simetría es una parábola. El paraboloide es hiperbólico si toda otra sección plana es una hipérbola o dos líneas que se cruzan (en el caso de una sección por un plano tangente). El paraboloide es elíptico si toda otra sección plana no vacía es una elipse o un único punto (en el caso de una sección por un plano tangente). Un paraboloide es elíptico o hiperbólico.

De manera equivalente, un paraboloide puede definirse como una superficie cuadrática que no es un cilindro y tiene una ecuación implícita cuya parte de grado dos puede factorizarse sobre los números complejos en dos factores lineales diferentes. El paraboloide es hiperbólico si los factores son reales; elíptico si los factores son complejos conjugados .

Un paraboloide elíptico tiene forma de copa ovalada y tiene un punto máximo o mínimo cuando su eje es vertical. En un sistema de coordenadas adecuado con tres ejes x , y y z , se puede representar mediante la ecuación ^[1] donde a y b son constantes que dictan el nivel de curvatura en los planos xz e yz respectivamente. En esta posición, el paraboloide elíptico se abre hacia arriba. $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

Paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico (que no debe confundirse con un hiperboloide ) es una superficie doblemente reglada con forma de silla de montar . En un sistema de coordenadas adecuado, un paraboloide hiperbólico se puede representar mediante la ecuación ^{[2] [3]} En esta posición, el paraboloide hiperbólico abre hacia abajo a lo largo del eje x y hacia arriba a lo largo del eje y (es decir, la parábola en el plano x = 0 abre hacia arriba y la parábola en el plano y = 0 abre hacia abajo). $${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$$

Cualquier paraboloide (elíptico o hiperbólico) es una superficie de traslación , ya que puede ser generado por una parábola en movimiento dirigida por una segunda parábola.

Propiedades y aplicaciones

Paraboloide elíptico

Malla poligonal de un paraboloide circular

Paraboloide circular

En un sistema de coordenadas cartesianas adecuado , un paraboloide elíptico tiene la ecuación $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

Si a = b , un paraboloide elíptico es un paraboloide circular o paraboloide de revolución . Es una superficie de revolución que se obtiene al hacer girar una parábola alrededor de su eje.

Un paraboloide circular contiene círculos. Esto también es cierto en el caso general (ver la sección Circular ).

Desde el punto de vista de la geometría proyectiva , un paraboloide elíptico es un elipsoide que es tangente al plano en el infinito .

Secciones del plano

Las secciones planas de un paraboloide elíptico pueden ser:

• una parábola , si el plano es paralelo al eje,
• un punto , si el plano es un plano tangente .
• una elipse o vacía , en caso contrario.

Reflector parabólico

En el eje de un paraboloide circular hay un punto llamado foco (o punto focal ), de modo que, si el paraboloide es un espejo, la luz (u otras ondas) procedentes de una fuente puntual situada en el foco se refleja en un haz paralelo, paralelo al eje del paraboloide. Esto también funciona a la inversa: un haz de luz paralelo al eje del paraboloide se concentra en el punto focal. Para una demostración, véase Parábola § Demostración de la propiedad reflectante .

Por lo tanto, la forma de un paraboloide circular se utiliza ampliamente en astronomía para reflectores parabólicos y antenas parabólicas.

La superficie de un líquido giratorio también es un paraboloide circular. Esto se utiliza en telescopios de espejo líquido y en la fabricación de espejos sólidos para telescopios (véase horno rotatorio ).

• 
  Los rayos paralelos que entran en un espejo paraboloide circular se reflejan en el punto focal, F , o viceversa.
• 
  Reflector parabólico
• Agua rotatoria en un vaso

Paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico con líneas contenidas en él.

Los bocadillos fritos Pringles tienen la forma de un paraboloide hiperbólico.

El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada : contiene dos familias de líneas mutuamente oblicuas . Las líneas de cada familia son paralelas a un plano común, pero no entre sí. Por lo tanto, el paraboloide hiperbólico es un conoide .

