Una función de altura es una función que cuantifica la complejidad de los objetos matemáticos. En geometría diofántica , las funciones de altura cuantifican el tamaño de las soluciones de las ecuaciones diofánticas y suelen ser funciones de un conjunto de puntos en variedades algebraicas (o un conjunto de variedades algebraicas) a los números reales . [1]
Por ejemplo, la altura clásica o ingenua sobre los números racionales se define típicamente como el máximo de los numeradores y denominadores de las coordenadas (por ejemplo, 7 para las coordenadas (3/7, 1/2) ), pero en una escala logarítmica .
Las funciones de altura permiten a los matemáticos contar objetos, como puntos racionales , que de otro modo serían infinitos en cantidad. Por ejemplo, el conjunto de números racionales de altura ingenua (el máximo del numerador y el denominador cuando se expresa en términos más bajos ) por debajo de cualquier constante dada es finito a pesar de que el conjunto de números racionales sea infinito. [2] En este sentido, las funciones de altura se pueden utilizar para demostrar resultados asintóticos como el teorema de Baker en la teoría de números trascendentales que fue demostrado por Alan Baker (1966, 1967a, 1967b).
En otros casos, las funciones de altura pueden distinguir algunos objetos en función de su complejidad. Por ejemplo, el teorema del subespacio demostrado por Wolfgang M. Schmidt (1972) demuestra que los puntos de pequeña altura (es decir, de pequeña complejidad) en el espacio proyectivo se encuentran en un número finito de hiperplanos y generaliza el teorema de Siegel sobre puntos integrales y la solución de la ecuación S-unit . [3]
Las funciones de altura fueron cruciales para las demostraciones del teorema de Mordell-Weil y del teorema de Faltings por Weil (1929) y Faltings (1983) respectivamente. Varios problemas pendientes sin resolver sobre las alturas de puntos racionales en variedades algebraicas, como la conjetura de Manin y la conjetura de Vojta , tienen implicaciones de largo alcance para problemas en la aproximación diofántica , ecuaciones diofánticas , geometría aritmética y lógica matemática . [4] [5]
Giambattista Benedetti (c. 1563) propuso una forma temprana de función de altura y argumentó que la consonancia de un intervalo musical podía medirse mediante el producto de su numerador y denominador (en forma reducida); véase Giambattista Benedetti § Música . [ cita requerida ]
Las alturas en la geometría diofántica fueron desarrolladas inicialmente por André Weil y Douglas Northcott a principios de la década de 1920. [6] Las innovaciones en la década de 1960 fueron la altura de Néron-Tate y la comprensión de que las alturas estaban vinculadas a representaciones proyectivas de la misma manera que los fibrados de líneas amplias lo están en otras partes de la geometría algebraica . En la década de 1970, Suren Arakelov desarrolló las alturas de Arakelov en la teoría de Arakelov . [7] En 1983, Faltings desarrolló su teoría de las alturas de Faltings en su prueba del teorema de Faltings. [8]
La altura clásica o ingenua se define en términos de valor absoluto ordinario en coordenadas homogéneas . Normalmente es una escala logarítmica y, por lo tanto, puede considerarse proporcional a la "complejidad algebraica" o al número de bits necesarios para almacenar un punto. [2] Normalmente se define como el logaritmo del valor absoluto máximo del vector de números enteros coprimos obtenido al multiplicar por un mínimo común denominador . Esto se puede utilizar para definir la altura en un punto en el espacio proyectivo sobre Q , o de un polinomio, considerado como un vector de coeficientes, o de un número algebraico, a partir de la altura de su polinomio mínimo. [9]
La altura ingenua de un número racional x = p / q (en términos mínimos) es
Por lo tanto, las alturas multiplicativas y logarítmicas ingenuas de 4/10 son 5 y log(5) , por ejemplo.
La altura ingenua H de una curva elíptica E dada por y 2 = x 3 + Ax + B se define como H(E) = log max(4| A | 3 , 27| B | 2 ) .
La altura de Néron-Tate , o altura canónica , es una forma cuadrática del grupo de Mordell-Weil de puntos racionales de una variedad abeliana definida sobre un cuerpo global . Recibe su nombre en honor a André Néron , quien la definió por primera vez como una suma de alturas locales, [11] y a John Tate , quien la definió globalmente en un trabajo inédito. [12]
Sea X una variedad proyectiva sobre un cuerpo de números K. Sea L un fibrado lineal sobre X. Se define la altura de Weil sobre X con respecto a L de la siguiente manera.
En primer lugar, supongamos que L es muy amplio . Una elección de la base del espacio de secciones globales define un morfismo ϕ desde X al espacio proyectivo, y para todos los puntos p en X , se define , donde h es la altura ingenua en el espacio proyectivo. [13] [14] Para X y L fijos , la elección de una base diferente de secciones globales cambia , pero solo por una función acotada de p . Por lo tanto, está bien definido hasta la adición de una función que es O(1) .
En general, se puede escribir L como la diferencia de dos fibrados de líneas muy amplios L 1 y L 2 en X y definir cuál a su vez está bien definido hasta O(1) . [13] [14]
La altura de Arakelov en un espacio proyectivo sobre el cuerpo de números algebraicos es una función de altura global con contribuciones locales provenientes de las métricas de Fubini-Study en los cuerpos arquimedianos y la métrica usual en los cuerpos no arquimedianos . [15] [16] Es la altura de Weil usual equipada con una métrica diferente. [17]
La altura de Faltings de una variedad abeliana definida sobre un cuerpo numérico es una medida de su complejidad aritmética. Se define en términos de la altura de un fibrado lineal metrizado . Fue introducida por Faltings (1983) en su demostración de la conjetura de Mordell .
Para un polinomio P de grado n dado por
La altura H ( P ) se define como el máximo de las magnitudes de sus coeficientes: [18]
De manera similar, se podría definir la longitud L ( P ) como la suma de las magnitudes de los coeficientes:
La medida de Mahler M ( P ) de P es también una medida de la complejidad de P . [19] Las tres funciones H ( P ), L ( P ) y M ( P ) están relacionadas por las desigualdades
donde es el coeficiente binomial .
Una de las condiciones en la definición de una forma automórfica en el grupo lineal general de un grupo algebraico adélico es el crecimiento moderado , que es una condición asintótica en el crecimiento de una función de altura en el grupo lineal general visto como una variedad afín . [20]
La altura de un número racional irreducible x = p / q , q > 0 es (esta función se utiliza para construir una biyección entre y ). [21]
