Una fracción irreducible (o fracción en términos mínimos , forma más simple o fracción reducida ) es una fracción en la que el numerador y el denominador son números enteros que no tienen otros divisores comunes que 1 (y −1, cuando se consideran números negativos). [1] En otras palabras, una fracción a/b es irreducible si y solo si a y b son coprimos , es decir, si a y b tienen un máximo común divisor de 1. En matemáticas superiores , " fracción irreducible " también puede referirse a fracciones racionales tales que el numerador y el denominador son polinomios coprimos . [2] Todo número racional se puede representar como una fracción irreducible con denominador positivo de exactamente una manera. [3]
A veces es útil una definición equivalente: si a y b son números enteros, entonces la fraccióna/b es irreducible si y sólo si no existe otra fracción igual do/d tal que | c | < | a | o | d | < | b | , donde | a | significa el valor absoluto de a . [4] (Dos fracciones a/b y do/d son iguales o equivalentes si y sólo si ad = bc .)
Por ejemplo, 1/4 , 5/6 , y -101/100 son todas fracciones irreducibles. Por otra parte, 2/4 es reducible ya que es igual en valor a 1/2 , y el numerador de 1/2 es menor que el numerador de 2/4 .
Una fracción reducible se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por un factor común. Se puede reducir completamente a sus términos más bajos si ambos se dividen por su máximo común divisor . [5] Para encontrar el máximo común divisor, se puede utilizar el algoritmo euclidiano o la factorización prima . El algoritmo euclidiano es el preferido porque permite reducir fracciones con numeradores y denominadores demasiado grandes para ser factorizados fácilmente. [6]
En el primer paso, ambos números se dividieron por 10, que es un factor común a 120 y 90. En el segundo paso, se dividieron por 3. El resultado final, 4/3 , es una fracción irreducible porque 4 y 3 no tienen factores comunes salvo 1.
La fracción original también podría haberse reducido en un solo paso utilizando el máximo común divisor de 90 y 120, que es 30. Como 120 ÷ 30 = 4 y 90 ÷ 30 = 3 , se obtiene
El método más rápido "a mano" depende de la fracción y de la facilidad con la que se detecten los factores comunes. En caso de que queden un denominador y un numerador demasiado grandes para garantizar que sean coprimos mediante inspección, se necesita de todos modos un cálculo del máximo común divisor para garantizar que la fracción sea realmente irreducible.
Cada número racional tiene una representación única como fracción irreducible con denominador positivo [3] (sin embargo 2/3 = -2/-3 aunque ambos son irreducibles). La unicidad es una consecuencia de la factorización prima única de los números enteros, ya que a/b = do/d implica ad = bc , y por lo tanto ambos lados del último deben compartir la misma factorización prima, pero a y b no comparten factores primos, por lo que el conjunto de factores primos de a (con multiplicidad) es un subconjunto de los de c y viceversa, lo que significa a = c y por el mismo argumento b = d .
El hecho de que cualquier número racional tenga una representación única como fracción irreducible se utiliza en varias demostraciones de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 y de otros números irracionales. Por ejemplo, una demostración señala que si √ 2 pudiera representarse como una proporción de números enteros, entonces tendría en particular la representación completamente reducida a/b donde a y b son los más pequeños posibles; pero dado que a/b es igual a √ 2 , entonces también lo es 2b - a/a - b (ya que al multiplicar esto por a/b demuestra que son iguales). Como a > b (porque √ 2 es mayor que 1), este último es un cociente de dos números enteros más pequeños. Esto es una contradicción , por lo que la premisa de que la raíz cuadrada de dos tiene una representación como cociente de dos números enteros es falsa.
La noción de fracción irreducible se generaliza al campo de fracciones de cualquier dominio de factorización único : cualquier elemento de dicho campo puede escribirse como una fracción en la que denominador y numerador son coprimos, dividiendo ambos por su máximo común divisor. [7] Esto se aplica en particular a expresiones racionales sobre un campo. La fracción irreducible para un elemento dado es única hasta la multiplicación del denominador y numerador por el mismo elemento invertible. En el caso de los números racionales esto significa que cualquier número tiene dos fracciones irreducibles, relacionadas por un cambio de signo tanto del numerador como del denominador; esta ambigüedad puede eliminarse exigiendo que el denominador sea positivo. En el caso de funciones racionales, se podría exigir de manera similar que el denominador sea un polinomio mónico . [8]