Estas propiedades caracterizan a los paraboloides hiperbólicos y se utilizan en una de las definiciones más antiguas de paraboloides hiperbólicos: un paraboloide hiperbólico es una superficie que puede generarse mediante una línea en movimiento que es paralela a un plano fijo y cruza dos líneas oblicuas fijas .

Esta propiedad hace que sea fácil fabricar un paraboloide hiperbólico a partir de una variedad de materiales y para una variedad de propósitos, desde techos de concreto hasta bocadillos. En particular, los bocadillos fritos Pringles se parecen a un paraboloide hiperbólico truncado. ^[4]

Un paraboloide hiperbólico es una superficie en silla de montar , ya que su curvatura de Gauss es negativa en todos sus puntos. Por lo tanto, aunque es una superficie reglada, no es desarrollable .

Desde el punto de vista de la geometría proyectiva , un paraboloide hiperbólico es un hiperboloide de una sola hoja que es tangente al plano en el infinito .

Un paraboloide hiperbólico de ecuación o (esto es lo mismo hasta una rotación de ejes ) puede llamarse paraboloide hiperbólico rectangular , por analogía con las hipérbolas rectangulares . ${\displaystyle z=axy}$ ${\displaystyle z={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}$

Secciones del plano

Un paraboloide hiperbólico con hipérbolas y parábolas.

Una sección plana de un paraboloide hiperbólico con ecuación puede ser $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$

• una línea , si el plano es paralelo al eje z , y tiene una ecuación de la forma , ${\displaystyle bx\pm ay+b=0}$
• una parábola , si el plano es paralelo al eje z y la sección no es una línea,
• un par de líneas que se intersecan , si el plano es un plano tangente ,
• una hipérbola , de otra manera.

Modelo paraboloide hiperbólico STL

Ejemplos en arquitectura

Los tejados a dos aguas suelen ser paraboloides hiperbólicos, ya que se construyen fácilmente a partir de secciones rectas de material. Algunos ejemplos:

• Pabellón Philips Expo '58, Bruselas (1958)
• IIT Delhi - Techo del Dogra Hall
• Catedral de Santa María, Tokio , Japón (1964)
• Iglesia de San Ricardo, Ham , en Ham, Londres, Inglaterra (1966)
• Catedral de Santa María de la Asunción , San Francisco, California, EE.UU. (1971)
• Saddledome en Calgary, Alberta, Canadá (1983)
• Scandinavium en Gotemburgo, Suecia (1971)
• L'Oceanogràfic en Valencia, España (2003)
• Velódromo de Londres , Inglaterra (2011)
• Centro de ocio y actividades Waterworld , Wrexham , Gales (1970)
• Techo de la estación de servicio Markham Moor , A1 (dirección sur), Nottinghamshire, Inglaterra
• Café "Kometa", distrito de Sokol, Moscú, Rusia (1960). Arquitecto V.Volodin, ingeniero N.Drozdov. Demolido.

• 
  Estación de tren de Varsovia Ochota , un ejemplo de estructura paraboloide hiperbólica
• 
  Superficie que ilustra un paraboloide hiperbólico
• 
  Restaurante Los Manantiales, Xochimilco, México
• 
  Cubiertas de capa fina con paraboloides hiperbólicos en L'Oceanogràfic , Valencia, España (foto tomada en 2019)
• 
  Techo de la estación de servicio Markham Moor, Nottinghamshire (fotografía de 2009)

Cilindro entre lápices de paraboloides elípticos e hiperbólicos

paraboloide elíptico, cilindro parabólico, paraboloide hiperbólico

El lápiz de paraboloides elípticos y el lápiz de paraboloides hiperbólicos se aproximan a la misma superficie para , que es un cilindro parabólico (ver imagen). $${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ $${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ $${\displaystyle z=x^{2}}$$ ${\displaystyle b\rightarrow \infty }$

Curvatura

El paraboloide elíptico, parametrizado simplemente porque tiene curvatura gaussiana y curvatura media que son siempre positivas, tiene su máximo en el origen, se hace más pequeño a medida que un punto de la superficie se aleja del origen y tiende asintóticamente a cero a medida que dicho punto se aleja infinitamente del origen. $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$$

El paraboloide hiperbólico, ^[2] cuando se parametriza como tiene curvatura gaussiana y curvatura media $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$$

Representación geométrica de la tabla de multiplicar

Si el paraboloide hiperbólico se gira un ángulo de ⁠ $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$π/4⁠ en la dirección + z (según la regla de la mano derecha ), el resultado es la superficie y si a = b entonces esto se simplifica a Finalmente, dejando a = √ 2 , vemos que el paraboloide hiperbólico es congruente con la superficie que puede considerarse como la representación geométrica (un nomograma tridimensional, por así decirlo) de una tabla de multiplicar . $${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$$ $${\displaystyle z=xy}$$

Las dos funciones paraboloidales R ² → R y son conjugadas armónicas , y juntas forman la función analítica que es la continuación analítica de la función parabólica R → R f ( x ) = ⁠ $${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$$ $${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$$ $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$$x2^​/2⁠ .

Dimensiones de un plato paraboloide

Las dimensiones de un plato parabólico simétrico están relacionadas por la ecuación donde F es la distancia focal, D es la profundidad del plato (medida a lo largo del eje de simetría desde el vértice hasta el plano del borde) y R es el radio del borde. Todas deben estar en la misma unidad de longitud . Si se conocen dos de estas tres longitudes, esta ecuación se puede utilizar para calcular la tercera. $${\displaystyle 4FD=R^{2},}$$

Se necesita un cálculo más complejo para encontrar el diámetro del plato medido a lo largo de su superficie . Esto a veces se llama "diámetro lineal" y es igual al diámetro de una lámina plana y circular de material, generalmente metal, que tiene el tamaño adecuado para ser cortada y doblada para hacer el plato. Dos resultados intermedios son útiles en el cálculo: P = 2 F (o el equivalente: P = ⁠R2^​/2D​⁠ ) ​​y Q = √ P ² + R ² , donde F , D y R se definen como se indicó anteriormente. El diámetro del plato, medido a lo largo de la superficie, se da entonces por donde ln x significa el logaritmo natural de x , es decir, su logaritmo en base e . $${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$$

El volumen del plato, la cantidad de líquido que podría contener si el borde fuera horizontal y el vértice en la parte inferior (por ejemplo, la capacidad de un wok paraboloide ), está dado por donde los símbolos se definen como se indica anteriormente. Esto se puede comparar con las fórmulas para los volúmenes de un cilindro ( π R ² D ), un hemisferio ( ⁠ $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$$2π/3⁠ R ² D , donde D = R ), y un cono ( ⁠π/3⁠ R ² D ). π R ² es el área de apertura del plato, el área encerrada por el borde, que es proporcional a la cantidad de luz solar que un plato reflector puede interceptar. El área de superficie de un plato parabólico se puede encontrar utilizando la fórmula del área para una superficie de revolución que da $${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Elipsoide  : superficie cuadrática que parece una esfera deformada
• Hiperboloide  – Superficie cuadrática ilimitada
• Altavoz parabólico  : altavoz con forma parabólica que produce ondas planas coherentes
• Reflector parabólico  : Reflector que tiene la forma de un paraboloide.

Referencias

1. Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass ; Frank R. Giordiano (2005). Cálculo de Thomas 11.ª ed . Pearson Education, Inc. pág. 892. ISBN 0-321-18558-7.
2. Weisstein, Eric W. "Paraboloide hiperbólico". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
3. Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Cálculo de Thomas 11.ª ed . Pearson Education, Inc. pág. 896. ISBN 0-321-18558-7.
4. Zill, Dennis G.; Wright, Warren S. (2011), Cálculo: primeros trascendentales, Jones & Bartlett Publishers, pág. 649, ISBN 9781449644482.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Paraboloide en Wikimedia Commons